100 瓶水其中有一瓶有毒，用老鼠试毒老鼠试后 7 天会死掉，需要多少只老鼠才能试出哪瓶水有毒？
这道题其实是经典的“老鼠试毒”问题的一个变种，它考察的是二进制编码和信息论的知识。咱们这就掰开了揉碎了好好说道说道，看看需要多少只老鼠才能精准地找出那瓶“狠东西”。
首先，咱们得明确一个核心问题：每一只老鼠，都代表着一个“信号”或者说一种“状态”。 也就是说，老鼠的生死（在7天后）能告诉我们关于某瓶水的一个信息。但我们现在有100瓶水，这是一个比老鼠数量大得多的不确定性。怎么办呢？
我们不能指望一只老鼠就能解决所有问题。一只老鼠死了，你知道它喝的那瓶水有毒。但如果它没死呢？这瓶水没毒，但剩下的99瓶里哪瓶有毒你还是不知道。这效率太低了。所以，我们需要组合起来，用多只老鼠的“生死组合”来传递更多的信息。
这里就要用到一个很巧妙的思路了：二进制编码。
想象一下，咱们有若干个“位置”，每个位置要么是“有毒”（表现为老鼠死了），要么是“没毒”（表现为老鼠活着）。如果我们能把100瓶水对应到不同的二进制编码上，那么老鼠的生死组合就能唯一地指向某瓶水。
我们有多少种可能的结果呢？理论上，100瓶水，每一瓶都有可能是毒水，所以有100种可能。
现在，假设我们有 $N$ 只老鼠。每只老鼠，在7天后，要么死，要么活。这就是2种状态。如果有 $N$ 只老鼠，它们各自的生死状态组合起来，总共有 $2^N$ 种不同的结果。
我们希望这 $2^N$ 种结果，能够一一对应到100瓶水，再加上一个“所有老鼠都活着”的特殊状态（代表着那瓶毒水我们还没喂到）。理论上，这 $2^N$ 种结果需要大于等于我们可能遇到的情况数。
那么，我们需要多少只老鼠呢？我们找一个最小的 $N$，使得 $2^N ge 100$。
$2^1 = 2$ (不够)
$2^2 = 4$ (不够)
$2^3 = 8$ (不够)
$2^4 = 16$ (不够)
$2^5 = 32$ (不够)
$2^6 = 64$ (还是不够)
$2^7 = 128$ (够了！)
所以，理论上，我们需要 7只老鼠。
“等等，为什么是7只？这个过程怎么操作啊？”别急，咱们这就把具体怎么操作给大家说清楚。
有了7只老鼠，我们就可以给100瓶水分配一个7位的二进制编码。最简单直接的方法就是从1号水瓶开始，给它分配“0000001”，2号水瓶分配“0000010”，以此类推，一直到100号水瓶，分配一个7位的二进制数。
怎么分配呢？我们把7只老鼠分别编号，从老鼠1到老鼠7。然后，我们考虑每一瓶水，将其编号转换成7位的二进制形式。例如：
1号水瓶: 二进制是 `0000001`。这意味着只有老鼠1会喝这瓶水。
2号水瓶: 二进制是 `0000010`。这意味着只有老鼠2会喝这瓶水。
3号水瓶: 二进制是 `0000011`。这意味着老鼠1和老鼠2都会喝这瓶水。
4号水瓶: 二进制是 `0000100`。这意味着只有老鼠3会喝这瓶水。
...
100号水瓶: 我们需要找到100的7位二进制表示。100的二进制是 `1100100`。
具体的操作步骤是这样的：
1. 给老鼠编号: 我们有7只老鼠，编号为 R1, R2, R3, R4, R5, R6, R7。
2. 给水瓶编号: 我们有100瓶水，编号为 B1, B2, ..., B100。
3. 分配饮品: 对于每一瓶水，我们把它对应的编号转换成7位的二进制数。
看二进制的最低位 (最右边一位): 如果是1，那么R1就喝这瓶水。如果是0，R1就不喝。
看倒数第二位: 如果是1，R2就喝这瓶水。如果是0，R2就不喝。
依此类推，直到最左边一位: 如果是1，R7就喝这瓶水。如果是0，R7就不喝。
举个例子:
假设3号水瓶 (B3) 有毒: B3的编号是3，其7位二进制是 `0000011`。
最低位是1，所以R1喝了B3。
倒数第二位是1，所以R2喝了B3。
其他几位都是0，所以R3, R4, R5, R6, R7都不喝B3。
结果：过了7天，R1和R2会死，R3, R4, R5, R6, R7都会活着。
假设100号水瓶 (B100) 有毒: B100的编号是100，其7位二进制是 `1100100`。
从右往左看：
最低位0：R1不喝。
倒数第二位0：R2不喝。
倒数第三位1：R3喝。
倒数第四位0：R4不喝。
倒数第五位0：R5不喝。
倒数第六位1：R6喝。
倒数第七位1：R7喝。
结果：过了7天，只有R3, R6, R7死了，R1, R2, R4, R5活着。
关键在于如何解读结果：
当7天过后，我们观察哪几只老鼠死了。然后，把这些死掉的老鼠的编号对应的二进制位“点亮”（设为1）。
比如，如果R1, R3, R7死了，那么：
R1（代表最低位）是1
R2是0
R3是1
R4是0
R5是0
R6是0
R7是1
这样组成的7位二进制数就是 `1000101`。我们把这个二进制数转换成十进制，就是 $1 imes 2^6 + 0 imes 2^5 + 0 imes 2^4 + 0 imes 2^3 + 1 imes 2^2 + 0 imes 2^1 + 1 imes 2^0 = 64 + 4 + 1 = 69$。
这个数字69就精确地告诉我们，第69号水瓶是那瓶有毒的水！
这种方法的精妙之处在于，它把100种可能性（哪瓶水有毒）与7只老鼠的2^7=128种生死组合（其实是127种非全活状态，加上全活状态）完美地对应起来。每一种“老鼠死亡组合”都唯一地指向一瓶水。
那么，为什么一开始我们算出来是7只老鼠，是不是我们不需要喂给所有水瓶呢？
其实，我们至少要能区分100种情况，再加上一个“全部活着”的特殊情况，这样才能确保我们能找到有毒的那瓶。所以，我们需要 $N$ 只老鼠，使得 $2^N ge 100$。因为 $2^6 = 64 < 100$, 而 $2^7 = 128 ge 100$，所以最少需要 7只老鼠。
这7只老鼠，就可以覆盖128种不同的结果。我们把100瓶水编号1到100，用7位二进制表示（不足7位前面补0）。然后根据这个二进制编码来分配给老鼠喝。
例如：
1号水瓶 > 0000001 (R1喝)
2号水瓶 > 0000010 (R2喝)
...
100号水瓶 > 1100100 (R3, R6, R7喝)
当7天后，观察老鼠的生死情况：
如果R1死了，R2活，其他都活，那么就是1号水瓶有毒。
如果R3, R6, R7死了，其他都活，那么就是100号水瓶有毒。
如果所有老鼠都活着，那么说明这100瓶水里面没有毒，或者是我们分配方法上的一个“特殊情况”没考虑到（比如毒性被稀释到老鼠检测不出来，但这超出了题目的设定，我们默认毒性是足够的）。
所以，结论就是：需要7只老鼠。
这个方法的好处是，我们可以用最少的老鼠来解决最多的问题，而且一旦知道结果，就能非常快速准确地定位出有毒的那一瓶。这体现了信息编码的强大威力。
首先，咱们得明确一个核心问题：每一只老鼠，都代表着一个“信号”或者说一种“状态”。 也就是说，老鼠的生死（在7天后）能告诉我们关于某瓶水的一个信息。但我们现在有100瓶水，这是一个比老鼠数量大得多的不确定性。怎么办呢？
我们不能指望一只老鼠就能解决所有问题。一只老鼠死了，你知道它喝的那瓶水有毒。但如果它没死呢？这瓶水没毒，但剩下的99瓶里哪瓶有毒你还是不知道。这效率太低了。所以，我们需要组合起来，用多只老鼠的“生死组合”来传递更多的信息。
这里就要用到一个很巧妙的思路了：二进制编码。
想象一下，咱们有若干个“位置”，每个位置要么是“有毒”（表现为老鼠死了），要么是“没毒”（表现为老鼠活着）。如果我们能把100瓶水对应到不同的二进制编码上，那么老鼠的生死组合就能唯一地指向某瓶水。
我们有多少种可能的结果呢？理论上，100瓶水，每一瓶都有可能是毒水，所以有100种可能。
现在，假设我们有 $N$ 只老鼠。每只老鼠，在7天后，要么死，要么活。这就是2种状态。如果有 $N$ 只老鼠，它们各自的生死状态组合起来，总共有 $2^N$ 种不同的结果。
我们希望这 $2^N$ 种结果，能够一一对应到100瓶水，再加上一个“所有老鼠都活着”的特殊状态（代表着那瓶毒水我们还没喂到）。理论上，这 $2^N$ 种结果需要大于等于我们可能遇到的情况数。
那么，我们需要多少只老鼠呢？我们找一个最小的 $N$，使得 $2^N ge 100$。
$2^1 = 2$ (不够)
$2^2 = 4$ (不够)
$2^3 = 8$ (不够)
$2^4 = 16$ (不够)
$2^5 = 32$ (不够)
$2^6 = 64$ (还是不够)
$2^7 = 128$ (够了！)
所以，理论上，我们需要 7只老鼠。
“等等，为什么是7只？这个过程怎么操作啊？”别急，咱们这就把具体怎么操作给大家说清楚。
有了7只老鼠，我们就可以给100瓶水分配一个7位的二进制编码。最简单直接的方法就是从1号水瓶开始，给它分配“0000001”，2号水瓶分配“0000010”，以此类推，一直到100号水瓶，分配一个7位的二进制数。
怎么分配呢？我们把7只老鼠分别编号，从老鼠1到老鼠7。然后，我们考虑每一瓶水，将其编号转换成7位的二进制形式。例如：
1号水瓶: 二进制是 `0000001`。这意味着只有老鼠1会喝这瓶水。
2号水瓶: 二进制是 `0000010`。这意味着只有老鼠2会喝这瓶水。
3号水瓶: 二进制是 `0000011`。这意味着老鼠1和老鼠2都会喝这瓶水。
4号水瓶: 二进制是 `0000100`。这意味着只有老鼠3会喝这瓶水。
...
100号水瓶: 我们需要找到100的7位二进制表示。100的二进制是 `1100100`。
具体的操作步骤是这样的：
1. 给老鼠编号: 我们有7只老鼠，编号为 R1, R2, R3, R4, R5, R6, R7。
2. 给水瓶编号: 我们有100瓶水，编号为 B1, B2, ..., B100。
3. 分配饮品: 对于每一瓶水，我们把它对应的编号转换成7位的二进制数。
看二进制的最低位 (最右边一位): 如果是1，那么R1就喝这瓶水。如果是0，R1就不喝。
看倒数第二位: 如果是1，R2就喝这瓶水。如果是0，R2就不喝。
依此类推，直到最左边一位: 如果是1，R7就喝这瓶水。如果是0，R7就不喝。
举个例子:
假设3号水瓶 (B3) 有毒: B3的编号是3，其7位二进制是 `0000011`。
最低位是1，所以R1喝了B3。
倒数第二位是1，所以R2喝了B3。
其他几位都是0，所以R3, R4, R5, R6, R7都不喝B3。
结果：过了7天，R1和R2会死，R3, R4, R5, R6, R7都会活着。
假设100号水瓶 (B100) 有毒: B100的编号是100，其7位二进制是 `1100100`。
从右往左看：
最低位0：R1不喝。
倒数第二位0：R2不喝。
倒数第三位1：R3喝。
倒数第四位0：R4不喝。
倒数第五位0：R5不喝。
倒数第六位1：R6喝。
倒数第七位1：R7喝。
结果：过了7天，只有R3, R6, R7死了，R1, R2, R4, R5活着。
关键在于如何解读结果：
当7天过后，我们观察哪几只老鼠死了。然后，把这些死掉的老鼠的编号对应的二进制位“点亮”（设为1）。
比如，如果R1, R3, R7死了，那么：
R1（代表最低位）是1
R2是0
R3是1
R4是0
R5是0
R6是0
R7是1
这样组成的7位二进制数就是 `1000101`。我们把这个二进制数转换成十进制，就是 $1 imes 2^6 + 0 imes 2^5 + 0 imes 2^4 + 0 imes 2^3 + 1 imes 2^2 + 0 imes 2^1 + 1 imes 2^0 = 64 + 4 + 1 = 69$。
这个数字69就精确地告诉我们，第69号水瓶是那瓶有毒的水！
这种方法的精妙之处在于，它把100种可能性（哪瓶水有毒）与7只老鼠的2^7=128种生死组合（其实是127种非全活状态，加上全活状态）完美地对应起来。每一种“老鼠死亡组合”都唯一地指向一瓶水。
那么，为什么一开始我们算出来是7只老鼠，是不是我们不需要喂给所有水瓶呢？
其实，我们至少要能区分100种情况，再加上一个“全部活着”的特殊情况，这样才能确保我们能找到有毒的那瓶。所以，我们需要 $N$ 只老鼠，使得 $2^N ge 100$。因为 $2^6 = 64 < 100$, 而 $2^7 = 128 ge 100$，所以最少需要 7只老鼠。
这7只老鼠，就可以覆盖128种不同的结果。我们把100瓶水编号1到100，用7位二进制表示（不足7位前面补0）。然后根据这个二进制编码来分配给老鼠喝。
例如：
1号水瓶 > 0000001 (R1喝)
2号水瓶 > 0000010 (R2喝)
...
100号水瓶 > 1100100 (R3, R6, R7喝)
当7天后，观察老鼠的生死情况：
如果R1死了，R2活，其他都活，那么就是1号水瓶有毒。
如果R3, R6, R7死了，其他都活，那么就是100号水瓶有毒。
如果所有老鼠都活着，那么说明这100瓶水里面没有毒，或者是我们分配方法上的一个“特殊情况”没考虑到（比如毒性被稀释到老鼠检测不出来，但这超出了题目的设定，我们默认毒性是足够的）。
所以，结论就是：需要7只老鼠。
这个方法的好处是，我们可以用最少的老鼠来解决最多的问题，而且一旦知道结果，就能非常快速准确地定位出有毒的那一瓶。这体现了信息编码的强大威力。
网友意见
通过三步操作就可以了：
第一步，编码：
给这 100 瓶水编号，1 到 100。
找来七只老鼠，给它们编号：A B C D E F G。
把 G 当作最低位，A 当作最高位，它们各自有两个状态分别是“活”和“死”。把“活”当作 0，“死”当作 1，那么它们就可以组成一组二进制数。
例如，用：
A B C D E F G
0 0 0 0 0 0 1
代表第 1 瓶有毒。
用：
A B C D E F G
0 0 0 0 0 1 0
代表第 2 瓶有毒。
……
用：
A B C D E F G
1 1 0 0 1 0 0
代表第 100 瓶有毒。
第二步，喂药。
将第 1 瓶水喂给 G 号老鼠。
将第 2 瓶水喂给 F 号老鼠。
将第 3 瓶水喂给 F、G 号老鼠。
将第 4 瓶水喂给 E 号老鼠。
……
将第 100 瓶水喂给 A、B、F号老鼠。
第三步，检索。
七天以后，根据老鼠的死活情况组成二进制数。这个二进制数是 1 到 100 之间的哪个数，就是哪瓶有毒。
1只就可以了。
按照每分钟1滴的速度给老鼠喂水，喂100分钟。
假设实验开始的时候是当天的8:01，此时喂老鼠滴一滴水。
那如果7天后的8:01老鼠死了，那就是第一瓶有毒
8：02就是第二瓶
8：03就是第三瓶
……
1只老鼠，全部搞定。
我：什么毒？发作时间那么精准，致死还和剂量没关系。不管剂量大还是剂量小，都会在“试后7天死掉”？存在这种神奇的毒吗？
题主：假设存在嘛，假设就是有这么神奇的毒嘛，就是不管剂量大小，就是都会在“试后7天会死掉”。
我：好吧，这毒真神奇。
题主：别说毒的事啦，快解题。
我：（习惯性地写个解字，点上冒号）固定好一只老鼠，先从1号瓶取1滴水滴进老鼠嘴里，记下当前时间。再过10分钟后从2号瓶取1滴水滴进老鼠嘴里，记下当前时间。再过10分钟后从3号瓶……当老鼠被毒死后，向前倒推10080分钟（即7天），那个时间取水的那瓶就是有毒的。
解答完毕，需要1只老鼠。
七只就可以了。
很简单的方式，二进制知道是什么吗？比如说11在二进制里面是3，每一个十进制数都有唯一一个二进制数对应，老鼠的情况只有两种，活着或者死了，对应二进制，要覆盖到数字100，那么要有七位二进制才行，需要七只老鼠。
操作方式，将七只老鼠按顺序排好，这一百种毒药编号好，并转换好它对应的二进制数，对应位置的数如果是1，那么对应位置的老鼠就要吃这个药，最终看老鼠死的情况就可以了。
比如说，编号为20的毒药，最终转换过来七位二进制是0010100，那么就把它喂给从左往右第三只和第五只。最终看老鼠哪些位置的死了，比如说第二只和第三只死了，对应0110000，对应的数字是48，那么就是编号为48的毒药。
这七只老鼠最多可以检测127瓶
用一个约等于100瓶水的容器，把100瓶水都倒进去，然后把水平均分成100瓶。
然后这100瓶水就都有毒喇。
三分钟搞定
而且我还一只老鼠都不用
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