如何看待大连理工大学九月份开学只针对学生的封闭式管理？ 第1页

2021.2.23

文章已在Journal of Physics: Conference Series上发表，地址：https://iopscience.iop.org/article/10.1088/1742-6596/1707/1/012027

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2020.9

客观上，只针对学生的封闭式管理能起到防护作用吗？换句话说，禁止学生出校门，学生在校内形成大规模聚集，客观上一定有利于阻止传染病的传播吗？

对此，我建立了一个数学模型。模型的结果出人意料：禁止学生出校门，不仅未必阻止传染病的传播，有时还会加剧传染病的传播。

高校封闭管理的人员流动特征：小部分人群与外界流通，大部分人群在内部聚集，与国外的“养老院”和“监狱”非常相似，容易成为疫情高发地。

在模型假设中，首先对学生和教职工这两类人群做统一处理，都记为校内人员，总人数为 。其中，有 比例的人员允许出校，其余 比例的人员禁止出校。如果只允许教职工进出校园，那么 就是一个很小的数字。

对校内人员进一步划分，将校内人员分为两类：易感者和潜伏者。其中，易感者没有感染，其人数记为 。潜伏者已经感染，但未被发现，其人数记为 。满足 。一旦有潜伏者发现，学校就会采取紧急措施，本模型就不再适用。因此我们仅研究未发现确诊病例前的人群演化。

对于校外，记走出校门后可接触的社会人员数量为 ，其中，存在 数量的潜伏病例。 是一个极小的常数。由于政府应对，不考虑社会人员之间的大规模传播。

假定人群是混合均匀的，即：在可能的流动范围内，人群会充分的流动并接触。

由于学校允许 比例的校内人员出校，而不同人群对于学校来说是不可区分的，因此单位时间内，平均有 的易感者和 的潜伏者被允许出校，允许与社会人员接触。剩余 的易感者和 的潜伏者禁止出校，只能与校内人员接触。下面分类讨论不同人群的接触情况。

对于允许出校的易感者，其人数为 。由于人群混合均匀，因此有 的机会出现在校外，与校外人员接触，有 的机会出现在校内，与其他校内人员接触。如果出现在校外，那么：可能接触到社会潜伏病例，数量为 ；可能接触到以 的机会出现在校外的允许出校的潜伏者，数量为 。如果出现在校内，那么：可能接触到以 的机会出现在校内的允许出校的潜伏者，数量为 ；可能接触到禁止出校的潜伏者，数量为 。

对于禁止出校的易感者，其人数为 。他们可能接触到以 的机会出现在校内的允许出校的潜伏者，数量为 ；可能接触到禁止出校的潜伏者，数量为 。

假定病毒以 的恒定速率在人群间通过潜伏者与易感者的接触传播。

最后，假定人群中存在 比例的幸运儿，能够自愈并回归易感状态（例如无症状）。单位时间内有 的潜伏者自愈，变为易感者。

除了 和 ，所有参数都是常数。

综上所述，我们有描述人群演化的微分方程组：

病毒传播的直观示意图见图1。

下面，对人群比例的演化进行数值模拟。

根据直观含义，假定参数取以下值： ， ， ， ， ， 。由于社会人员和校内人员主要起比例作用，其数值大小不影响结果，因此这里简单取10和1。初始条件显然为 ， 。

采用欧拉差分法，步长为0.01，演化1000个单位时间，得到图2。

改变参数，取： ， ， ， ， ， 。其中允许出校的人员比例 增加了。模拟得到图3。

在图2和图3中，当 时，易感者比例为1，潜伏者比例为0。随着时间的推移，潜伏者的比例逐渐增高。易感者转变为潜伏者，比例逐渐降低。最后，二者比例会达到一个稳定状态，在学校发现确诊病例并采取紧急措施前，不再随时间变化。而这一状态下不同人群比例的值与参数有关。

综合图2和图3，我们发现，当学校允许更多的人员出校（图3）后，潜伏者的稳定比例相比允许更少人员出校（图2）时，有所减小。

将稳定条件

和约束条件

代入前面的微分方程组，可以得到关于潜伏者稳定数量 的一元二次方程，并求得解析解。

若仅考虑约束条件，还可将潜伏者数量随时间的变化看做一个系数为常数的黎卡提（Riccati）方程，直接用分离变量法求解，得到潜伏者数量随时间变化的解析解。

请详细介绍下黎卡提方程在控制理论中的重要性和作用？ - 知乎

经本人尝试，上述解析解都是十分复杂的，不方便进行理论分析。因此，以下仍然采用数值模拟来代替理论分析。

为了研究允许出校的人员比例 对校内潜伏者数量的具体影响方式，我们令 从0到1以0.01的步长变化，以 为横坐标，对于每个 ，根据相应参数模拟1000个单位时间，取潜伏者比例的稳定值作为纵坐标。

假定参数为： ， ， ， ， 。这里，允许出校的人员出现在校外和校内的概率是相等的。模拟得到结果如图4所示。

通过图4，我们看到，当 时，潜伏者比例为0。这符合直觉，完全没有人员进出，当然不会有任何病毒传播。然而，当 时，事实与我们的直觉相反。当允许人员进出学校后，校内会产生一定数量稳定的潜伏者。而允许越多的人员出校，校内感染的潜伏者比例反而会越小。当完全允许所有人自由出入后，潜伏者比例会降至0，与完全禁止所有人出入的效果相同。

这类似于，电影院这种小规模流动的封闭场所容易发生大规模聚集性感染，而一个不禁止流动的大型社会，由于政府应对且人员充分流动，反而不容易发生大规模聚集性感染。

为检验结果的鲁棒性，改变参数，取： ， ， ， ， 。这里，允许出校的人员出现在校外概率增加了10倍。模拟得到结果如图5所示。

通过图5，可以看到，结果发生了变化。当允许出校的人员比例不大时，仍然是允许越多的人员出校，校内潜伏者的比例越低。当允许更多人员出校后，潜伏者比例会反弹。

因此， 时，存在最佳控制点。允许一个 特定比例的人员出校，能够使校内潜伏者数量达到最低。这个比例可以在图5的横坐标上找到。这个结果或许能为学校的政策制定提供指导性建议。

再改变参数，取： ， ， ， ， 。这里，允许出校的人员出现在校外概率增加了1000倍。模拟得到结果如图6所示。

图6的结果相较图5没有发生太大变化。允许出校的人员出现在校外的概率为10倍和1000倍的结果，差别已经不大，因此相关结果具有鲁棒性。

但无论如何，只允许教职工出入校园，即图中 接近0但不为0的情况，事态将是最糟糕的。这同样可以解释为何国外的“养老院”和“监狱”会成为疫情高发地。从人员流动特征上来说，就是小部分人群与外界流通，大部分人群在内部流动，形成聚集性感染。高校封闭管理的人员流动特征与“养老院”和“监狱”非常相似，容易成为疫情高发地。

其他讨论：在上述模拟结果中，潜伏者比例通常不为零，这并不是一件好事。但我们的模型所模拟的是平均意义下的结果，即：万一发生感染，校内人员被感染的比例。这是一个隐藏式的结果，但对现实仍有指导意义。

对于感染比例随允许出校比例减小的结果，我们的解释为：完全自由流动，相当于并入一个大型社会，人群间平均接触更少，更不易传染。或者可以这么说，假如学校里有一个潜伏者，如果学校禁止学生出入，那么他只能去食堂吃饭，而所有学生都聚集在食堂里，这个潜伏者会把食堂中聚集的学生都感染上。如果学校不禁止他流动，他可能会出校吃饭。虽然出校也会传染给别人，但校外餐厅的人数肯定不如全校学生聚集在食堂那么多，因此感染的人数会更少。

对于存在最佳出校人员比例控制点的结果，可以按文中提示的方法求得解析解，通过对参数 的偏导，得到数学上的解释。

最后，我们对本文做一个总结。通过上述模拟，我们得到了以下结论：

• 为了防控疫情，学校允许单位时间内一定比例的人员出入学校，出校的人员可能与社会中的潜伏者接触，以极小的概率将病毒带入校园。在校内发现确诊病例前，校内感染者与未感染者的比例会形成稳定点，而感染比例与允许出入校园的人员比例有关。
• 当完全禁止任何人员出入校园时，校内不会发生病毒传播。而允许一定比例人员出入后，校内可能形成一定规模病毒传播。当允许出校人员的出校意愿不高时，感染比例会随着允许出校的比例逐渐降低。完全禁止出入与完全允许出入的效果是一样的，而只允许一小部分人员出入的结果是最糟的。
• 当允许出校人员的出校意愿较高时，存在感染比例的最佳控制点。当允许一个特定比例的人员出入时（我们的参数下，这个比例为一半左右），校内的潜在感染比例会被控制在最小。这或许能为学校的政策制定提供相关指导性参考。

综上所述，我反对目前的只针对学生的封闭式管理。

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