过反比例函数上任意三点连成的三条线段的中点的圆过定点吗？为什么？ 第1页

这个结果事实上是圆锥曲线的一条几何性质

等轴双曲线所接三角形的九点圆通过该双曲线中心。

与之有关的另一条性质是

等轴双曲线所接三角形的垂心位于该双曲线上。

由于前一个可以由后一个推出，这里只证明第二个。如图所示， 接于等轴双曲线， 是其垂心， 交 于 交 于 同时，记双曲线的两个无穷远点^[1]分别为

作 交于 交于 ^[2]由于 平行于同一条渐近线， 平行于另一条渐近线，而等轴双曲线的渐近线是互相垂直的，因此， 这表明 与 共圆，而 与 共圆。同时，不难看出 ^[3]于是就有 所以 共线。但这不是别的，它们正是六点形 三组对边的交点，于是依 定理之逆，这六点形的顶点共于同一条圆锥曲线，质言之， 位于这双曲线上，定理因而得证。

参考

1. ^ 很清楚，这双曲线的无穷远点也就是它渐近线的无穷远点，有且仅有两个。
2. ^ 作某点与无穷远点的连线，就相当于过这点作相应渐近线的平行线。
3. ^ 容易看出这两三角形的边相互地垂直着。