向量奔驰定理有哪些证明? 第1页

“奔驰定理”揭示的是平面向量与三角形面积之间所蕴含的一个优美规律，并因其图形与奔驰的 logo 相似而得名

这篇回答主要给出5种证法^[1]、五种特例^[2](三角形五心)及四个推广^[3][4]，再附加几道相关习题^[5][6]

01 奔驰定理

如图 已知 为 内一点，其中表示

的面积，则满足:

02 证明

证法 01 (利用面积与线段比例关系)

如图 延 交 于 点，令

则

所以

所以

证法 02 (利用正弦形式面积公式)

如图 设

所以

所以

又 不共线，所以

证法 03 (利用三角形重心性质)

如图 由题可知存在 均不为 0 使得

在直线 上取点 使得

所以

所以

所以

所以

证法 04 (利用垂直坐标系分解)

如图 过 作 过 作 不妨设存在 使得

即有

所以 与 共线

所以

同理

所以

即有

证法 05 (利用平面向量分解基本定理)

如图 延长 交 于 令

所以

又

所以

即

所以

03 几种特例

3.1 内心

在 中, 为内心,则

3.2 外心

在 中 为外心,则

3.3 重心

中 为重心 则

3.4 垂心

在 中， 为垂心,则

3.5 旁心

在 中 为 所对应的旁心, 则

04 几个推广

推广 01

设 是 所在平面内一点，且有

为不全为零的实数,记

的面积分别为 则

且

推广 02

设点 是线段 所在直线上一点,且有

为不全为零的实数，记线段 的长分别为 则

且

推广 03

设点 是三棱雉 所在空间内一点,且有

为不全为零的实数,记三棱雉

的体积分别为

则

且

进一步推广

若点 是三棱雉 的内切球的球 心, 则

推广 04(物理意义)

已知点 是 内任意一点,用 分别表示质点 处的质量，则

进一步推广

已知 为 所在平面内任意一点， 则有

05 几道习题

例 1

设 点在 内部 且有

则 的面积与 的面积之比为

例 2

已知点 点在 内 且满足

设 的面积依次为 则

例 3

设 为 的内心，且

则角 的大小为

例 4

已知点 在 内 且

则 等于

例 5

已知 为 内一点, 满足

且 则 的面积为

例 6

为 内 一点, 若

设

则实数 和 的值分别为

参考

1. ^ 裴珊珊,陈德富,李霞. “奔驰定理”的多种证法及其应用[J]. 中学数学研究,2018(12):47-49.
2. ^ 祁天. 例谈“奔驰定理”与三角形五心向量统一表示的应用[J]. 数学通讯,2017(21):58-60.
3. ^ 徐耀. 物理观点下奔驰定理的另一种表达形式[J]. 中学数学研究,2020(09):39-41.
4. ^ 谷留明. 奔驰定理的应用与推广[J]. 中学数学研究,2019(09):20-21.
5. ^ 赵毅. “奔驰定理”及其应用[J]. 中学生数学,2020(01):26-27.
6. ^ 蒋敏. “奔驰定理”巧解一类三角形的面积比[J]. 教学考试,2017(20):37-39.