数学和物理超出直觉范围后该怎么学习？ 第1页

我很喜欢这句话，但是，这句话怎么理解？如何理解超越“直觉”的概念和定理？以我的经验，主要以下的基本思路（由于专业所限，我只谈数学）：

0. 训练抽象思维。

这里说的抽象思维能力是理解和洞悉抽象数学概念的能力。直观有它诱人之处，但是数学的直觉很多是建立在“熟悉”的基础上，而不是单纯的几何直观。下面我会说明如何去熟悉。记住，人类学习新的能力后，大脑结构本身都会改变。即使你现在感觉自己抽象思维不够好，也不代表你以后也会这样差。不要低估自己大脑的适应性。

1. 掌握很多具体的例子。比如，你学习了Banach空间，希尔伯特空间这些概念后，你要去记忆定理，但是，更重要的是学会玩弄一些更加具体的“例子”：紧豪斯多夫空间上连续函数，L^p空间，L^2空间。所谓“抽象”其实本质上就是这些具体的东西里面抽出来的东西。只要你理解一个定理在一个特殊的例子上是成功的，通过检查这个证明的条件和技巧，你就可以自己去推广定理。数学中的反例极其重要，大数学家可以构造出你难以想象的反例，他们在做研究的时候，往往是通过验证这些高度非平凡的例子来猜测某个结果是不是成立。

2.多次非简单的重复。

即使是抽象的概念之间也是存在联系的，当你学会一些新的，不太认识的概念的时候，要去把它和自己掌握的概念相联系。如果用这些新的术语，原来的定理可以如何表述，如何证明？会变得更好吗？为什么？ 同时，做一些好的课后习题，但是不需要多做。在思考这些问题，做这些题目的时候，你对抽象概念的理解更上一层楼。

3.问自己傻问题，玩弄概念

如果你掌握了前两个level后，可以进入第三步。这一步最难，什么是傻问题呢？尝试去掉定理的一个条件结论会变成什么样？可以用别的条件替换吗？增进一些条件能获得更好的结果吗？告诉你，基本上你想的问题都不会有现成的答案。虽然别的高手可以马上替你回答，但是你要尽量靠自己完成。因为这里过程比结果重要。

数学最本质在于能力，而不是知识，增进能力的方法就是刻意练习，不断的刻意练习

（请区分此处我说的练习和一般意义上的刷习题的巨大区别）

-------------2017年1月16日更新-------------

我推荐一下《实分析中的反例》

，这可以培养你的分析直觉，让你远离大部分错误的直觉，重塑你的三观。这本书分成很多层次，你可以看比较简单的层次。如果你能够掌握着书上的大部分反例可以让你不会被错误的直觉带到沟里。