是否存在正整数a，b，c满足a²+b²=c²，当给定一个c值时，a，b有多种取值？ 第1页

先说答案，可能。

最简单的方法，任意一组勾股数的倍数依然是勾股数，所以取两组勾股数，找到斜边的一个公倍数，其他数按比例调整就可以了。

例如（3,4,5）和（5,12,13）都是勾股数，分别扩大13倍和5倍，得到（39,52,65）和（25,60,65）就满足题意。

如果再进一步，要求两组勾股数都是本原勾股数（3个数没有大于1的公因子），也是可以做到的。

例如（36,77,85）和（13,84,85）

要搞清问题本质的话，先要列出本原勾股数的公式

其中 互质且为一奇一偶（不满足这个条件，也能得到勾股数，但一定不是本原勾股数）

证明可以由初等数论得到。

由此引出问题：怎样的c可以表示为两组不同的正整数的平方和？

先放一个结论：一个正整数能表示成两个正整数的平方和 这个正整数没有 型的质数因子

接下来要用到一点近世代数的理论：我们在整数环里加入元素 ，把得到的环记作

可以发现，整数环 里 和每个 型质数都是 中两个元素的乘积。

例如： ，

由此也容易看出， ，

要得到一个可以表示为两组不同的正整数的平方和的数，只需要取两个 型质数，其乘积就满足条件。

例如：

两组因子先拆开，分别和另一组因子相乘，便得到两个结果：

由此看出： ，再代入勾股数公式，便可以得到之前的两组本原勾股数。

我们还能找到更多本原勾股数，它们的斜边相同。

得到四组 的值：

得到四组斜边相同的本原勾股数：