无法理解高等数学怎么办？ 第1页

我们学高等数学的时候是这样的：

这当然学不懂了，跨度太大了。这个锅，教材（对，说的就是同济《高等数学》）肯定得背。

1 应该怎么学习？

学习应该循序渐进，意思就是，应该从已有的知识出发，保持足够小的步伐前进。

让我们把已有的知识称作 ，足够小的步伐称为 ，那么：

才是最有效的学习方法。

比如：

注意：什么是 是比较主观的问题。

下面我尝试用 的方法，解释下高等数学的最基础的概念，“极限”。

2 极限

我们先来看看，《高等数学》同济版是怎样用“极限”来欢迎新生的：

设函数 在点 的某一去心邻域内有定义，如果存在常数 ，对于任意给定的正数 （不论它多么小），总存在正数 ，使得当 满足不等式 时，对应的函数值 都满足不等式 ，那么常数 就叫做函数 当 时的极限，记作 或 （当 ）。

同济大学《高等数学》第七版

我就问问你，那个高考结束没有多久、刚刚过了一个愉快的暑假、背井离乡、来到一个陌生的地方、开始新的学习生活的你，看到这个定义怕不怕？

我是很怕，因为：我觉得：

下面的讲解就以你有高考数学的平均水平作为 。

2.1 积分的历史背景

17世纪，当时很重要的问题是天文学问题，其中，开普勒三定律中的第二定律：在相等时间内，太阳和运动着的行星的连线所扫过的面积都是相等的：

既然有计算不规则曲线面积的需求，那么数学家就得去研究，所谓积分就是求曲线下的面积（17世纪，英文中积分“quadrature"的含义就是求面积的意思）：

2.2 积分的思想

为了计算这个面积（此处并不严格，必须是任意的分法，而不光是等分）：

你可以自己动手试试：

此处有互动内容，点击此处前往操作。

2.3 积分的精确定义

好了，积分的思想已经清楚了，为了计算，我们得用数学把积分的精确定义给弄出来。

我们先来看看这个积分是怎么计算的：

通过上面的描述，我们可以认为，曲线下面积 。

那么下一个问题是如何让 变为 ？根据之前的描述，我们发现 越小（即 越大），那么所有矩形的面积和与曲线下的面积越接近。

当 无限接近于0， 。

问题就变成了怎么定义 无限接近于0，在这时我们就遇到了真正的困难：

• 无限接近于0，但不能为0， 否则以0为底边长的矩形面积为0，无穷多个0相加仍然为0

• 无限接近于0，又必须最接近0， 不可能有什么数比 更接近于0

• 无限接近于0，还不可能为最小的正实数，因为没有最小的正实数（为什么？参看 这个答案 ）

无限接近于0，换成极限的话就是 （严格来说，此处按照《同济大学》的定义，应该使用 时的极限定义，不过差别也不是太大），我们通过它来看看极限的精确定义：

至此，数学家们，终于通过这种别扭的、但又非常精确的语言，定义了什么是“极限”。

通过极限，我们终于可以完成积分的定义了，即 。

3 继续

微积分的知识还很多，我们可以继续保持 地推下去。

我们大概明白了，为什么要发明极限，以及极限要解决的问题。要进一步了解细节，可以参看下我的另外两个答案 如何能更好的理解（ε-δ）语言极限的定义？ ，以及 请问如何理解极限的精确定义？

通过极限我们也定义了什么是无穷小量（可以参看 无穷小量是什么？ 这个答案）。

我好像还没有提到微分， 我们称之为差分，但是积分里面也可以称为微分 ，可以参看这个答案 微分和导数的关系是什么？ 现在我们可以说微积分了。

我们看到积分的定义是 ，因为 ，所以积分可以看作无穷小量的级数。

无穷小量不光可以像上面那么分成矩形，像这么分也可以：

这样也可以用积分来处理。只要能够找出无穷小量，都可以通过积分来进行运算，所以微积分又称为“无穷小分析”。

物理里面就是这么干的，要是知道汽车的瞬时速度（瞬时速度中的瞬时就是无穷小量），那么我就可以通过对时间积分，就可以算出汽车在一定时间内走过的里程数（位移）。

要是不拦着我，我还可以继续说下去，比如连续啊、可积的条件啊、积分中值定理啊、blablabla。

看起来这篇文章像是我在知乎2016年的年终总结，2017继续努力。

大部分学生为什么看不懂《高等数学》？

————因为同济的【教材太差】

1.序言

一个国家的教学水平，整体反应在教材的水平上。全国除了top5的理工科高校，其余学校的理工科教学水平都“一言难尽”。大多数学校的数学课程都是直接从80年代继承过来的，而80年代又是从60年代继承过来的，而60年代又是从40年代的苏联教材翻译过来的。苏联教材有个特别重要的特点：“重概念、轻应用”。在苏联老大哥的帮助指导下，《同济高数》基本上原封不动地把苏联的本科数学教材翻译过来，所以目前的教材有着浓厚的苏联体系的“未来主义”的味道，主要体现在以下三个特性：【抽象性】、【逆序性】、【跳跃性】。

2.教材的抽象性

《同济高数》是非常抽象的一本书。从目录来看，似乎完整的覆盖了整个微积分的体系，但是在很多关键点上，同济的编者并没有用心处理，或者说，至少没有从学生的角度去思考。比如那个奇怪的32K排版，那个扯淡的黑白图例，那个看不懂的证明过程。很多知识都是：“点到为止，泛而不精”。全书语言都过于机械数字化，内容都是正确的，但这种“中庸精神”，少了一份灵气，少了一份让学生加深理解的辅助材料。往往是在公式之外的地方，在最细节、最抽象的地方，学生才会遇到问题，才非常需要一个优秀的老师提出建议和意见。有时候，老师的简单一句话、一个思路、一个引导、一个动图，就能够解决困扰学生几个小时的迷惑。“举重若轻”是对一个学者的最高赞誉和评价，可惜国内教材和教授们在这个方面，还有很长的路要走。（待更新...）

2.教材的逆序性

《同济高数》用了反人类的思维方法来开展教学。比如对y=x^n的求导教学，同济是直接拿定义出来，先把它证明了，再举例告诉学生这个定理可以直接使用。台下的学生一脸问号……美版教材就是先带领我们学会y=1的求导，然后y=x的求导，然后y=x^2的求导，然后y=x^3的求导，然后作者Stewart问同学"now do you see any pattern among these process ? Can you GUESS what maybe the derivative of y=x^5 ? And what about y=x^n?"最后他才会摆出严密的定义，并证明。此时，学生也在过程之中学会了“由特殊到一般，再由一般到特殊”这样一个非常重要的数学思维。相对应的求积也一样，先计算y=1的积分，然后y=x的积分，然后y=x^2的积分，然后y=x^3的积分，最后再问学生"now do you see any pattern among these process ? Can you GUESS what maybe the antiderivative of y=x^8, and what about y=x^n?" Stewart 所用的例子都很简单，效果却非常好，由浅入深的帮助学生 "explore the unknown"。多年后，或许你会忘记多元积分的公式，你也会忘记Laplace， Fourier，Taylor的公式，但只要你还记得推理的方法，你就很容易在几分钟内完成这一个过程。（待更新...）

3.教材的跳跃性

《同济高数》用很准确的语言把极限“D-E”定义摆出来，但是没有说明这个定义的来龙去脉，因此很多学生都看不懂。实际上 D-E 在古希腊字母中仅仅表示字母表的第四个和第五个字母，没有任何特殊的含义，主要是ABC 都被欧几里得霸占在几何学里，没办法用了。美国教材将极限进行了解释“Limit is an active approaching process, it is not a real-valued number, no matter how close you are, you will never reach that target ”。极限这个概念在牛顿的时代还没有出现，因为极限涉及到的数学原理非常复杂，仅仅是“连续性”和“光滑性”就让一个世纪的数学家废寝忘食。至于我们今天看到的D-E定义，更是牛顿死后的一百年才被德国数学家威尔斯特拉斯提出。

严格意义来说“极限”和“微积分”并不是一个维度的数学内容了，“极限”属于数学分析的维度，对数学基础知识要求非常高；而“微积分”属于数学应用的维度，对数学想象力要求非常高。牛顿当年也没能解决“极限”的理论问题，他天才般地直接绕过了关于“极限”的争论，就把“极限”当做一个成品来使用，所以才“发明”了微积分理论。如果连牛顿都无法悟透“极限”理论，更何况我们这些凡夫俗子呢？因此，美版教材普遍都不要求掌握“极限”，只要求了解。但是你们打开《同济高数》第一章第一节，上面写着：“高等数学、极限为先、欲练此功、必先自宫”（待更新...）

4. 数学思维差异

国内教材就像【授人与鱼】，给学生一堆公式和定理，让学生拿着就可以直接解题。美版教材就像【授人与渔】，给学生一种发现公式和定理的思维，让学生去思考和探索题目背后的逻辑。换个切合实际的说话，同济数更像一本《高等数学的公式、习题与技巧》，你打开书，迎面而来的都是各种“已知、因为、所以、计算、证明、x, y, z, sin, cos, ln, e, log, etc..."。学生看《同济高数》之后的第一感觉就是“我是谁？我在哪？我要干嘛？”而美国教材更像一本《微积分的原理、应用与拓展》，你打开书，里面是各种有趣的“废话、旁白、小故事、插图、彩图、甚至动图”。学生看完之后的感觉是“OMG！飞机翅膀竟然是由一个积分方程设计出的！潜水艇竟然有如此严密的流体力学！偏微分方程竟然可以解释Black-Scholes期权定价！导弹的运动轨迹竟然是一个向量方程！OMG！”

5. 美国教材推荐

我看了许多原版教材，总结出这基本很好的内容推荐给大家。他们很好地弥补了这个国内教材的缺失（图例、解释、应用）。虽然是全英文书，但是里面有一部分中文注释，整体并不难，四级水平就足够看懂。他们编写非常合理，循循渐进，很适合基础一般的大学生。建议按照“微积分---概率论---线性代数”的流程来学习，因为“求导/求积”的运算是后期学习数学的基础，特别是极限思维，它会多次出现在后期的学习过程当中，希望大家认真对待。

6. 结语

无论考研、考博、考公务员，数学都只是人生的一部分而已，甚至是很小的一部分。无论你们是考满分、60分、40分，其实都没有太大的关系。随着你们阅历的增长，你们对这个世界的认识也会动态调整，你们对自己的要求也会有些变化。你们当然会追求“成功”，但是也应该接受“失败”。人生的路，很长很长，考试不会必然带来成功或导致失败。希望各位大学生朋友们享受学习、承受孤独。最后用毛主席在解放战争胜利前夜的那句重要讲话，与君共勉。

【谦虚谨慎，不骄不躁】

我又双叒叕来更新了！！！

欧美列强闹得这么欢，黑叔叔也坐不住了。并表示：仿生学我们也要搞！

一顿操作猛如虎啊，终于坦桑尼亚成功了！

坦桑尼亚乌龟坦克

乌龟：我谢谢您....

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当然日本选手也不赖

嗖嗖的就拿C-1运输机改出了EC-1电子战飞机

这莫非，是仿的鸭嘴兽？

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当然了，西方列强向来不会示弱

于是又有了

来，一起跟我跟我念：阿姆斯特朗回旋加速喷气式阿姆斯特朗炮....

哎，你看这个炮它又粗又长

但是土澳显然更胜一筹

其实这是机枪保护装甲

想歪的请自行面壁

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以及巨型脑积水+水肿现场

A300-600ST空中客车

集英法德荷西五国智慧，被誉为是“大白鲸”

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还有一个纯粹的丑货

德国BA349蝰蛇战斗机

拥有一台瓦尔特WHK-109-509A双液体燃料火箭发动机，被誉为德国的神风特工队。

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我又来更新了！！！

看到美国爸爸仿生长鼻猴不成功，以色列当即表示：爸爸不行我来！！

以色列犹太人在大脑飞速运转了很久很久以后，长鼻猴仿生宣告成功！！鼓掌！！

费尔康预警机横空出世

脑壳上面俩小天线还是挺有意思的

这次犹太人着实搞出来点东西

费尔康预警机是世界上第一相控阵雷达预警机，具有轻、可靠性高的特点。并且最重要的是造价低啊，跟美国E-3预警机一个级别的费尔康预警机造价只有E-3的三分之一。三分之一啊朋友们！某只兔子眼睛都直了你晓得吧！

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当然老毛子也从来没示弱过

你看看这S300导弹大丑哔

是不是有一种进化不到位的史前感

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更新！！！

美国人确实在仿生学上玩开了花

继AAH竞品机后，波音公司又搞出了X-32竞品机。

就这货还想跟F-35竞标？？？

洛马公司当即表示：我就看着绝对不笑！哎！说你呢，还笑！

局座对这货的评价是

据说波音公司的设计师竞标失败之后一脸懵逼的说：也没人告诉我要长得好看啊……

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看到美国玩仿生学玩得这么起劲，苏联表示：我们也不能输！乌拉！

在观察了无数只海龟之后

他们终于搞出了VVA-14水陆两用飞机

俗称毛式大海龟......

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但是美国人不仅在仿生学玩开了花，对于仿食学，他们也是信手拈来

40年代，美国为了测试飞机在航母上的起降能力，搞出来F5U战机，绰号“飞行薄饼”（Flying Pancake）

这家伙居然还满足了在航母上短距起降，操作灵活的要求。但1947年，军方决定不在航母上使用螺旋桨飞机，计划最终破产。

要我说，还不如叫“飞行王八”（Flying Turtle）呢

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以下是原回答

要搁男孩小时候啊，你要问他“你的梦想是什么啊？”

这时候制定有一堆小男孩说“我要当飞行员，我要当飞行员！”

为啥啊？

你看看这漂亮的大飞机。这哪个男人顶得住啊？！

但是有这么个国家硬是在丑这条路上玩开了花——英国

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• 闪电战斗机/塘鹅反潜机

咱们主要说一下闪电战斗机

最高时速2.2马赫

1960年服役

被认为是冷战时期英国二代机的代表

在与美军事演习中多次“拦截”U2侦察机，从而深受军方喜爱

按说这战绩也还行，但是这外形长得不晓得是发福了还是怀孕了？？？

四岁的时候我第一次看见这俩飞机时我一本正经的问我妈“妈妈她是不是要生小飞机了？”

• 猎迷AEW3预警机

这个飞机怎么说呢

emmm……一言难尽

走近了看跟脑积水了似的

但是走远了看呢？

WTF？？？香肠成精了在天上飞？？

• 胜利者战略轰炸机

我也不知道怎么形容

要我说就是削尖的棒槌精+安康鱼的小灯泡+翅膀开封的鸟

但是这飞机战绩还不赖，一共299次战斗任务，任务成功率100%

其中海湾战争中以地面滑行的方式撞毁了一辆卡车，这也是当天唯一的战绩。

胜利者轰炸机：你看我战绩秀吗？秀吧！羡慕不？我用颜值换的。

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最后我还得提一嘴美国的AAH竞标机，当之无愧的世界第一丑，代表了美国仿生学的巅峰。

先来看看长鼻猴

再来看看AAH

妈妈，长鼻猴也成精了

PS：这图真没歪

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给自己打个广告！！！

有什么第一眼就惊艳到的句子？下面是我的回答。谢谢查看，比心比心！

https://www. zhihu.com/question/3449 02971/answer/852402695?hb_wx_block=0

————————————————建了一个聊天扯谈的群，想要进群的私聊我就OK

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  xiao-tu-59-9 网友的相关建议: 
      大一暑假两个月，七月用十天旅游，八月干什么呢？

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  wanghuiwen 网友的相关建议: 
      

梁思申家庭，从剧中的暗示来看，应该是49年之前的上海工商业者。他们家至少他父母这一支还算是爱国的，49年之后并没有跑路而是留了下来，属于政治上靠得住的工商业者，文革之后被国家启用。

这样的家庭基本上在海外都有亲属，改革开放之后才重新联系上，这也是梁思申改革开放之后选择移民国外的原因之一。

梁思申自视甚高，她说自己没有歧视，但宋运辉说得对，她就是歧视了。她确实想促成中国的发展，但另一方面她心里已经内化了西方资本的逻辑，她认为中国要发展，做西方的附庸就是理所应当的。她并不知道，也没想过，为什么重点国企必须由中国掌握控股权的原因，也不在乎，只要她能完成这笔投资，受到老板的表扬，她的价值就实现了。

剧中对梁思申这一路人的小心思写的是很好的。这就是改革开放中华人华侨的真实想法。

她和宋运辉的矛盾，不是谁和谁斗气，或者性格冲突，而是根本立场不同。对梁思申来说，单子能谈成，中国市场开拓出来，她就实现了自己在美国人中的价值；但是对宋运辉，他就必须考虑中国化工几年甚至几十年之后的长远利益，为了这些利益，政治底线是不能退让的。

梁思申说自己受了歧视，实际上和宋运辉说的歧视并不是一回事。梁说的，是她作为美国华人所受到的种族歧视，这种歧视，宋和大部分中国人当然没有体会，也没有理由就要体会。毕竟梁还是要在美国社会混的，宋和大部分中国人不需要。

宋说的歧视，则是西方大公司利用自己的优势地位，并不把中国当做平等的合作伙伴，而是趁机控制中国的经济命脉。这点，梁实际上是不在乎的。毕竟，就算控制了又能怎么样？梁还是吃香的喝辣的，大不了回美国去。

对吉恩一路人来说，梁当然就是个工具。毕竟买办永远也不可能和老板真的平起平坐。

当然，梁思申并不坏，我相信她主观上也是想为中国好的。但是她长期受美国的教育，认为中国处处落后，美国的一定先进，所以自己有先天的权力去决定东海应该如何如何，还自以为是为中国好，实际上就是个二鬼子。

宋运辉也不傻，这点他肯定早就看透了，但是为了合资，一直到吃饭之前都没捅破。宋也一直在和日本还有其他公司联系，该摊牌就摊牌，可见也没有对梁这边报不切实际的希望。

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大结局了补充一下：最后两集说明梁的层次还是比宋差远了。她以谈判为要挟，不仅救不了宋，而且会让上级部门更加怀疑宋和梁有不正当的交易。她以为靠自己就能扳动洛达，靠一个洛达就能改变党的组织原则。而她实际上就是个工具人，不可悲么？

最后她和宋的谈话，宋对她是大失所望的。本来吃饭的时候，宋以为她回来投资是为了帮助中国的建设，结果因为她自己的一点私心，说不投就不投了。她看得上的人就行，其他中国人统统不行。我相信随着改革的深入，梁思申这种人如果不改变自己看问题的方式，会走到完全西化派的路子上。

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