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八省联考数学这道题中多面体的总曲率有什么含义? 第1页

  

user avatar   ni-shu-nietzsche 网友的相关建议: 
      

自问自答一下。

总曲率应该是微分几何上的概念。

本质上是高斯-博内公式。

高斯曲率在曲面的积分等于 乘以欧拉示性数

因为欧拉定理 对简单多面体成立。

简单多面体的意思是与球面同胚,这是拓扑学上的概念。

在代数拓扑中,欧拉示性数(Euler characteristic)是一个拓扑不变量(引自下面文章)

而对于球面的欧拉示性数

我们也就得到了 。

可以参考

当然了,上面指的是连续性的,即曲面,而多面体有顶点,也就是离散性的(也许上面的可以看成一个逼近的结果,是否严格,我不知道)。

下面文章解释了离散型的情况。

总结

可以肯定的是,本题用到了极其深刻的数学知识,比如为什么去定义顶点处的曲率,又为何多面体曲率之和是常数(也就是一个不变量)?其背后用到了微分几何,拓扑等知识的概念。

个人认为这道题出成考题是没有意义的。


user avatar   yuhang-liu-34 网友的相关建议: 
      

这是离散微分几何里面给出的离散高斯曲率的定义,目的是为了在离散情形让高斯-博内公式仍然成立。想详细了解可以看顾险峰老师以往历次授课的课件(需有本科数学基础)

从连续微分几何的角度来看,这么定义也可以理解,因为曲率本来就可以从holonomy的角度去理解。

这题目出成中学数学题也没什么不妥,虽然背景来自微分几何,但是抛开背景,涉及的知识完全是初等的组合数学。你无视曲率这些概念,就按定义去验证总曲率等于欧拉示性数的倍数,也没什么难的。题主自己答的图片里面也说了“其证明非常简单”,是真的简单,他就写了三四行就证完了。考试题出出这样的题也挺有意思,老是怼圆锥曲线、空间解析几何不觉得无聊么?以后强基计划数学考试题也一定会是这种“高等背景下的初等数学题”居多,因为可以有效防范刷题,真正考察学生思维能力。而且教授们也不是做题家,他们不熟悉中学应试的套路,你要他们出套路题他们还真不一定会出。。




  

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