请问复变函数中argz的可微性和解析性是怎么样的呢？
在复变函数的世界里，arg(z)（通常也写作 Arg(z) 或 argz，取决于分支的选取）是一个非常有趣且重要的函数，但它的性质与我们通常遇到的初等复变函数如 z, z², e^z 等有着显著的不同。理解 arg(z) 的可微性和解析性，需要我们深入剖析它在复平面上的行为。
arg(z) 的定义与多值性
首先，我们必须明确 arg(z) 的定义。对于一个非零复数 z = x + iy，我们可以将其写成极坐标形式：z = r e^(iθ)，其中 r = |z| 是模，而 θ 是辐角。arg(z) 的定义就是这个复数在复平面上与正实轴的夹角。
然而，一个关键的问题是：这个夹角是唯一的吗？显然不是。如果我们绕原点转一整圈，夹角会增加 2π。因此，arg(z) 是一个多值函数。更确切地说，arg(z) 的所有可能值是 θ₀ + 2kπ，其中 θ₀ 是一个主值（通常取在 (π, π] 或 [0, 2π) 之间），k 是任意整数。
为了在复变函数理论中处理它，我们通常会选取一个分支。最常见的是选取主值，记作 Arg(z)，它将 arg(z) 的值限制在一个特定的区间内，例如 Arg(z) ∈ (π, π]。这个主值的选取会涉及到对复平面进行“切割”，通常是在负实轴上进行切割。
arg(z) 的可微性
现在我们来讨论可微性。一个复变函数 f(z) 在点 z₀ 可微，意味着在 z₀ 点的某个邻域内，函数可以被一个线性变换（乘以一个复数）近似，并且这个近似的误差相对于 |Δz| 的趋向于零的速度比 |Δz| 快。在柯西黎曼方程的框架下，这意味着如果 f(z) = u(x, y) + iv(x, y)，则 u 和 v 必须满足柯西黎曼方程，并且偏导数必须连续。
让我们来看看 Arg(z)（取主值）。在极坐标下，我们可以将 Arg(z) 看作一个函数，其自变量是 r 和 θ。然而，复变函数的可微性是关于复数 z = x + iy 的。
在直角坐标下，Arg(z) 可以表示为：
Arg(z) = arctan(y/x)，但这有一个问题，就是当 x=0 时如何处理。
我们也可以用更严谨的方式定义：
如果 x > 0, Arg(z) = arctan(y/x)
如果 x < 0 且 y ≥ 0, Arg(z) = arctan(y/x) + π
如果 x < 0 且 y < 0, Arg(z) = arctan(y/x) π
如果 x = 0 且 y > 0, Arg(z) = π/2
如果 x = 0 且 y < 0, Arg(z) = π/2
如果 x = 0 且 y = 0, z=0，Arg(0) 未定义。
现在我们来检验柯西黎曼方程：∂u/∂x = ∂v/∂y 和 ∂u/∂y = ∂v/∂x。
这里，u(x, y) = Arg(z) 是实部，v(x, y) = 0 是虚部（因为我们只取了辐角）。
我们发现，在切割线（负实轴）之外的任何点，Arg(z) 的偏导数是存在的。例如，当 x ≠ 0 时：
∂(Arg(z))/∂x = ∂(arctan(y/x))/∂x = (1 / (1 + (y/x)²)) (y/x²) = xy / (x² + y²) = x / |z|²
∂(Arg(z))/∂y = ∂(arctan(y/x))/∂y = (1 / (1 + (y/x)²)) (1/x) = x / (x² + y²) = x / |z|²
现在检查柯西黎曼方程：
∂u/∂x = x / |z|²
∂v/∂y = ∂(0)/∂y = 0
显然，∂u/∂x ≠ ∂v/∂y。这意味着，从柯西黎曼方程的角度来看，Arg(z) 不满足成为一个可微函数的充要条件。
从几何角度理解不可微性
更直观的理解是，Arg(z) 在复平面上的变化。想象你在复平面上沿着一个圆绕原点运动。当你的路径跨越了我们选择的切割线（例如从负实轴上方到负实轴下方），Arg(z) 的值会发生一个跳跃，从接近 π 跳到接近 π（或者反之），这个跳跃是 2π 的。
可微性要求函数在其可微点周围是“光滑”且“连续变化”的。 这种突然的跳跃恰恰违反了这种“光滑”的要求。
所以，Arg(z)（或者说任何一个分支的 arg(z)）在复平面上除了在原点 (z=0) 和切割线上之外是不可微的。在原点，函数本身就没有定义。而在切割线上，由于函数值的定义不连续，它也是不可微的。
arg(z) 的解析性
一个复变函数如果在区域内的每一点都可微，那么它就被称为在该区域内是解析的。
既然我们已经得出 Arg(z)（以及任何一个分支的 arg(z)）在切割线和原点之外的任何点都不可微，那么它就无法在一个包含切割线或原点的区域内解析。
为了让 arg(z) 变得“更有用”，我们通常会在一个区域上讨论它的解析性，并且要求这个区域不包含切割线和原点。
结论：
可微性：
Arg(z)（主值分支）在除了原点 (z=0) 和切割线（通常是负实轴）之外的任何点上都是不可微的。
在原点，函数未定义。
在切割线上，函数值不连续，因此不可微。
即使我们考虑其他分支的 arg(z)，例如 Arg(z) ∈ [0, 2π)，也会在另一条线上（例如正实轴）出现不连续性，导致该处的不可微性。
解析性：
Arg(z) 在整个复平面上都不是解析的，因为存在不可微的点。
然而，我们可以在不包含原点和切割线的区域上定义一个解析的 branch of arg(z)。例如，在去除负实轴的复平面上，Arg(z) 是解析的。在去除正实轴的复平面上，另一个分支的 arg(z) 也是解析的。
一些补充和思考：
1. log(z) 的关系： 复对数函数 log(z) = ln|z| + i(arg(z) + 2kπ)。由于 arg(z) 的不连续性，log(z) 在原点和切割线上也是不解析的。我们可以通过选择 log(z) 的一个特定分支（例如 Ln(z) = ln|z| + iArg(z)）来获得一个在去除负实轴的区域内解析的函数。
2. 为什么我们关心 Arg(z)？ 尽管 Arg(z) 本身不是解析的，但它是许多解析函数（如 log(z)，z^a，arctan(z) 等）的虚部或与之密切相关。理解 Arg(z) 的性质是理解这些更复杂函数性质的基础。例如，一个解析函数 f(z) = u(x, y) + iv(x, y) 的虚部 v(x, y) 是 u(x, y) 的调和共轭。
3. 极坐标下的导数： 虽然 arg(z) 在直角坐标下不满足柯西黎曼方程，但如果我们将其视为一个在极坐标下关于 r 和 θ 的函数，并考虑复数形式的导数，会发现一些有趣的联系。但直接讨论其“可微性”通常是在直角坐标系下进行的。
总而言之，arg(z) 的多值性和它在复平面上的“绕行”特性，使其在任何包含原点或切割线的区域上都无法实现处处可微和解析。我们通常会在排除这些“问题点”的区域上，选取一个特定的分支来讨论它的解析性，从而构建更复杂的解析函数。
arg(z) 的定义与多值性
首先，我们必须明确 arg(z) 的定义。对于一个非零复数 z = x + iy，我们可以将其写成极坐标形式：z = r e^(iθ)，其中 r = |z| 是模，而 θ 是辐角。arg(z) 的定义就是这个复数在复平面上与正实轴的夹角。
然而，一个关键的问题是：这个夹角是唯一的吗？显然不是。如果我们绕原点转一整圈，夹角会增加 2π。因此，arg(z) 是一个多值函数。更确切地说，arg(z) 的所有可能值是 θ₀ + 2kπ，其中 θ₀ 是一个主值（通常取在 (π, π] 或 [0, 2π) 之间），k 是任意整数。
为了在复变函数理论中处理它，我们通常会选取一个分支。最常见的是选取主值，记作 Arg(z)，它将 arg(z) 的值限制在一个特定的区间内，例如 Arg(z) ∈ (π, π]。这个主值的选取会涉及到对复平面进行“切割”，通常是在负实轴上进行切割。
arg(z) 的可微性
现在我们来讨论可微性。一个复变函数 f(z) 在点 z₀ 可微，意味着在 z₀ 点的某个邻域内，函数可以被一个线性变换（乘以一个复数）近似，并且这个近似的误差相对于 |Δz| 的趋向于零的速度比 |Δz| 快。在柯西黎曼方程的框架下，这意味着如果 f(z) = u(x, y) + iv(x, y)，则 u 和 v 必须满足柯西黎曼方程，并且偏导数必须连续。
让我们来看看 Arg(z)（取主值）。在极坐标下，我们可以将 Arg(z) 看作一个函数，其自变量是 r 和 θ。然而，复变函数的可微性是关于复数 z = x + iy 的。
在直角坐标下，Arg(z) 可以表示为：
Arg(z) = arctan(y/x)，但这有一个问题，就是当 x=0 时如何处理。
我们也可以用更严谨的方式定义：
如果 x > 0, Arg(z) = arctan(y/x)
如果 x < 0 且 y ≥ 0, Arg(z) = arctan(y/x) + π
如果 x < 0 且 y < 0, Arg(z) = arctan(y/x) π
如果 x = 0 且 y > 0, Arg(z) = π/2
如果 x = 0 且 y < 0, Arg(z) = π/2
如果 x = 0 且 y = 0, z=0，Arg(0) 未定义。
现在我们来检验柯西黎曼方程：∂u/∂x = ∂v/∂y 和 ∂u/∂y = ∂v/∂x。
这里，u(x, y) = Arg(z) 是实部，v(x, y) = 0 是虚部（因为我们只取了辐角）。
我们发现，在切割线（负实轴）之外的任何点，Arg(z) 的偏导数是存在的。例如，当 x ≠ 0 时：
∂(Arg(z))/∂x = ∂(arctan(y/x))/∂x = (1 / (1 + (y/x)²)) (y/x²) = xy / (x² + y²) = x / |z|²
∂(Arg(z))/∂y = ∂(arctan(y/x))/∂y = (1 / (1 + (y/x)²)) (1/x) = x / (x² + y²) = x / |z|²
现在检查柯西黎曼方程：
∂u/∂x = x / |z|²
∂v/∂y = ∂(0)/∂y = 0
显然，∂u/∂x ≠ ∂v/∂y。这意味着，从柯西黎曼方程的角度来看，Arg(z) 不满足成为一个可微函数的充要条件。
从几何角度理解不可微性
更直观的理解是，Arg(z) 在复平面上的变化。想象你在复平面上沿着一个圆绕原点运动。当你的路径跨越了我们选择的切割线（例如从负实轴上方到负实轴下方），Arg(z) 的值会发生一个跳跃，从接近 π 跳到接近 π（或者反之），这个跳跃是 2π 的。
可微性要求函数在其可微点周围是“光滑”且“连续变化”的。 这种突然的跳跃恰恰违反了这种“光滑”的要求。
所以，Arg(z)（或者说任何一个分支的 arg(z)）在复平面上除了在原点 (z=0) 和切割线上之外是不可微的。在原点，函数本身就没有定义。而在切割线上，由于函数值的定义不连续，它也是不可微的。
arg(z) 的解析性
一个复变函数如果在区域内的每一点都可微，那么它就被称为在该区域内是解析的。
既然我们已经得出 Arg(z)（以及任何一个分支的 arg(z)）在切割线和原点之外的任何点都不可微，那么它就无法在一个包含切割线或原点的区域内解析。
为了让 arg(z) 变得“更有用”，我们通常会在一个区域上讨论它的解析性，并且要求这个区域不包含切割线和原点。
结论：
可微性：
Arg(z)（主值分支）在除了原点 (z=0) 和切割线（通常是负实轴）之外的任何点上都是不可微的。
在原点，函数未定义。
在切割线上，函数值不连续，因此不可微。
即使我们考虑其他分支的 arg(z)，例如 Arg(z) ∈ [0, 2π)，也会在另一条线上（例如正实轴）出现不连续性，导致该处的不可微性。
解析性：
Arg(z) 在整个复平面上都不是解析的，因为存在不可微的点。
然而，我们可以在不包含原点和切割线的区域上定义一个解析的 branch of arg(z)。例如，在去除负实轴的复平面上，Arg(z) 是解析的。在去除正实轴的复平面上，另一个分支的 arg(z) 也是解析的。
一些补充和思考：
1. log(z) 的关系： 复对数函数 log(z) = ln|z| + i(arg(z) + 2kπ)。由于 arg(z) 的不连续性，log(z) 在原点和切割线上也是不解析的。我们可以通过选择 log(z) 的一个特定分支（例如 Ln(z) = ln|z| + iArg(z)）来获得一个在去除负实轴的区域内解析的函数。
2. 为什么我们关心 Arg(z)？ 尽管 Arg(z) 本身不是解析的，但它是许多解析函数（如 log(z)，z^a，arctan(z) 等）的虚部或与之密切相关。理解 Arg(z) 的性质是理解这些更复杂函数性质的基础。例如，一个解析函数 f(z) = u(x, y) + iv(x, y) 的虚部 v(x, y) 是 u(x, y) 的调和共轭。
3. 极坐标下的导数： 虽然 arg(z) 在直角坐标下不满足柯西黎曼方程，但如果我们将其视为一个在极坐标下关于 r 和 θ 的函数，并考虑复数形式的导数，会发现一些有趣的联系。但直接讨论其“可微性”通常是在直角坐标系下进行的。
总而言之，arg(z) 的多值性和它在复平面上的“绕行”特性，使其在任何包含原点或切割线的区域上都无法实现处处可微和解析。我们通常会在排除这些“问题点”的区域上，选取一个特定的分支来讨论它的解析性，从而构建更复杂的解析函数。
网友意见
下面的主值支 ， ， 在0处无定义。
则
则在 上， ， ，不满足Cauchy-Riemann方程，不可微，不解析。
在 上，（沿水平方向从右向左趋于 ） ，
（沿竖直方向从上向下趋于 ） ，二者不等,故导数不存在，不可微，不解析。
同理在 上， 也不可微，不解析
故在上处处不可微，不解析
自然也不可能分离出单值解析分支
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