LU分解法与Gauss消元法两者复杂度的比较，谁跟快？

LU分解法与Gauss消元法：谁是速度之王？

在科学计算和工程领域，求解线性方程组是一个基础且至关重要的任务。而LU分解法和Gauss消元法，作为两种经典的解线性方程组的方法，它们的速度和效率常常是人们关注的焦点。那么，究竟谁更快？让我们深入剖析一番，揭开它们各自的复杂度面纱。

Gauss消元法：化繁为简的直接力量

Gauss消元法，顾名思义，它通过一系列的“消元”步骤，将原始的线性方程组转化为一个等价的、但形式更简单的上三角矩阵方程组。这个过程就像剥洋葱一样，层层递进，最终目标是让方程组的未知数逐个显露，从而可以从最后一个方程开始，逐个向前回代求解。

从计算量上来说，Gauss消元法的核心在于“行变换”。最耗时的操作是乘法和加减法，用于消除列中的元素。对于一个 $n imes n$ 的线性方程组，Gauss消元法的复杂度主要体现在以下几个阶段：

1. 向前消元（行阶梯化）: 这个阶段的目标是将系数矩阵转化为上三角矩阵。
对于第一列，我们需要对下面的 $n1$ 行进行操作。每行需要用第一行的某个元素乘以一个因子，然后加到当前行上。这涉及到大约 $n1$ 次乘法和 $n1$ 次加减法。
对第二列，我们在第二行及以下的 $n2$ 行进行类似操作。
以此类推，直到最后一列。

总的来说，向前消元阶段的计算量大约是：
$sum_{k=1}^{n1} (nk) imes ( ext{约 } 2 imes (nk) ext{ 次运算})$
经过估算，其乘法和加减法的总次数大致与 $n^3/3$ 呈正比。也就是说，其时间复杂度为 $O(n^3)$。

2. 回代求解: 一旦矩阵变成上三角形式，我们就可以从最后一个方程开始求解 $x_n$，然后代入倒数第二个方程求解 $x_{n1}$，依此类推。这个过程的计算量相对较小，大约是 $O(n^2)$ 的量级。

因此，Gauss消元法的整体时间复杂度主要由向前消元阶段决定，为 $O(n^3)$。

LU分解法：预处理的智慧与解算的捷径

LU分解法，顾名思义，它的核心思想是将系数矩阵 $A$ 分解成一个下三角矩阵 $L$ 和一个上三角矩阵 $U$ 的乘积，即 $A = LU$。这样，原方程组 $Ax=b$ 就变成了 $LUx=b$。

为什么这样做有优势呢？因为一旦我们完成了 $A$ 的LU分解，求解 $LUx=b$ 就变得非常高效。我们可以引入一个中间向量 $y$，使得 $Ly=b$ 和 $Ux=y$。

求解 $Ly=b$: 由于 $L$ 是一个下三角矩阵，我们可以从第一个方程开始，逐个向前求解 $y_1, y_2, dots, y_n$。这个过程叫做向前替换，其计算量是 $O(n^2)$。
求解 $Ux=y$: 由于 $U$ 是一个上三角矩阵，我们可以从最后一个方程开始，逐个向后求解 $x_n, x_{n1}, dots, x_1$。这个过程叫做向后替换，其计算量也是 $O(n^2)$。

关键在于LU分解本身。 LU分解的过程本质上与Gauss消元法非常相似，它同样是通过行变换，将矩阵转化为上三角矩阵（即 $U$），同时记录下这些行变换所用的“因子”，这些因子构成了下三角矩阵 $L$。如果仔细分析LU分解的过程，它同样涉及到大量的乘法和加减法，其计算复杂度也是 $O(n^3)$。

那么，谁更快？ 比较的维度

从单次求解的角度来看，如果仅仅是为了求解一个特定的线性方程组 $Ax=b$，那么LU分解法和Gauss消元法的时间复杂度是相同的，都是 $O(n^3)$。在“大 O”记号下，它们似乎是旗鼓相当。

然而，速度的“快慢”并非只看总的计算次数，还需要考虑实际执行的细节和应用场景。

1. 预处理的优势: LU分解法的真正威力体现在多次求解同一个方程组，只是常数项 $b$ 不同。
例如，在求解非线性方程组的迭代过程中，雅可比矩阵（一个系数矩阵）可能在每次迭代中保持不变，只有右侧的常数项 $b$ 会变化。
这时，我们可以提前计算一次 $A$ 的LU分解，将其分解为 $L$ 和 $U$。这个分解过程耗费 $O(n^3)$ 的计算量。
之后，每一次求解新的 $Ax=b$ 问题，只需要进行一次向前替换和一次向后替换，总共只需要 $O(n^2)$ 的计算量。

相比之下，如果每次都用Gauss消元法直接求解，每次都需要 $O(n^3)$ 的计算量。因此，在多次求解同一线性方程组（矩阵 $A$ 不变）的情况下，LU分解法的累计速度会远超Gauss消元法。可以想象，如果需要求解 $m$ 次，LU分解的总计算量是 $O(n^3 + m cdot n^2)$，而Gauss消元法的总计算量是 $O(m cdot n^3)$。当 $m$ 较大时，LU分解的优势就非常明显了。

2. 数值稳定性: 在实际应用中，数值稳定性是一个非常重要的考量因素。Gauss消元法在消元过程中，如果出现除以一个很小的数，可能会导致误差的放大，产生不稳定的结果。为了提高数值稳定性，通常会在Gauss消元法中引入“列主元选取”（partial pivoting），即在每一列的消元过程中，选择绝对值最大的元素作为主元，并进行行交换。

LU分解法同样可以结合主元选取，形成PLU分解（其中P是一个置换矩阵，表示行交换）。PLU分解的数值稳定性通常优于未经主元选取优化的Gauss消元法。

尽管引入主元选取会增加一些额外的操作（行交换），但其对整体 $O(n^3)$ 复杂度影响不大，反而显著提高了计算的可靠性。

3. 存储: LU分解将矩阵 $A$ 存储为两个矩阵 $L$ 和 $U$ 的组合。在某些情况下，如果 $A$ 是稀疏矩阵，并且 $L$ 和 $U$ 也能保持一定程度的稀疏性，那么这种存储方式可能会比直接存储 $A$ 或在原地进行Gauss消元更有效率。但是，如果直接在原地进行Gauss消元，则可以省去额外的存储空间。

总结：谁是真正的“快”？

从纯粹的时间复杂度上看，对于单次求解，LU分解法和Gauss消元法都是 $O(n^3)$，在理论上没有高低之分。

然而，在实际的计算场景中，LU分解法通常被认为在效率上更有优势，尤其是在需要多次求解同一个线性方程组（矩阵相同，右侧向量不同）的情况下。它的“快”体现在其预处理能力上，一旦分解完成，后续的求解将变得非常快速。

Gauss消元法更像是一种“一次性”的解决方案，适用于求解一次性问题。

总而言之， LU分解法与Gauss消元法在计算复杂度上都属于 $O(n^3)$ 的级别。但若考虑到实际应用场景，特别是当需要反复求解具有相同系数矩阵的线性方程组时，LU分解法由于其预处理的特性，其累计效率将远超Gauss消元法，表现出更快的速度。

因此，要说谁“绝对”更快，需要取决于你是在解决一个孤立的问题，还是一个需要重复求解的系列问题。在后者的情况下，LU分解法无疑是速度的王者。

LU和Gauss都是 。更精确地讲，乘除法大概都是 次，时间上差别不大，不过

• LU具有承袭性，这是LU的优点。
• LU只适用于解所有顺序主子式都大于0的，通用性欠缺，这是LU的缺点。
• LU法不保证具有数值稳定性，这是LU的缺点。（Gauss法可以用选取列主元技巧保证数值稳定性）

集合LU与Gauss优点，同时规避掉这些缺点的，是LUP分解法。