解决初等几何题目使用辅助线的逻辑原理是什么？ 第1页

我做一个比较简单的回答。

假设平面摆在你的面前，如果不画什么东西它在我们看来似乎就是一张白纸。

然而它实际上是一张“黑纸”，如果把点都视为黑色的话。每个点，无论你画不画出来，都是存在于平面上的。我们之所以不这么做，是因为这样不好画图。

一个平面几何题的图，实际上是把平面上部分的点涂成黑色以做标记，然后对这些黑色的点提问。为了获取这些黑色点的性质，我们有时候需要把一些白色的点也涂黑，这不是很自然么。

不过这还是借助物理直观的通俗论述。如果一直追究下去，点是存在的么？数学对象，都是存在的么？你会发现这样的问题不堪想下去。

实际上，数学并不是一个可以回答一些根本的“存在性问题”的学科。它只能通过一些最开始的对象去构造一些新的概念，并逐一检验新概念是否真的有对象存在着。至于最开始的对象是不是存在，是不需要知道的。

对这个例子来说，一个古典几何的公理体系会以讨论的空间和点，直线这类的对象开始。那么就不需要问“某条直线是否存在”，都存在，空间里面充满了点，也充满了直线，随便两个点拉一条直线都是存在的。没有道理可讲。

关于题主最后举的例子，中间有一个逻辑错误。事实上，之前说的“随便两个点拉一条直线都是存在的”这句话本身是某条公理，所以我说没有道理可讲。然而“给人创造翅膀”却不是一样的。你必须先证明“任取一个人，存在至少一对翅膀与之对应”，然后从翅膀的集合中取出来一个，并证明这翅膀可以让人飞起来。没有这些怎么行呢？数学的严密性可不是随意口胡出来的。

大概这样。