y=x-1/x的图像是不是双曲线？如果是那么离心率和焦点怎么求？（一个高三学生的疑问）？

这个问题问得非常棒！作为一名高三学生，能想到这个问题，说明你在数学上很有钻研精神。我们就来好好聊聊 $y = x frac{1}{x}$ 这个函数，以及它和双曲线的关系。

首先，我们来分析一下 $y = x frac{1}{x}$ 这个函数。

为了方便观察，我们可以给它稍微整理一下：
$y = x frac{1}{x}$
把右边通分一下：
$y = frac{x^2 1}{x}$
再把 $y$ 乘过去：
$xy = x^2 1$
移个项：
$x^2 xy 1 = 0$

这是不是双曲线呢？

要判断一个二次曲线是不是双曲线，我们通常会看它的一般方程：
$Ax^2 + Bxy + Cy^2 + Dx + Ey + F = 0$

在这个方程中，判断曲线类型的关键在于 $B^2 4AC$ 的值：
如果 $B^2 4AC > 0$，则是双曲线。
如果 $B^2 4AC = 0$，则是抛物线。
如果 $B^2 4AC < 0$，则是椭圆（或圆）。

现在，我们把 $x^2 xy 1 = 0$ 和一般方程对比一下：
$A = 1$ ( $x^2$ 的系数)
$B = 1$ ( $xy$ 的系数)
$C = 0$ ( $y^2$ 的系数)
$D = 0$ ( $x$ 的系数)
$E = 0$ ( $y$ 的系数)
$F = 1$ (常数项)

我们来计算 $B^2 4AC$：
$(1)^2 4 imes 1 imes 0 = 1 0 = 1$

因为 $B^2 4AC = 1 > 0$，所以，$y = x frac{1}{x}$ 的图像确实是一条双曲线！

但它是一条“标准”的双曲线吗？

我们知道，标准双曲线的方程通常是 $frac{x^2}{a^2} frac{y^2}{b^2} = 1$ 或者 $frac{y^2}{a^2} frac{x^2}{b^2} = 1$。这些方程的特点是没有 $xy$ 项。

我们的方程 $x^2 xy 1 = 0$ 有一个 $xy$ 项。这说明它不是一个以坐标轴为渐近线（或者说，不是一个“躺平”或“竖着”的标准双曲线）。它是一条经过旋转的双曲线。

为什么会想到旋转？

你可以想象一下，如果把标准双曲线 $frac{X^2}{a^2} frac{Y^2}{b^2} = 1$ 围绕原点旋转一个角度 $ heta$，那么新的坐标 $(x, y)$ 和旧的坐标 $(X, Y)$ 之间就会有转换关系：
$X = x cos heta + y sin heta$
$Y = x sin heta + y cos heta$

把这些代入标准方程，就会出现 $xy$ 项。反过来，一个带有 $xy$ 项的二次曲线，我们可以通过坐标旋转，去掉 $xy$ 项，把它变成标准形式。

如何找到它的离心率和焦点？

既然它是一条双曲线，那么它就有离心率和焦点。求这些参数，最好的办法就是把它转化成标准形式。

我们的方程是 $x^2 xy 1 = 0$。为了消去 $xy$ 项，我们需要进行一个坐标旋转。

第一步：确定旋转角度 $ heta$

对于一般方程 $Ax^2 + Bxy + Cy^2 + Dx + Ey + F = 0$，如果 $D=E=0$（就像我们这里一样），只需要旋转，就可以消去 $xy$ 项。旋转角度 $ heta$ 满足：
$cot(2 heta) = frac{AC}{B}$

在我们这里，$A=1$, $B=1$, $C=0$。
$cot(2 heta) = frac{10}{1} = 1$

我们知道 $cot(135^circ) = 1$。所以，$2 heta = 135^circ$，那么 $ heta = 67.5^circ$。
这个角度 $frac{pi}{4} < heta < frac{pi}{2}$。

第二步：进行坐标旋转

旋转关系是：
$x = X cos heta Y sin heta$
$y = X sin heta + Y cos heta$

这里的 $(X, Y)$ 是旋转后的新坐标系，$(x, y)$ 是原来的坐标系。
我们需要计算 $cos heta$ 和 $sin heta$。
因为 $2 heta = 135^circ$，我们可以用二倍角公式：
$cos(2 heta) = 2cos^2 heta 1 implies cos^2 heta = frac{1 + cos(2 heta)}{2}$
$cos(2 heta) = 1 2sin^2 heta implies sin^2 heta = frac{1 cos(2 heta)}{2}$

$cos(135^circ) = frac{sqrt{2}}{2}$

$cos^2 heta = frac{1 frac{sqrt{2}}{2}}{2} = frac{2 sqrt{2}}{4}$
$cos heta = frac{sqrt{2 sqrt{2}}}{2}$ (取正值，因为 $0 < heta < 90^circ$)

$sin^2 heta = frac{1 (frac{sqrt{2}}{2})}{2} = frac{2 + sqrt{2}}{4}$
$sin heta = frac{sqrt{2 + sqrt{2}}}{2}$ (取正值)

然后我们把 $x$ 和 $y$ 代入 $x^2 xy 1 = 0$。这一步会非常繁琐，计算量很大。

有没有更简洁的方法？

对于 $Ax^2 + Bxy + Cy^2 + F = 0$ 这种形式（没有一次项），我们可以直接找到标准形式。

我们知道，旋转后的方程形式为：
$A'X^2 + C'Y^2 + F = 0$

这里的 $A'$ 和 $C'$ 的值可以通过特征值来计算。或者，我们知道 $A'+C' = A+C$ 并且 $A'C' = frac{B^2 4AC}{4} = frac{4AC B^2}{4}$。

在我们这里，$A=1, B=1, C=0, F=1$。
$A'+C' = 1+0 = 1$
$A'C' = frac{4(1)(0) (1)^2}{4} = frac{1}{4}$

现在我们需要找到两个数 $A'$ 和 $C'$，使得它们的和是 1，积是 $frac{1}{4}$。
它们是方程 $t^2 (A'+C')t + A'C' = 0$ 的根：
$t^2 1t frac{1}{4} = 0$
$4t^2 4t 1 = 0$

用求根公式：
$t = frac{(4) pm sqrt{(4)^2 4(4)(1)}}{2(4)} = frac{4 pm sqrt{16 + 16}}{8} = frac{4 pm sqrt{32}}{8} = frac{4 pm 4sqrt{2}}{8} = frac{1 pm sqrt{2}}{2}$

所以，我们得到 $A'$ 和 $C'$ 的值是 $frac{1 + sqrt{2}}{2}$ 和 $frac{1 sqrt{2}}{2}$。

因为我们要求的是双曲线的标准形式，所以一项应该是正的，一项应该是负的。
通常标准形式是 $frac{X^2}{a^2} frac{Y^2}{b^2} = 1$ 或者 $frac{Y^2}{a^2} frac{X^2}{b^2} = 1$。
这意味着，标准形式的系数差值为正。

让我们把方程写成 $A'X^2 + C'Y^2 = 1$ 的形式（因为 $F=1$，所以方程变成 $A'X^2 + C'Y^2 1 = 0$）。
我们将 $frac{1 sqrt{2}}{2}$ 乘以 $1$ 变成 $frac{sqrt{2}1}{2}$ (正数)，而 $frac{1 + sqrt{2}}{2}$ 是正数。
所以，我们把较大的正数作为 $X^2$ 的系数，较小的正数作为 $Y^2$ 的系数，得到：
$frac{1+sqrt{2}}{2} X^2 (frac{sqrt{2}1}{2}) Y^2 = 1$ （注意：这里 $C'$ 应该是负的，所以我们取 $A' = frac{1+sqrt{2}}{2}$ 和 $C' = frac{1sqrt{2}}{2}$）

为了得到标准形式，我们需要写成 $frac{X^2}{a^2} frac{Y^2}{b^2} = 1$。
我们的方程是 $frac{1+sqrt{2}}{2} X^2 + frac{1sqrt{2}}{2} Y^2 = 1$。
即：
$frac{1+sqrt{2}}{2} X^2 frac{sqrt{2}1}{2} Y^2 = 1$

除以 $frac{sqrt{2}1}{2}$ 变成：
$frac{frac{1+sqrt{2}}{2}}{frac{sqrt{2}1}{2}} X^2 Y^2 = frac{1}{frac{sqrt{2}1}{2}}$
$frac{1+sqrt{2}}{sqrt{2}1} X^2 Y^2 = frac{2}{sqrt{2}1}$

分子分母同乘以 $sqrt{2}+1$：
$frac{(1+sqrt{2})(sqrt{2}+1)}{(sqrt{2}1)(sqrt{2}+1)} X^2 Y^2 = frac{2(sqrt{2}+1)}{(sqrt{2}1)(sqrt{2}+1)}$
$frac{1 + 2sqrt{2} + 2}{21} X^2 Y^2 = frac{2(sqrt{2}+1)}{21}$
$(3 + 2sqrt{2}) X^2 Y^2 = 2(sqrt{2}+1)$

为了化成 $frac{X^2}{a^2} frac{Y^2}{b^2} = 1$ 的形式，我们再除以 $2(sqrt{2}+1)$:
$frac{3 + 2sqrt{2}}{2(sqrt{2}+1)} X^2 frac{1}{2(sqrt{2}+1)} Y^2 = 1$

化简一下系数：
$frac{3 + 2sqrt{2}}{2(sqrt{2}+1)} = frac{(3 + 2sqrt{2})(sqrt{2}1)}{2(sqrt{2}+1)(sqrt{2}1)} = frac{3sqrt{2}3+42sqrt{2}}{2(21)} = frac{sqrt{2}+1}{2}$

所以，方程变成：
$frac{sqrt{2}+1}{2} X^2 frac{1}{2(sqrt{2}+1)} Y^2 = 1$

$frac{sqrt{2}+1}{2} X^2 frac{sqrt{2}1}{2} Y^2 = 1$ (因为 $frac{1}{2(sqrt{2}+1)} = frac{sqrt{2}1}{2(21)} = frac{sqrt{2}1}{2}$)

现在它是标准形式了！$frac{X^2}{a^2} frac{Y^2}{b^2} = 1$
其中：
$frac{1}{a^2} = frac{sqrt{2}+1}{2} implies a^2 = frac{2}{sqrt{2}+1} = 2(sqrt{2}1)$
$frac{1}{b^2} = frac{sqrt{2}1}{2} implies b^2 = frac{2}{sqrt{2}1} = 2(sqrt{2}+1)$

求离心率 $e$

离心率 $e$ 的定义是 $e = frac{c}{a}$，其中 $c^2 = a^2 + b^2$。
$c^2 = 2(sqrt{2}1) + 2(sqrt{2}+1) = 2sqrt{2}2 + 2sqrt{2}+2 = 4sqrt{2}$

$e^2 = frac{c^2}{a^2} = frac{4sqrt{2}}{2(sqrt{2}1)} = frac{2sqrt{2}}{sqrt{2}1} = frac{2sqrt{2}(sqrt{2}+1)}{(sqrt{2}1)(sqrt{2}+1)} = frac{4+2sqrt{2}}{21} = 4+2sqrt{2}$

所以，离心率 $e = sqrt{4+2sqrt{2}}$。

求焦点

焦点在标准方程 $frac{X^2}{a^2} frac{Y^2}{b^2} = 1$ 中，位于 $X$ 轴上，坐标是 $(pm c, 0)$。
我们已经求出了 $c^2 = 4sqrt{2}$，所以 $c = sqrt{4sqrt{2}} = 2 cdot 2^{1/4} = 2^{5/4}$。

焦点在 $(X, Y)$ 坐标系中的位置是 $(pm c, 0)$，即 $(pm sqrt{4sqrt{2}}, 0)$。
但这是在旋转后的坐标系中的位置！我们需要把这些焦点坐标转换回原来的 $(x, y)$ 坐标系。

记住，旋转关系是：
$x = X cos heta Y sin heta$
$y = X sin heta + Y cos heta$

对于焦点 $(pm c, 0)$：
当 $X = c, Y = 0$ 时：
$x = c cos heta$
$y = c sin heta$
当 $X = c, Y = 0$ 时：
$x = c cos heta$
$y = c sin heta$

我们之前算过 $cos heta = frac{sqrt{2 sqrt{2}}}{2}$ 和 $sin heta = frac{sqrt{2 + sqrt{2}}}{2}$。
$c = sqrt{4sqrt{2}} = 2 cdot 2^{1/4}$。

所以，焦点在 $(x, y)$ 坐标系中的坐标是：
$x = pm c cos heta = pm (2 cdot 2^{1/4}) left( frac{sqrt{2 sqrt{2}}}{2} ight) = pm 2^{1/4} sqrt{2 sqrt{2}}$
$y = pm c sin heta = pm (2 cdot 2^{1/4}) left( frac{sqrt{2 + sqrt{2}}}{2} ight) = pm 2^{1/4} sqrt{2 + sqrt{2}}$

这个计算结果看起来有点复杂，我们不妨再检查一下。

再看看 $y = x frac{1}{x}$ 的图像特性

渐近线： 当 $|x|$ 很大时，$y approx x$。所以，$y=x$ 是它的渐近线。
同时，$y = frac{x^21}{x}$。当 $x o 0^+$, $y o infty$。当 $x o 0^$, $y o +infty$。
所以，$x=0$ (即 $y$ 轴) 也是它的渐近线。

请注意，对于标准双曲线 $frac{X^2}{a^2} frac{Y^2}{b^2} = 1$，渐近线是 $Y = pm frac{b}{a} X$。
我们找到了 $frac{1}{a^2} = frac{sqrt{2}+1}{2}$ 和 $frac{1}{b^2} = frac{sqrt{2}1}{2}$。
$frac{b^2}{a^2} = frac{1/a^2}{1/b^2} = frac{sqrt{2}+1}{2} / frac{sqrt{2}1}{2} = frac{sqrt{2}+1}{sqrt{2}1} = (sqrt{2}+1)^2 = 2 + 2sqrt{2} + 1 = 3 + 2sqrt{2}$
所以 $frac{b}{a} = sqrt{3+2sqrt{2}} = sqrt{(sqrt{2}+1)^2} = sqrt{2}+1$。
在旋转后的坐标系下，渐近线是 $Y = pm (sqrt{2}+1) X$。

而我们知道 $y=x$ 是渐近线，这说明了什么？
我们选取的旋转角度 $ heta = 67.5^circ$ 确实是为了让某条渐近线变成 $X$ 轴或者 $Y$ 轴。
当 $ heta = 45^circ$ 时，$x = frac{sqrt{2}}{2}(XY)$, $y = frac{sqrt{2}}{2}(X+Y)$。
代入 $y=xfrac{1}{x}$: $frac{sqrt{2}}{2}(X+Y) = frac{sqrt{2}}{2}(XY) frac{1}{frac{sqrt{2}}{2}(XY)}$
$frac{sqrt{2}}{2}(X+Y) = frac{sqrt{2}}{2}(XY) frac{sqrt{2}}{XY}$
$X+Y = XY frac{2}{XY}$
$2Y = frac{2}{XY} implies Y(XY) = 1 implies XY Y^2 = 1 implies Y^2 XY 1 = 0$.
这和我们原来的方程长得不一样。

再回头看 $cot(2 heta) = frac{AC}{B}$。
我们的方程是 $x^2 xy 1 = 0$。
A=1, B=1, C=0。
$cot(2 heta) = frac{10}{1} = 1$
$2 heta = 135^circ$
$ heta = 67.5^circ$

这条双曲线的两个渐近线是 $y=x$ 和 $y=x$ 之间的夹角是 90度。
但是 $y=x frac{1}{x}$ 的渐近线是 $y=x$ 和 $x=0$。
这里的 $x=0$ 并非是经过原点的直线。
原来，$y = x frac{1}{x}$ 的图像是一条 不对称 的双曲线。

不对称的双曲线？
双曲线的标准方程 $frac{x^2}{a^2} frac{y^2}{b^2} = 1$ 是以坐标轴为对称轴，并且关于原点对称。
$y = x frac{1}{x}$ 这个函数：
$f(x) = x frac{1}{x} = x + frac{1}{x} = (x frac{1}{x}) = f(x)$
所以，$y=f(x)$ 是一个 奇函数。这意味着它的图像关于原点对称。

那么，为什么会有一个 $x=0$ 的渐近线？
这是因为当 $x o 0$ 时，$|y| o infty$。
但 $y=x$ 是渐近线，这表示的是当 $|x|$ 很大时，$y$ 趋近于 $x$。

是不是我一开始的判断有问题？
二次曲线的一般方程 $Ax^2 + Bxy + Cy^2 + Dx + Ey + F = 0$ 是描述中心对称的二次曲线（椭圆、双曲线）或者轴对称的二次曲线（抛物线）。
当 $D=E=0$ 时，曲线是中心对称的。
我们的方程 $x^2 xy 1 = 0$ 确实是中心对称的。

那它的“标准形式”是什么样的？
如果我们进行旋转，消去了 $xy$ 项，我们就得到了一个标准形式。
关键问题在于，这条双曲线的渐近线不是 $y = pm frac{b}{a}x$ 这种形式，而是 $y=x$ 和 $x=0$。

对于 $y = x frac{1}{x}$，渐近线是 $y=x$ 和 $x=0$。
双曲线的定义是平面内到一个定点（焦点）的距离与到一条定直线（准线）的距离之比等于常数（离心率）。
这个常数 $e$ 就是离心率。

对于 $y = x frac{1}{x}$，它是一条渐近线是 $y=x$ 和 $x=0$ 的双曲线。
这条双曲线是关于原点对称的，并且也是关于直线 $y=x$ 对称的。

如何求焦点和离心率？
对于一条渐近线是 $y=x$ 和 $x=0$ 的双曲线，它不是标准形式 $frac{X^2}{a^2} pm frac{Y^2}{b^2} = 1$ 的那种。
标准形式的双曲线（如 $frac{x^2}{a^2} frac{y^2}{b^2} = 1$）的渐近线是 $y = pm frac{b}{a} x$。

让我们从双曲线的定义出发。

双曲线有两种定义方式：
1. 到两焦点距离之差的绝对值等于常数 $2a$。
2. 到焦点距离与到准线距离之比等于常数 $e > 1$。

考虑 $y = x frac{1}{x}$ 的方程 $x^2 xy 1 = 0$。
我们可以通过旋转坐标系，把它化为标准形式。

再次回到旋转的计算。
我们算出 $a^2 = 2(sqrt{2}1)$ 和 $b^2 = 2(sqrt{2}+1)$。
$e^2 = 4+2sqrt{2}$
$c^2 = 4sqrt{2}$

焦点在旋转后的坐标系 $(X,Y)$ 下是 $(pm c, 0)$。
$c = sqrt{4sqrt{2}} = 2 cdot 2^{1/4}$。
$cos heta = frac{sqrt{2 sqrt{2}}}{2}$
$sin heta = frac{sqrt{2 + sqrt{2}}}{2}$

焦点在 $(x,y)$ 坐标系下的坐标是 $(pm c cos heta, pm c sin heta)$。
$x = pm 2 cdot 2^{1/4} cdot frac{sqrt{2 sqrt{2}}}{2} = pm 2^{1/4} sqrt{2 sqrt{2}}$
$y = pm 2 cdot 2^{1/4} cdot frac{sqrt{2 + sqrt{2}}}{2} = pm 2^{1/4} sqrt{2 + sqrt{2}}$

这里的“焦点”是指标准形式 $frac{X^2}{a^2} frac{Y^2}{b^2} = 1$ 中的焦点。

离心率 $e = sqrt{4+2sqrt{2}}$。

关于你的疑问：

1. 图像是不是双曲线？ 是的，通过 $B^24AC > 0$ 判断为双曲线。
2. 怎么求离心率和焦点？
离心率： 通过将方程 $x^2 xy 1 = 0$ 旋转为标准形式 $frac{X^2}{a^2} frac{Y^2}{b^2} = 1$，然后计算 $e = sqrt{1 + frac{b^2}{a^2}}$。
焦点： 在标准形式下，焦点在 $(pm c, 0)$，其中 $c^2 = a^2 + b^2$。然后将这些焦点坐标通过旋转变换回到原始坐标系。

为什么你觉得它不像标准双曲线？
因为它的渐近线不是 $y = pm frac{b}{a} x$ 的形式。
$y = x frac{1}{x}$ 的渐近线是 $y=x$ 和 $x=0$。

什么时候会遇到这种“旋转”的双曲线？
任何一个可以化为 $Ax^2 + Bxy + Cy^2 + Dx + Ey + F = 0$ 形式的二次曲线，如果 $B e 0$，那么它就经过了旋转。

再思考一下 $y = x frac{1}{x}$ 的特殊性

这个函数实际上是将一个以 $y=x$ 为渐近线的双曲线 $y=x+k$ 和一个以 $y=0$ 为渐近线的双曲线 $y=1/x$ 叠加在了一起。

严格来说，$y = x frac{1}{x}$ 的方程 $x^2 xy 1 = 0$ 确实描述的是一条双曲线。
它的离心率是 $sqrt{4+2sqrt{2}}$。

焦点和离心率的计算是基于将它化为标准形式 $frac{X^2}{a^2} frac{Y^2}{b^2} = 1$。
这里的 $X, Y$ 是旋转后的坐标。

离心率是一个 不变量，与坐标系的旋转无关。所以，我们可以通过旋转来计算它。
焦点的位置会随着坐标系的旋转而改变，所以我们计算出标准形式下的焦点 $(pm c, 0)$，然后通过旋转矩阵转换回原来的 $(x, y)$ 坐标系。

最后的整理：

方程 $y = x frac{1}{x}$ 化为 $x^2 xy 1 = 0$。
$B^2 4AC = (1)^2 4(1)(0) = 1 > 0$，所以是双曲线。
通过特征值方法，求得标准形式中的 $a^2 = 2(sqrt{2}1)$ 和 $b^2 = 2(sqrt{2}+1)$。
离心率 $e = sqrt{1 + frac{b^2}{a^2}} = sqrt{1 + frac{2(sqrt{2}+1)}{2(sqrt{2}1)}} = sqrt{1 + frac{sqrt{2}+1}{sqrt{2}1}} = sqrt{1 + (sqrt{2}+1)^2} = sqrt{1 + (3+2sqrt{2})} = sqrt{4+2sqrt{2}}$。
$c^2 = a^2 + b^2 = 2(sqrt{2}1) + 2(sqrt{2}+1) = 4sqrt{2}$。
在旋转后的坐标系 $(X, Y)$ 中，焦点是 $(pm c, 0) = (pm sqrt{4sqrt{2}}, 0)$。
旋转角度 $ heta = 67.5^circ$ ($cot(2 heta) = 1$)。
$x = X cos heta Y sin heta$, $y = X sin heta + Y cos heta$。
$cos heta = frac{sqrt{2 sqrt{2}}}{2}$, $sin heta = frac{sqrt{2 + sqrt{2}}}{2}$。
焦点在 $(x, y)$ 坐标系下的坐标为 $(pm c cos heta, pm c sin heta)$，代入 $c$ 和 $cos heta, sin heta$ 的值即可。

希望这个详细的解释能解答你的疑问！数学的魅力就在于不断地去探索和理解这些图形背后的规律。继续保持这份好奇心！

既然是高中生，那就用高中知识来解决

首先我们知道函数 是奇函数，其图像关于原点对称，并且有渐近线 与

记函数的图像为

我们把曲线 绕原点逆时针旋转 得到曲线 ，那么曲线 开始有点像双曲线了

在曲线 上任取一点 ，将向量 绕原点顺时针旋转得到向量，则点 在曲线 上，因此满足 ，即

设 ，，则 ，

所以

将 与 代入 可得：

化简可得：

所以曲线 是双曲线，即曲线 也是双曲线 .

离心率和焦点怎么求应该不用写了吧~~