狄拉克delta函数作为一种"广义的连续单位矩阵"存在着逆吗?

狄拉克 $delta$ 函数，这个在物理学和数学领域如雷贯耳的概念，常常被描述为一种“广义的连续单位矩阵”。这个说法本身就充满了洞察力，它暗示着 $delta$ 函数在某种意义下扮演着与离散单位矩阵（ Kronecker $delta$ ）相似的角色，尤其是在积分运算中作为一种“选择器”或“筛选器”。那么，既然单位矩阵有逆， $delta$ 函数作为它的“连续变种”，是否也拥有逆呢？这是一个非常深刻的问题，答案并不是简单的“是”或“否”，而是需要我们深入理解 $delta$ 函数的本质以及逆的概念在积分运算中的体现。

首先，让我们回顾一下离散单位矩阵 $ delta_{ij} $ 的性质。

在离散的向量空间（比如 $ mathbb{R}^n $ ）中，单位矩阵 $ I $ 的元素是 $ delta_{ij} $，其中 $ i, j $ 是指标。它的关键性质是：

性质一： 对于任何向量 $ mathbf{v} $， $ Imathbf{v} = mathbf{v} $。也就是说，单位矩阵乘以任何向量，都得到该向量本身。
性质二： 逆矩阵 $ I^{1} $ 存在，并且 $ I^{1} = I $。 $ I cdot I^{1} = I^{1} cdot I = I $。

现在，让我们来看狄拉克 $ delta $ 函数在连续空间中的类比。

狄拉克 $delta$ 函数通常被定义在实数轴上，它并非一个严格意义上的函数，而是一个广义函数（或分布）。它的核心性质可以概括为：

性质一（“选择器”性质）： 对于任何连续函数 $ f(x) $，有
$$ int_{infty}^{infty} f(x) delta(xa) , dx = f(a) $$
这里的 $ a $ 是一个常数，可以看作是“被选择”的点。这个性质直观地说明了 $delta$ 函数如何“提取”被积函数在某个特定点的值。

这与离散单位矩阵的作用非常相似。如果我们考虑一个无限维向量空间，其基由一系列函数构成（例如，如果我们在一个点集上定义函数），那么一个“连续单位算子”作用在某个函数上，会“选择”出该函数在该“基点”（对应于 $ delta $ 函数的“尖峰”）处的值。

那么，“逆”在连续积分运算中意味着什么？

在函数空间和算子理论中，“逆”的概念也意味着找到一个算子（或者可以看作是执行某种运算的“函数”）能够“撤销”另一个算子的作用。对于一个算子 $ A $，如果存在一个算子 $ B $ 使得 $ AB = BA = I $（这里的 $ I $ 是单位算子），那么 $ B $ 就是 $ A $ 的逆。

在连续积分运算的语境下，考虑一个积分算子，例如：
$$ (K f)(x) = int_{infty}^{infty} k(x, y) f(y) , dy $$
我们想找到一个算子，使得作用在某个函数上后，能得到原函数。

狄拉克 $delta$ 函数作为“核”的性质：

$delta$ 函数本身可以被视为一个非常特殊的积分核。如果我们考虑一个算子 $ D $，其作用是：
$$ (D f)(x) = int_{infty}^{infty} f(y) delta(xy) , dy $$
根据 $delta$ 函数的性质，我们可以直接看到：
$$ (D f)(x) = f(x) $$
因此，在这个意义上，狄拉克 $delta$ 函数实现了单位算子的作用。它“乘以”一个函数，然后通过积分，就得到了这个函数本身。

那么，$delta$ 函数的“逆”是什么？

如果我们按照字面意思来问“$delta$ 函数 $ delta(xa) $ 的逆函数是什么？”，答案是不存在一个我们熟悉的意义上的函数，能够和 $delta$ 函数进行乘法运算，得到一个“单位”式的结果（比如在所有点都是1的常数函数）。 $delta$ 函数的定义是高度依赖于积分运算的。

然而，如果我们将问题转化为：“是否存在一个算子，能够与‘乘以 $delta(xa)$’这个操作‘相互抵消’，使得其作用如同单位算子？”，那么我们可以换个角度思考。

$delta$ 函数的“单位元”性质：

与其寻找 $delta$ 函数的逆，更恰当的理解是 $delta$ 函数本身在积分运算中扮演着单位元的角色。就像乘法中的1一样，任何数乘以1都等于它本身。 $delta$ 函数通过积分，能够“恢复”被积函数。

考虑一个更抽象的视角：在函数空间上定义算子。
令 $ M_g $ 为一个乘法算子，其作用是将一个函数 $ f(x) $ 乘以函数 $ g(x) $：
$$ (M_g f)(x) = g(x) f(x) $$
如果 $ g(x) = delta(xa) $，那么
$$ (M_{delta(cdota)} f)(x) = delta(xa) f(x) $$
要找到这个算子的“逆”，我们实际上是在寻找一个算子 $ T $ 使得：
$$ T (M_{delta(cdota)} f)(x) = f(x) $$
换句话说，我们希望 $ T $ 能够“清除” $delta(xa)$ 的乘法作用。

但是， $delta(xa)$ 在 $x eq a$ 时为零，在 $x=a$ 时“无穷大”。直接对 $delta(xa) f(x)$ 进行积分并不能直接得到 $f(x)$ 的整体信息，而是提取 $f(a)$。

真正的关键在于理解“作为连续单位矩阵”的含义。

“广义的连续单位矩阵”的说法，最贴切的理解是 $delta$ 函数是积分算子的核（kernel），而这个积分算子恰好就是单位算子。

也就是说， $delta(xy)$ 是单位算子 $I$ 的核。
$$ (I f)(x) = f(x) = int_{infty}^{infty} f(y) delta(xy) , dy $$
在这里， $delta(xy)$ 就像是 $I$ 的“矩阵元素”，只不过它是连续的，并且通过积分来完成“求和”的过程。

那么，如果 $delta(xy)$ 是单位算子的核，我们自然会问，这个单位算子本身有没有逆？单位算子 $I$ 的逆就是它自身 $I$。

那么，如何用“逆”的语言来描述 $delta$ 函数呢？

与其说 $delta$ 函数有逆，不如说 $delta$ 函数的“乘法”操作在积分的框架下就是“单位操作”。

让我们回到算子的视角。
考虑一个算子 $ mathcal{D} $，定义为：
$$ (mathcal{D} f)(x) = int_{infty}^{infty} f(y) delta(xy) , dy $$
我们已经看到 $(mathcal{D} f)(x) = f(x)$。所以 $ mathcal{D} $ 就是单位算子 $I$。
那么，我们想找到一个算子 $ mathcal{B} $ 使得 $ mathcal{B} mathcal{D} = I $。
既然 $ mathcal{D} = I $，那么 $ mathcal{B} I = I $，显然 $ mathcal{B} = I $。

然而，这个“逆”的解释似乎并没有特别揭示 $delta$ 函数本身的“逆运算”。

更深层的理解：傅里叶变换与乘法和卷积。

在函数分析中，傅里叶变换是理解算子作用的一个强大工具。它将乘法变成卷积，将卷积变成乘法。

卷积的定义： $ (f g)(x) = int_{infty}^{infty} f( au) g(x au) , d au $
傅里叶变换的性质：
$ mathcal{F}(fg) = mathcal{F}(f) cdot mathcal{F}(g) $
$ mathcal{F}(f cdot g) = mathcal{F}(f) mathcal{F}(g) $ （卷积形式的傅里叶变换）

$delta$ 函数的卷积性质非常关键：
$$ (f delta)(xi) = int_{infty}^{infty} f(xi au) delta( au) , d au = f(xi) $$
$$ (f delta_a)(xi) = int_{infty}^{infty} f(xi au) delta( aua) , d au = f(xia) $$
这里 $ delta_a(x) = delta(xa) $。

可以看到， $delta$ 函数在卷积运算中扮演着单位元的角色，就像实数乘法中的1一样。

如果我们将问题放在“算子”的层面上，考虑“乘法算子”和“卷积算子”。

1. 乘法算子 $ M_g $： $ (M_g f)(x) = g(x) f(x) $
2. 卷积算子 $ C_k $： $ (C_k f)(x) = (k f)(x) = int_{infty}^{infty} k(xy) f(y) , dy $

$delta$ 函数本身可以看作是一个“核”，执行单位卷积：
$$ (C_{delta} f)(x) = (delta f)(x) = f(x) $$
所以，卷积算子 $ C_{delta} $ 就是单位算子 $I$。

现在考虑 $delta$ 函数作为“乘法器”的情况。
令 $ M_{delta_a} $ 为乘法算子 $ delta_a $：
$$ (M_{delta_a} f)(x) = delta(xa) f(x) $$
我们想找到一个算子 $ T $ 使得 $ T M_{delta_a} = I $。
即 $ T(delta(xa) f(x)) = f(x) $。

如果 $T$ 是一个卷积算子 $C_h$，那么：
$ (C_h (M_{delta_a} f))(x) = (h (delta_a f))(x) = int_{infty}^{infty} h(xy) (delta(ya) f(y)) , dy $
为了让这个结果等于 $f(x)$，我们需要：
$ int_{infty}^{infty} h(xy) delta(ya) f(y) , dy = f(x) $
根据 $delta$ 函数的性质，上式可以简化为：
$ h(xa) f(a) = f(x) $
这就要求 $ h(xa) $ 是一个常数（乘以 $f(a)$），而这个常数又是 $f(x)$ 的系数。这显然是做不到的，因为 $f(x)$ 可以是任意的函数。 $h(xa)$ 不可能同时等于 $f(x)/f(a)$ 对于所有 $f$。

所以，从严格的函数乘法算子意义上讲， $delta$ 函数（作为乘法因子）的“逆”是不存在的。

为什么我们仍然将其比作单位矩阵？

关键在于“作为连续单位矩阵”这个表述指向的是积分运算中的角色，而不是简单的函数乘法。

$delta(xa)$ 作为核的单位卷积： $ int f(y) delta(xy) , dy = f(x) $。这里的 $delta(xy)$ 就是单位算子的核。
Kronecker $delta_{ij}$ 作为离散求和中的“选择器”： $ sum_j A_{ij} v_j = v_i $。在这里 $ delta_{ij} $ 也是单位矩阵的元素。

在离散情况下，单位矩阵 $I$ 的元素是 $delta_{ij}$。
$ (Imathbf{v})_i = sum_j I_{ij} v_j = sum_j delta_{ij} v_j = delta_{i1}v_1 + delta_{i2}v_2 + dots = v_i $。

在连续情况下，单位算子 $I$ 的核是 $delta(xy)$。
$ (If)(x) = int f(y) delta(xy) , dy = f(x) $。

如果 $delta(xy)$ 是单位算子 $I$ 的核，那么我们问的是单位算子 $I$ 的逆是什么。答案是 $I$ 自身。

结论的细化：

狄拉克 $delta$ 函数本身 不直接存在一个“逆函数”来与其进行乘法运算以得到“1”。 $delta$ 函数是一个广义函数，其意义体现在积分运算中。

更准确地说， $delta(xy)$ 是单位算子（即作用为恒等映射的算子）的积分核。正如单位矩阵的元素是 Kronecker $delta_{ij}$ 一样， $delta(xy)$ 在连续积分运算中扮演着类似的“选择”和“聚合”角色，使得通过积分可以“恢复”原始函数。

因此，与其问 $delta$ 函数“有无逆”，不如说：

1. $delta$ 函数在卷积运算中是单位元。
2. $delta$ 函数是单位算子的核。

如果我们将“作为连续单位矩阵”理解为“其积分作用是单位算子”，那么这个单位算子自身的逆就是它自己。但这不是 $delta$ 函数“自身”有逆，而是它所代表的积分操作是单位操作。

在某些语境下，如果我们考虑一种“点乘”式的算子，例如 $ (Af)(x) = A(x) f(x) $，那么 $delta(xa)$ 作为乘法因子，其乘法逆（即 $1/delta(xa)$）在大多数情况下是无法良好定义的。

所以，狄拉克 $delta$ 函数作为“广义的连续单位矩阵”，它的“单位性”体现在积分运算中，它使积分运算成为一个“单位操作”。它本身并不需要“逆”来完成“单位操作”，它就是单位操作的实现者（通过作为核）。

无穷维空间和有限维空间的一大区别是矩阵这个重要工具的失效，我们并不能对于任何无穷维空间中的算子 假定一个函数 使得它满足：

但是反过来，我们对于性质足够好的是能够确定一个算子 的，这个时候我们通常称 是 的核函数。

为了方便，我们可以利用一些广义函数来为那些没有核函数的算子构造一个所谓的“核函数”，我们知道广义函数不过是把函数映射为数的线性泛函：

所以如果我们给广义函数一个参数 ，那么对于每个给定的 可以给出一个确定的数 ，现在我们让参数 跑动起来，就变成了一个关于 的函数，这么看来，所有的算子都可以确定一个含参广义函数

可以看到这和一开始的算式完全反了过来，也就是说，对于真正的核函数，我们是用函数定义算子，而对于广义核函数实际是用算子定义了广义函数。

所以 就是用恒等算子定义了δ函数罢了，当然对于恒等算子而言，它在算子代数中的逆就是本身 。

所以要理解这等式，首先泊松括号 作为一个核函数，可以确定一个函数空间的算子

然后，这个算子当然应该满足 这就是算子的逆的定义而已。