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八省联考数学这道题中多面体的总曲率有什么含义？第1页

ni-shu-nietzsche 网友的相关建议:

自问自答一下。

总曲率应该是微分几何上的概念。

本质上是高斯-博内公式。

高斯曲率在曲面的积分等于 乘以欧拉示性数

因为欧拉定理 对简单多面体成立。

简单多面体的意思是与球面同胚，这是拓扑学上的概念。

在代数拓扑中，欧拉示性数（Euler characteristic）是一个拓扑不变量（引自下面文章）

而对于球面的欧拉示性数

我们也就得到了。

可以参考

当然了，上面指的是连续性的，即曲面，而多面体有顶点，也就是离散性的（也许上面的可以看成一个逼近的结果，是否严格，我不知道）。

下面文章解释了离散型的情况。

总结

可以肯定的是，本题用到了极其深刻的数学知识，比如为什么去定义顶点处的曲率，又为何多面体曲率之和是常数（也就是一个不变量）？其背后用到了微分几何，拓扑等知识的概念。

个人认为这道题出成考题是没有意义的。

yuhang-liu-34 网友的相关建议:

这是离散微分几何里面给出的离散高斯曲率的定义，目的是为了在离散情形让高斯-博内公式仍然成立。想详细了解可以看顾险峰老师以往历次授课的课件（需有本科数学基础）

从连续微分几何的角度来看，这么定义也可以理解，因为曲率本来就可以从holonomy的角度去理解。

这题目出成中学数学题也没什么不妥，虽然背景来自微分几何，但是抛开背景，涉及的知识完全是初等的组合数学。你无视曲率这些概念，就按定义去验证总曲率等于欧拉示性数的倍数，也没什么难的。题主自己答的图片里面也说了“其证明非常简单”，是真的简单，他就写了三四行就证完了。考试题出出这样的题也挺有意思，老是怼圆锥曲线、空间解析几何不觉得无聊么？以后强基计划数学考试题也一定会是这种“高等背景下的初等数学题”居多，因为可以有效防范刷题，真正考察学生思维能力。而且教授们也不是做题家，他们不熟悉中学应试的套路，你要他们出套路题他们还真不一定会出。。

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