如何这道计算绝对值不等式的题目？
好的，我们来一起攻克这道绝对值不等式。别担心，我们会一步一步来，把问题掰开了揉碎了讲清楚，直到你完全明白。
题目：
解不等式： $|2x 1| le 5$
理解绝对值：
首先，我们得明确绝对值是什么意思。绝对值，用符号“| |”表示，代表一个数到数轴上原点（也就是0）的距离。距离总是非负的，所以 $|a|$ 永远大于或等于0。
比如，$|3| = 3$，因为3到0的距离是3。
比如，$|3| = 3$，因为3到0的距离也是3。
$|0| = 0$
所以，绝对值不等式 $|2x 1| le 5$ 实际上是在问：“哪一些数 $x$，经过运算 $2x 1$ 之后，它到0的距离小于或等于5？”
把绝对值“去掉”：两种方法
要解绝对值不等式，核心是如何把绝对值符号去掉。通常有两种思路，我们都来看看：
方法一：利用绝对值的定义（分类讨论）
这个方法是最根本的，它直接从绝对值的定义出发。一个表达式的绝对值，它会根据表达式本身是正还是负而变化。
情况一： 如果 $2x 1 ge 0$ （也就是 $2x ge 1$，所以 $x ge frac{1}{2}$），那么 $|2x 1|$ 就等于 $2x 1$ 本身。
这时，原不等式 $|2x 1| le 5$ 就变成了：
$2x 1 le 5$
我们来解这个简单的线性不等式：
$2x le 5 + 1$
$2x le 6$
$x le 3$
重要！ 这个结果 $x le 3$ 是在“ $x ge frac{1}{2}$ ”这个前提下得到的。所以，我们需要找到同时满足 $x ge frac{1}{2}$ 和 $x le 3$ 的范围。画条数轴来看看：
[在数轴上画出：一个点在1/2处，箭头向右；一个点在3处，箭头向左。重叠的部分就是解集。]
这个重叠的范围是 $frac{1}{2} le x le 3$。
情况二： 如果 $2x 1 < 0$ （也就是 $2x < 1$，所以 $x < frac{1}{2}$），那么 $|2x 1|$ 就等于 $(2x 1)$，也就是 $1 2x$。
这时，原不等式 $|2x 1| le 5$ 就变成了：
$1 2x le 5$
我们来解这个不等式：
$2x le 5 1$
$2x le 4$
注意！ 当我们把不等式两边同时除以一个负数（这里是2）时，不等号的方向要改变。
$x ge frac{4}{2}$
$x ge 2$
重要！ 这个结果 $x ge 2$ 是在“ $x < frac{1}{2}$ ”这个前提下得到的。所以，我们需要找到同时满足 $x < frac{1}{2}$ 和 $x ge 2$ 的范围。画条数轴来看看：
[在数轴上画出：一个点在1/2处，箭头向左（不包含1/2）；一个点在2处，箭头向右（包含2）。重叠的部分就是解集。]
这个重叠的范围是 $2 le x < frac{1}{2}$。
合并结果： 现在，我们需要把前面两种情况得到的解集合并起来。
情况一的解集是 $[frac{1}{2}, 3]$ (包含1/2和3)。
情况二的解集是 $[2, frac{1}{2})$ (包含2，不包含1/2)。
将这两个集合合在一起，就是从2开始，一直到3，所有数都包括了。
所以，最终的解集是 $2 le x le 3$。
方法二：利用绝对值不等式的性质
这是一个更简洁、更快速的方法，适用于 $|f(x)| le a$ （其中 $a > 0$）这类形式的不等式。
我们知道，如果一个数到0的距离小于或等于 $a$，那么这个数一定在 $a$ 和 $a$ 之间（包括 $a$ 和 $a$）。
用数学语言来说，就是：
$|y| le a iff a le y le a$
现在，我们把题目中的 $y$ 替换成 $2x 1$，把 $a$ 替换成 5。
所以， $|2x 1| le 5$ 就等价于：
$5 le 2x 1 le 5$
这是一个“三联不等式”，我们可以同时对三部分进行相同的运算，以“夹击”中间的 $x$。
1. 先处理加减： 为了让中间只剩下 $2x$，我们需要把“1”去掉。给不等式三部分都加上 1：
$5 + 1 le 2x 1 + 1 le 5 + 1$
$4 le 2x le 6$
2. 再处理乘除： 现在中间是 $2x$，我们想得到 $x$，所以需要把两边都除以 2。因为 2 是正数，不等号方向不变：
$frac{4}{2} le frac{2x}{2} le frac{6}{2}$
$2 le x le 3$
你看，用这个方法，非常直接地就得到了结果 $2 le x le 3$。
总结一下
两种方法殊途同归，都得到了相同的答案：$2 le x le 3$。
分类讨论 是理解绝对值运算本质的好方法，虽然步骤多一点，但对各种复杂情况都适用。
利用性质 是解决特定形式 $|f(x)| le a$ 或 $|f(x)| ge a$ 问题的快捷键，能大大提高解题效率。
解题的关键点回顾：
1. 理解绝对值： 它代表距离，所以总是非负的。
2. 去掉绝对值：
分类讨论： 根据绝对值内部的表达式的正负进行讨论。
利用性质： $|y| le a iff a le y le a$ ； $|y| ge a iff y ge a$ 或 $y le a$ (当 $a>0$ 时)。
3. 合并解集： 如果是分类讨论，最后一定要把不同情况下的解集合并（取并集）。
4. 注意不等号的变化： 在分类讨论中，当式子为负时，取反会改变符号；在多步运算中，乘以或除以负数会改变不等号方向。
希望这个解释足够详细，并且能帮助你掌握这类绝对值不等式的解法。如果还有什么地方不清楚，或者想练习其他类型的绝对值不等式，随时可以问我！
题目：
解不等式： $|2x 1| le 5$
理解绝对值：
首先，我们得明确绝对值是什么意思。绝对值，用符号“| |”表示，代表一个数到数轴上原点（也就是0）的距离。距离总是非负的，所以 $|a|$ 永远大于或等于0。
比如，$|3| = 3$，因为3到0的距离是3。
比如，$|3| = 3$，因为3到0的距离也是3。
$|0| = 0$
所以，绝对值不等式 $|2x 1| le 5$ 实际上是在问：“哪一些数 $x$，经过运算 $2x 1$ 之后，它到0的距离小于或等于5？”
把绝对值“去掉”：两种方法
要解绝对值不等式，核心是如何把绝对值符号去掉。通常有两种思路，我们都来看看：
方法一：利用绝对值的定义（分类讨论）
这个方法是最根本的，它直接从绝对值的定义出发。一个表达式的绝对值，它会根据表达式本身是正还是负而变化。
情况一： 如果 $2x 1 ge 0$ （也就是 $2x ge 1$，所以 $x ge frac{1}{2}$），那么 $|2x 1|$ 就等于 $2x 1$ 本身。
这时，原不等式 $|2x 1| le 5$ 就变成了：
$2x 1 le 5$
我们来解这个简单的线性不等式：
$2x le 5 + 1$
$2x le 6$
$x le 3$
重要！ 这个结果 $x le 3$ 是在“ $x ge frac{1}{2}$ ”这个前提下得到的。所以，我们需要找到同时满足 $x ge frac{1}{2}$ 和 $x le 3$ 的范围。画条数轴来看看：
[在数轴上画出：一个点在1/2处，箭头向右；一个点在3处，箭头向左。重叠的部分就是解集。]
这个重叠的范围是 $frac{1}{2} le x le 3$。
情况二： 如果 $2x 1 < 0$ （也就是 $2x < 1$，所以 $x < frac{1}{2}$），那么 $|2x 1|$ 就等于 $(2x 1)$，也就是 $1 2x$。
这时，原不等式 $|2x 1| le 5$ 就变成了：
$1 2x le 5$
我们来解这个不等式：
$2x le 5 1$
$2x le 4$
注意！ 当我们把不等式两边同时除以一个负数（这里是2）时，不等号的方向要改变。
$x ge frac{4}{2}$
$x ge 2$
重要！ 这个结果 $x ge 2$ 是在“ $x < frac{1}{2}$ ”这个前提下得到的。所以，我们需要找到同时满足 $x < frac{1}{2}$ 和 $x ge 2$ 的范围。画条数轴来看看：
[在数轴上画出：一个点在1/2处，箭头向左（不包含1/2）；一个点在2处，箭头向右（包含2）。重叠的部分就是解集。]
这个重叠的范围是 $2 le x < frac{1}{2}$。
合并结果： 现在，我们需要把前面两种情况得到的解集合并起来。
情况一的解集是 $[frac{1}{2}, 3]$ (包含1/2和3)。
情况二的解集是 $[2, frac{1}{2})$ (包含2，不包含1/2)。
将这两个集合合在一起，就是从2开始，一直到3，所有数都包括了。
所以，最终的解集是 $2 le x le 3$。
方法二：利用绝对值不等式的性质
这是一个更简洁、更快速的方法，适用于 $|f(x)| le a$ （其中 $a > 0$）这类形式的不等式。
我们知道，如果一个数到0的距离小于或等于 $a$，那么这个数一定在 $a$ 和 $a$ 之间（包括 $a$ 和 $a$）。
用数学语言来说，就是：
$|y| le a iff a le y le a$
现在，我们把题目中的 $y$ 替换成 $2x 1$，把 $a$ 替换成 5。
所以， $|2x 1| le 5$ 就等价于：
$5 le 2x 1 le 5$
这是一个“三联不等式”，我们可以同时对三部分进行相同的运算，以“夹击”中间的 $x$。
1. 先处理加减： 为了让中间只剩下 $2x$，我们需要把“1”去掉。给不等式三部分都加上 1：
$5 + 1 le 2x 1 + 1 le 5 + 1$
$4 le 2x le 6$
2. 再处理乘除： 现在中间是 $2x$，我们想得到 $x$，所以需要把两边都除以 2。因为 2 是正数，不等号方向不变：
$frac{4}{2} le frac{2x}{2} le frac{6}{2}$
$2 le x le 3$
你看，用这个方法，非常直接地就得到了结果 $2 le x le 3$。
总结一下
两种方法殊途同归，都得到了相同的答案：$2 le x le 3$。
分类讨论 是理解绝对值运算本质的好方法，虽然步骤多一点，但对各种复杂情况都适用。
利用性质 是解决特定形式 $|f(x)| le a$ 或 $|f(x)| ge a$ 问题的快捷键，能大大提高解题效率。
解题的关键点回顾：
1. 理解绝对值： 它代表距离，所以总是非负的。
2. 去掉绝对值：
分类讨论： 根据绝对值内部的表达式的正负进行讨论。
利用性质： $|y| le a iff a le y le a$ ； $|y| ge a iff y ge a$ 或 $y le a$ (当 $a>0$ 时)。
3. 合并解集： 如果是分类讨论，最后一定要把不同情况下的解集合并（取并集）。
4. 注意不等号的变化： 在分类讨论中，当式子为负时，取反会改变符号；在多步运算中，乘以或除以负数会改变不等号方向。
希望这个解释足够详细，并且能帮助你掌握这类绝对值不等式的解法。如果还有什么地方不清楚，或者想练习其他类型的绝对值不等式，随时可以问我！
网友意见
题主的题目感觉没有写完整，前提条件应该还有 的定义域为 ，且在定义域内可导.
不妨设 ，使得
假设 ，否则令 即可.
故
当 时， ，显然成立.
设 ，若对 ，有 ，则有
又
故
从而有 和
当 时， ，矛盾
当 时， ，矛盾
因此必定存在 ，使得 .
第二问类似反证即得，不再赘述 .
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