蒙特卡罗算法是什么？

蒙特卡罗算法，说白了，就是一种“靠猜”来解决问题的方法。但这个“猜”，可不是胡乱猜测，而是有章有法，通过大量的随机抽样来逼近问题的真实答案。你可以把它想象成一种用概率来处理复杂计算的技巧。

它到底是怎么回事？

我们先从一个简单的例子说起。假设你想知道一个不规则形状（比如一个豆子形状）的面积，而且你没有公式可以计算。怎么办？蒙特卡罗算法提供了一个很直观的思路：

1. 画个圈圈：你先在一个你知道面积的正方形或者矩形里，把这个不规则形状画进去。这个大正方形的面积是确定的，我们知道它是多少。
2. 随机撒豆子：然后，你开始在这个大正方形里随机、均匀地“撒豆子”（想象一下，你闭着眼睛随便扔）。
3. 数豆子：接着，你数一数有多少颗豆子落在了那个不规则形状里面，有多少颗豆子落在了外面（但还在正方形里）。
4. 算比例：如果你撒了非常非常多的豆子，那么落入不规则形状的豆子数量占总豆子数量的比例，就会约等于不规则形状的面积占整个大正方形面积的比例。

用公式来说，就是这样：

设大正方形的面积为 $A_{ ext{square}}$。
设落在不规则形状内的豆子数量为 $N_{ ext{in}}$。
设落在整个大正方形内的豆子总数量为 $N_{ ext{total}}$。

那么，不规则形状的面积 $A_{ ext{shape}}$ 就可以估算为：

$A_{ ext{shape}} approx A_{ ext{square}} imes frac{N_{ ext{in}}}{N_{ ext{total}}}$

你撒的豆子越多，这个估算的结果就越接近真实的面积。

为什么叫“蒙特卡罗”？

这个名字来源于一个叫蒙特卡罗的地方，那里有一个著名的赌场。这个算法的特点就是依赖大量的随机性，就像在赌场里玩轮盘赌或者掷骰子一样，结果很大程度上取决于运气，但通过重复大量的游戏，你可以推测出一些统计规律。所以，人们就用这个地名来命名这种依赖随机数的方法。

它能解决什么问题？

蒙特卡罗算法的应用可不仅仅是估算面积这么简单。它特别擅长解决那些解析解（就是能用数学公式直接算出来）非常困难甚至是不可能的复杂问题。在这些领域，它就成了非常有力的工具：

数值积分：计算高维空间中的体积或者积分，比如在物理学中计算某个粒子的运动轨迹对总能量的贡献，或者在金融学中计算复杂期权的定价。想象一下在三维空间里画一个奇形怪状的物体，然后想知道它的体积，用传统方法可能很麻烦，但蒙特卡罗方法可以模拟大量随机点，然后数有多少点落在物体内部。

优化问题：寻找一个函数的最小值或最大值。比如，在设计产品时，你可能需要找到一组参数，使得产品的某个性能指标最好。有时候直接找到最优解很难，但可以通过蒙特卡罗模拟不同的参数组合，然后找到最好的那组。

模拟和建模：在很多领域，蒙特卡罗方法被用来模拟复杂的系统，从而理解它们的行为或者预测未来的结果。
金融领域：预测股票价格的波动，评估投资风险，计算期权价格（比如BlackScholes模型就常常用蒙特卡罗方法来求解）。
物理学领域：模拟粒子碰撞，研究材料的性质，计算中子在核反应堆中的扩散等等。
工程领域：评估产品在各种随机条件下的可靠性，比如桥梁在不同风力和载荷下的受力情况。
生物学领域：模拟基因传播，研究蛋白质折叠。
人工智能领域：在强化学习中，代理通过与环境进行大量随机交互来学习最优策略。

蒙特卡罗算法的关键要素：

1. 随机数生成器：这是核心。你需要一个能够生成高质量、均匀分布的随机数的工具。这些随机数就像你撒的豆子，质量不高，结果就会偏差很大。
2. 概率模型：你需要建立一个模型，能够描述你想要解决的问题与随机数之间的关系。就像我们前面用豆子和形状的比例来建立联系一样。
3. 大量重复：效果的好坏很大程度上取决于你进行了多少次随机抽样。抽样次数越多，结果就越精确，但计算量也会相应增加。

举个更实际的例子：计算圆周率 $pi$

我们再用蒙特卡罗方法来计算 $pi$。这个比算面积更经典：

1. 画个正方形和内切圆：在一个边长为 2 的正方形里，画一个半径为 1 的内切圆。正方形的面积是 $2 imes 2 = 4$。圆的面积是 $pi r^2 = pi imes 1^2 = pi$。
2. 随机撒点：在这个正方形区域内随机、均匀地撒大量的点。
3. 数点：数一数有多少点落在了圆的内部。
4. 算比例：落入圆内的点数占总点数的比例，就约等于圆的面积占正方形面积的比例。

$frac{ ext{落入圆内的点数}}{ ext{总点数}} approx frac{ ext{圆的面积}}{ ext{正方形的面积}} = frac{pi}{4}$

所以，$pi approx 4 imes frac{ ext{落入圆内的点数}}{ ext{总点数}}$。

你撒的点越多，算出来的 $pi$ 就越接近真实值。

它的优点和缺点：

优点：

易于实现：对于许多复杂问题，蒙特卡罗方法的概念和实现相对简单，不需要复杂的数学推导。
处理高维问题：在处理高维积分或模拟时，蒙特卡罗方法通常比其他数值方法更有效率，因为它不需要像网格法那样在所有维度上都进行细分。
灵活性：可以应用于非常广泛的问题领域。

缺点：

收敛速度慢：精度随着抽样次数的增加而提高，但通常是 $frac{1}{sqrt{N}}$ 的关系，这意味着要想精度提高一倍，你需要把抽样次数增加四倍。所以，要达到很高的精度，可能需要天文数字般的抽样次数，计算量会非常大。
随机性误差：结果总会带有一些随机误差，你永远无法得到一个完全精确的确定性答案，只能得到一个概率意义上的逼近值。
对随机数质量要求高：需要高质量的随机数生成器，否则会引入系统性偏差。

总而言之，蒙特卡罗算法就像一个耐心而又“相信运气”的计算器。它不害怕问题的复杂性，而是用“以量取胜”的方式，通过大量的随机尝试来找到答案的蛛丝马迹，最终逼近真相。在现代科学、工程和金融等众多领域，它都是不可或缺的强大工具。

网友意见

太数学的东西就不说了，只用通俗唱法回答楼主的问题。

蒙特卡罗算法并不是一种算法的名称，而是对一类随机算法的特性的概括。媒体说“蒙特卡罗算法打败武宫正树”，这个说法就好比说“我被一只脊椎动物咬了”，是比较火星的。实际上是ZEN的算法具有蒙特卡罗特性，或者说它的算法属于一种蒙特卡罗算法。

那么“蒙特卡罗”是一种什么特性呢？我们知道，既然是随机算法，在采样不全时，通常不能保证找到最优解，只能说是尽量找。那么根据怎么个“尽量”法儿，我们我们把随机算法分成两类：

蒙特卡罗算法：采样越多，越近似最优解；
拉斯维加斯算法：采样越多，越有机会找到最优解；

举个例子，假如筐里有100个苹果，让我每次闭眼拿1个，挑出最大的。于是我随机拿1个，再随机拿1个跟它比，留下大的，再随机拿1个……我每拿一次，留下的苹果都至少不比上次的小。拿的次数越多，挑出的苹果就越大，但我除非拿100次，否则无法肯定挑出了最大的。这个挑苹果的算法，就属于蒙特卡罗算法——尽量找好的，但不保证是最好的。

而拉斯维加斯算法，则是另一种情况。假如有一把锁，给我100把钥匙，只有1把是对的。于是我每次随机拿1把钥匙去试，打不开就再换1把。我试的次数越多，打开（最优解）的机会就越大，但在打开之前，那些错的钥匙都是没有用的。这个试钥匙的算法，就是拉斯维加斯的——尽量找最好的，但不保证能找到。

所以你看，这两个词并不深奥，它只是概括了随机算法的特性，算法本身可能复杂，也可能简单。这两个词本身是两座著名赌城，因为赌博中体现了许多随机算法，所以借过来命名。

这两类随机算法之间的选择，往往受到问题的局限。如果问题要求在有限采样内，必须给出一个解，但不要求是最优解，那就要用蒙特卡罗算法。反之，如果问题要求必须给出最优解，但对采样没有限制，那就要用拉斯维加斯算法。对于机器围棋程序而言，因为每一步棋的运算时间、堆栈空间都是有限的，而且不要求最优解，所以ZEN涉及的随机算法，肯定是蒙特卡罗式的。

机器下棋的算法本质都是搜索树，围棋难在它的树宽可以达到好几百（国际象棋只有几十）。在有限时间内要遍历这么宽的树，就只能牺牲深度（俗称“往后看几步”），但围棋又是依赖远见的游戏，甚至不仅是看“几步”的问题。所以，要想保证搜索深度，就只能放弃遍历，改为随机采样——这就是为什么在没有MCTS（蒙特卡罗搜树）类的方法之前，机器围棋的水平几乎是笑话。而采用了MCTS方法后，搜索深度就大大增加了。比如，在题主说的ZEN与武宫正树九段的对局中，我们可以看这一步棋：

武宫正树九段（执白）第53步大飞，明显企图攻角，而ZEN（执黑）却直接不理，放弃整个右下角，转而把中腹走厚。这个交换究竟是否划算，就不在这里讨论了，但我们至少可以看出，ZEN敢于在此脱先，舍弃这么大的眼前利益，其搜索深度确实达到了人类专业棋手的水平。

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