如何证明最小正周期为无理数的数列f（n）极限不存在？ 第1页

谢邀。

首先，回顾一个简单结论：

若 是无理数，则任意的 都是序列 的聚点^[1]，其中 表示取整函数。

这是数论中所谓的狄利克雷逼近定理（Dirichlet's Approximation Theorem）的一个推论，证明很容易，我们不打算在这里给出，感兴趣的读者可以自行尝试或者查阅有关文献。

现在开始转入当前问题的证明。

考虑利用反证法，反设 因为 是无理数，依前引结论，存在趋于正无穷的正整数序列 满足 ^[2]又依函数周期性，将有

考虑对此式取 的极限。对于左端，注意到此时 则其作为 的一个子列，依开头的反设，将有 至于右端，因 依函数连续性将有 这就是说

现在，取任意的实数 同样依前引结论，存在趋于正无穷的正整数序列 满足 于是完全类似地，可以得到

综合 可以推知 但是定义在实轴上的连续恒等函数并无最小正周期，于是推翻反设，命题得证。

参考

1. ^ 换言之，这个由nα的「非负小数部分」构成的序列在[0,1]上稠密。
2. ^ 这相当于在引理中取u=0为聚点。

设T是 的周期， ，

变换一下，令 ,

则有：g(t+n)=g(t)，得到一个周期为1 的连续函数，令 ,

问题转化为： 周期唯1的的数列，对于无理数 ，数列 ，是不是收敛？

不加证明的指出一个引理：

* 引理：给定任意的无理数 , 。 表示取小数部分。

根据引理，可以对任意 ,取满足 的一个整数 ，记为 .

设 收敛,则子列 也收敛；

记

因此有： ;

集合 可以取遍 的所有有理数，在整个周期内稠密；又因为 连续,必有 , ,是常数。

回到原问题，周期为无理数的数列f(n),如果收敛，则必有 ,可以取任意周期；如果不是常数，那么f(n)就不会收敛。