既然勒贝格积分是黎曼积分的改进，那为什么还要学黎曼积分？淘汰黎曼积分，直接学勒贝格积分不好吗？ 第1页

的一般程度的数学专业学生，在一年级时将会学习以下几种积分:

1. 函数 在闭区间 上的积分；
2. 函数 在任何类型区间 上的广义积分。

其中，广义积分实质上是闭区间上积分的极限过程。如：

我们再来谈一下 积分与（广义） 积分的不同。从接下来的讨论在即可看出：积分在适当的情况下有其重要作用，不能将其视为毫无价值的一种积分。

1. 积分可以在可测集上进行。相比之下，（广义） 积分的积分区域却只能是区间。在这一点上， 积分比 积分更优。所以，我们接下来主要观察在闭区间上 积分和（广义） 积分的不同。
2. 对于 在闭区间 上有界的情形，完全可以用 积分来取代 积分. 这是因为以下的定理。

定理（ ）设 ，则 ，且成立

3. 对于 在闭区间 上可测的一般情形（可能无界），不能贸然用 积分来取代 积分。这是因为以下定理。

定理 设 在 上广义 可积。则 在 上广义 可积. 且两种意义下的积分值相等。

所以，这种情况下的 积分不能涵盖在广义 可积下条件收敛的情况。事实上，若积分 在广义 可积下条件收敛，则有

4. 对于 在无穷区间 上可测的情形，仍然不能贸然用 积分来取代 积分。事实上，有以下类似的定理。

定理 设 在 上广义 可积。则 在 上广义 可积.

4. 对于 在测度有限的可测集 上非负且可测的情形，完全可以用 积分来取代 积分，并且不会出现积分不确定的情形。这是由这种情况下 积分的定义所决定的：

其中， .

本文作者：漩涡鸡蛋饼 @12345