有哪些数学定理的推出过程是值得细细品味的？ 第1页

用拓扑证明素数有无穷多个^[1]。

铺垫

考虑整数集 上一种奇特的拓扑. 令

下面定义开集 ：

• 是空集；
• .

显然，开集的并是开集；我们再验证开集的交是否是开集：

，都有

于是开集的有限交是开集，定义拓扑 完毕.

有两个重要的事实：

每个非空开集是无界的；

既开又闭.

第一点显然. 至于第二点，观察

这说明 是开集的补，故为闭集.

重头戏

对于每个整数 都有某个素因子 ，所以我们有

若全体素数 是有限集，所以上式等号右边是有限闭的并，由 可知其为闭集. 于是可得 是开集，这与 矛盾.

赏析

事实上，证明中的 就是剩余类 ，如上表格，每一列都是 的有限等价划分，单看每一列可以构造为离散拓扑 （注意这不是题目中定义的拓扑 ， 比 更细），所以每一剩余类既开又闭. 而上述证明又利用算数基本定理，对 进行了重新“拆分”

这一拆分与前一拆分极为不同，前者是有限划分，而后者则是无限拆分（这正是我们要证明的）. 更抽象地说，它们是对同一个集合，在粗细不同的两种拓扑下进行的拆分.

在 中只可能是闭集；想要通过 逐步淘汰剩余类的方法得到 ，注定不可以通过有限步完成，而这恰恰成为证明素数无穷性的有力证据.

当然这一切一切，都归功于拓扑 的构造，真是绝了！

参考

1. ^ 《数学天书中的证明》（Proofs from The Book）

康托定理：设A是集合，P(A)是A的幂集(即A的所有子集构成的集合)那么不存在A到P(A)的双射(即既单又满的映射).

康托定理说明对任何集合A，其幂集P(A)的基数要大于该集合的基数，也就是说“最大基数”并不存在。下面给出康托定理的证明。

证明：如若不然, 假设 是 到 的双射.
考察集合 , 易见 .
由于 是 到 的满射, 因此存在 使得 .
若 ，则 矛盾;
若 ，则 矛盾.
无论是哪种情况, 都能推出矛盾, 于是这样的 并不存在。
Q. E. D.

这个证明在我看来是极其巧妙的，值得你细细品味。

有心的读者可能会注意的这个证明与罗素悖论（其中一个版本便是著名的理发师悖论）的叙述有着异曲同工之处，那就是它们都有自我指涉的现象出现，在这里我也不便再给出更多的内容，有兴趣的话可以找一本集合论的书看看。

此外这个定理也给出了素朴集合论中的另一个悖论，即所谓康托悖论：

康托悖论：设M是所有集合的集合，那么显然P(M)也是所有集合的集合，自然就有M=P(M).

这不就与康托定理矛盾了吗？换句话说，所有集合并不能构成一个集合。

为了避免类似现象的出现，一批数学家们选择将集合论公理化(著名的包括ZFC系统和NGB系统)；例如，康托悖论以及罗素悖论在ZFC系统中加入所谓正则公理后便得以解决。但即使如此，问题并没有得到令人满意的解决方案，正如庞加莱所说，(公理集合论)为了防备狼，把羊群用篱笆围了起来，但不知道篱笆内有没有狼。

（如有错漏，敬请指出）