如何看待「搞积」这种现象？ 第1页

关键看你搞什么积分，下面的Level x表示学习【一元函数积分】的进程，Level 1-6都是数学系同学必须掌握的积分. 其中Level 1-3是非数学系同学必须掌握的积分. 至于Level 7以上的积分...大家有兴趣再看吧.

可以参考：

“积佬”的Level一般都大于7，如果熟练掌握Level 7以上的某些积分，可以称为“积佬”，存在一定的“搞积”水平. （我Level不超过6，这里列举的Level 7以上的积分都是抄别的地方来的）

所以说“搞积”这种现象，也就算是爱好吧，有时间有兴趣的话去搞搞也可以；但是我认为如果某个人还在求学阶段的话，那就只能建议他不要做积佬，还是踏踏实实学点新东西比较好，毕竟积佬级别的积分其实都需要许多技巧.

Level 1：高数级别的积分——直接用Newton-Leibniz公式

Level 2：高数级别的积分(2)——分部积分、有理函数积分、三角函数积分——都有固定套路的

Level 3：高数级别的积分(3)——广义积分（更多的套路）

Level 4：数学分析(1)——包含级数与求极限，或者需要转化为级数的积分

Level 4.5：几个重要的广义积分的数分中的求解方法

Level 5：数学分析(2)——含参变量积分

Level 6：复变函数——留数积分

出现得最多：

其他：

通过不断的打积怪物，获得许多积分以后，你的EXP值提升了！

Level 10：特殊函数的积分（1）仅限Beta函数与Gamma函数

Level 20：很复杂的不定积分(出自Mathematical reflections的前面都带上U???)

U395：

U512：

Level 30：很复杂的定积分

U???：

U448：

Level 40：很复杂的定积分+级数+极限混合

U21：

U268：

U443：

Level 50：特殊函数积分（更复杂）这些积分摘自知乎的一些文章与资料

再经历了大量的算积分过程，你会变成：

Level 2147483647：超过了Mathematica等数学软件的存在！！！！你成为了真正的宇宙级积佬！获得了“大积大利，今晚吃积”的荣誉称号！

关于这方面的更多看待可以参考：

里面指出，搞积怎么搞都可以，但是如果心里有借搞积来炫耀的想法（比如在个人简介写自己在读几年级然后还在自己的算积分的文章里卖弱等等），那我建议还是踏踏实实去学更深的东西好了

让我们来做一下 @Fiddie 留下的习题吧 ! 不过以后不会再在知乎上回答计算这些积分和级数的问题了 (

在此之前声明 : 现在已经对计算这些奇奇怪怪的积分已经没有什么兴趣了 , 很多特殊函数和奇怪的积分技巧都是大概半年前放寒假的时候自己学着好玩的 . 计算这些奇怪的东西可能在某些人看来是装x行为 , 而我的个人观点是在一些场合 ( 例如数论和某些分析问题 ) 下 , 能算出 closed form 自然是可喜可贺 , 但是可能大多数实际问题中碰到的积分也好级数也好 , 都是算不出来的 , 这种计算积分的能力在一定程度上提供另外一种视角 , 也许能让你壮着胆子对碰到的复杂式子作恒等变换 , 或许让你尝试用已有的工具来作更详尽的分析 , 可终究不是万全之策 .

以前自己对很多问题理解很肤浅的时候 , 对这些东西还挺有兴趣的 , 不记得当时怎么想的 , 没准真的抱有一种 "嘿你看我能算出来这种奇怪积分" 的心理 , 一开始这样想是很正常的 . 后来知道其实这根本就是一些不实用的花架子 , 应该算是退坑了吧 , 毕竟数值方法 ( 那是对于应用侧 , 理论侧就是估算量级 ) 是解决很多实际问题的正道 , 有许多积分是不需要你给出一个漂亮的closed form的 , 这些内容既不是数学系里要重点学的 ( btw物理系的同学算积分很多还比数学系的厉害hh ) , 也不是什么主流的研究方向 , 作为兴趣爱好自然没有什么问题 , 平常做一些这种题一定程度上可以提神醒脑 (x) , 提高分析和代数变形的能力 , 作为平时消遣 , 只是不宜走火入魔 , 沉迷其中 .

让我们开始消遣吧 ! 当然以娱乐心态看这些积分题的时候 , 不要想太复杂 , 既然是消遣 , 就要玩得尽兴 , 用最简单的方法去解决问题 .

前三个Level中无法初等不定积分的 :

Level 4 的题目很舒适 :

Level 4.5 是经典题 , 教科书式的积分

答案分别是 .

Level 5 第一个可以平均值原理 ( Mean-Value Prop. ) , 第二个只需对 求导

Level 6 标题已经提示复变了 , 除了留数定理 :

很显然分别使用 : 超大的半圆围道 , 结合Jordan's Lemma ; Fresnel积分就用八分之一圆的扇形围道 ; 最后一个积分用一个半径超小和一个半径超大的圆什么的 , 也可以对我们刚才算过的这个关于 求导 :

接下来我们看看更高级别的几个吧 !

Level 10 比较经典 , 第一个熟悉的同学还是可以一眼看出来叫做Raabe积分 ( 拉阿伯积分 ) , 第二个则是用Beta函数做跳板 , 结合余元公式得到的副产品 .

Level 20 看到两个不定积分 , 我们分别解释一下过程和思路 . 最后别忘了加上 喵~

第一个分母带着平方 , 所以猜到原函数应该分母是一次方 : 形式凑出来发现为了凑 , 得带着 这样利用 . 于是我们可以设 , 再试图消掉 的倍数 , 立刻看出 .

第二个没什么可说的 , 努力乘起来你就会发现神奇的事情 . 然后就是完全机械化的部分分式 , 最后你还会惊讶地发现剩下的两个部分都能写成 的形状 .

Level 30 看到奇怪的积分的时候一定要保持镇静 , 确实可以化成非常经典的积分 .

第一问看到分母 , 第一个想法就是分部积分 . 然后分成两部分后每个只剩下一个 在分子看起来就令人放心多了 . 然后将分母全部分开 换成 , 每一个都是经典积分 ( 留给读者 ) .

第二问显然拆开成分子和分母 , 粗略算了一下分母 , 觉得要用到特殊函数和卡塔兰常数 , 结果去查了一下 , 发现 ( 这其实是U449 , 不是448 ) , 标准答案也用了…

后来写过程想想 , 发现可用很初等的方法 :

对 从 积到 然后利用上面的三倍角公式和 的对称 :

于是化简立刻得到原来的积分为

Level 40 这几个积分和级数一眼看过去不算特别困难 .

先看第一个 , 显然关于 对称 , 于是我们只考虑一半 , 整个过程算是比较自然的 .

再看第二个 , 很容易证明极限等于一个黎曼黎曼和 , 然后用前面相同的分段技术 , 等价转化成 :

注意其中那个级数的求和是有技巧的 , 计算部分和可以轻松获证 :

最后一个 , 用著名的黎曼定理 :

如果 是以 为周期的连续函数 , 在 可积 , 那么 :

这个定理的证明留给读者 . 于是回到原题 , 结论立得 :

Level 50 最后几个既然说要用特殊函数 , 因为太久没有算和特殊函数有关的积分了 , 自知手疏 , 而且既然已经没有娱乐性质了 , 遂作罢 . 留给读者作为习题

爱好。有些人一直研究这个，有的人虽然数学一直往前学，但是也会用这个来玩一下。都挺好的。