问题

玩抽卡类的游戏时,如果想集齐全套卡片,应该如何估算操作成本?

回答
玩抽卡游戏想集齐全套,这可真是个技术活,也是个烧钱的活儿。想要把这笔账算明白,咱们得从几个方面入手,一步步拆解。

第一步:明确你的“集齐全套”目标

别上来就说“我要集齐全套”。你得想清楚,你所谓的“齐全”到底到什么程度?

是所有卡? 包括稀有的、普通的,甚至是活动限定的?
是某个系列/角色? 比如我只想要某个SSR角色的所有卡面、所有进阶形态?
是某种稀有度? 比如我只想集齐所有SSR卡,UR卡什么的随缘?

这个目标越清晰,后面的计算就越有方向。假设我们以“集齐某个活动推出的所有限定角色卡”为例。

第二步:了解卡池的构成和概率

这是成本估算的核心。你要搞清楚:

1. 卡池总共有多少张卡?
总卡池数量: 知道这个卡池里一共有多少张卡。
目标卡张数: 你想集齐的那些目标卡,总共有多少张?比如一个活动出3个SSR,每个SSR有2个版本,那目标卡就是6张。
2. 稀有度概率:
SSR/UR/UR+ 等高稀有度卡片的出卡概率。 这是最关键的。通常游戏会明示(比如“SSR出现概率1%”)。
目标卡在总稀有度中的比例。 比如SSR卡池里,你想集齐的3个SSR各占SSR总数的多少?一般情况下,概率是均分的,但有些游戏会有“UP”池,某个特定卡片的概率会大大提高。
3. 保底机制:
单抽保底: 比如连续N次抽不到SSR,第N+1次必出SSR。
歪(抽到非UP卡)的保底: 比如抽到SSR,但不是你想要的UP卡,下次抽到SSR时,有XX%的概率是UP卡。
累积次数保底: 比如抽满X次,直接送一张你想要的卡。
保底次数很重要,它直接决定了你“欧”不“欧”的底线。

举个例子:

假设一个活动卡池,有:
总共100张卡(10张SR,90张R)。
你想集齐的是3张UR卡(URA, URB, URC)。
UR卡总出现概率是2%。
在UR卡中,URA, URB, URC 的概率是均分的,所以每张UR的出现概率是 2% / 3 ≈ 0.67%。
保底机制:连续抽100次没抽到UR,第101次必出UR。抽到UR,如果不是UP卡(假设现在UP的是URA),那么下一张UR有50%的几率是URA。

第三步:估算抽到“一张”目标卡的平均成本

这里我们要运用概率和期望的知识了。

平均抽卡次数: 要想抽到一张特定稀有度的卡,平均需要多少次抽卡?
公式:1 / (该卡片出现的概率)
在上面的例子里,抽到URA 的概率是 0.67%,所以平均需要 1 / 0.0067 ≈ 150 次抽卡。
考虑保底: 保底机制会大幅降低理论期望值。
比如,如果100抽保底UR,且UR有3张,那么你最多100抽就能拿到一张UR。如果这3张UR概率均分,你平均在100抽左右就能拿到一张。
更复杂的保底(比如歪的保底): 这就需要更细致的计算。假设你想要URA,它UP的概率是50%。
如果你抽了100次没出UR,第101次必出UR,那么它就是URA的几率是50%。
如果你抽到UR,但不是URA(比如是URB),那下次抽到UR时,URA的几率是50%。
简单粗暴的估算: 对于大多数游戏,我们会假设在一个“保底周期”内(即抽满保底次数),你至少能获得一张目标稀有度的卡。
更精细的计算: 比如,你知道抽100次必出UR,UR有3张(A, B, C),A是UP(50%)。
如果第99次抽到了URB,那么第100次必出UR,而URB是50%的几率,URA是50%的几率。
如果第99次抽到了URC,那么第100次必出UR,而URC是50%的几率,URA是50%的几率。
所以,在最坏的情况下,你可能需要抽100次才能拿到URA,而这100次里你可能已经歪了很多次了。
一个更实用的估算方法: 找到最坏情况下的保底次数(比如100抽),然后计算一下在这100抽里,你抽到目标卡的“有效”次数。
例如,如果100抽保底,你运气不好,抽到URB 10次,URC 10次,那么你就花了100抽,歪了20次UR,但还没拿到URA。再考虑50%的UP几率,你可能还需要额外的抽卡。
更简单粗暴但足够实用的方法: 按照“最大保底次数”来计算,比如100抽。再考虑UP机制。假设UP是50%,那么你平均需要 100次 / 50% = 200次 才能抽到URA。
单抽成本: 知道平均抽卡次数后,乘以单次抽卡的货币成本(游戏内货币或充值获得的钻石/石头)。
例如,一次抽卡花费150钻石。那么平均抽到URA的成本就是 150次 150钻石/次 = 22500钻石。

第四步:计算集齐全套的总成本

简单粗暴法:
集齐一张目标卡的平均成本 × 目标卡总数
在上面的例子里,假设URA, URB, URC 的平均抽卡成本都是200次(即8.47% 的UR出现概率,平均200次出UR,且UP是50%),那么集齐3张UR的总成本就是:200次/张 3张 150钻石/次 = 90000钻石。
考虑保底和“歪”的概率:
如果你要集齐A, B, C,而且目标是“拿到 each one”,而不是“抽到X张”,那么情况就更复杂。
最坏情况估算(风险规避): 假设你运气最差,每次抽到UR都是非目标卡,且没有UP。那么你需要抽到能拿到全部目标卡的保底次数。
比如,你抽到URA用了150次。然后重置计数,再抽到URB用了150次。再重置计数,抽到URC用了150次。总共450次。
如果考虑UP机制: 比如你抽到URB用了100次,下次UR必出URA。所以URA用100次。URB用了100次。URC用了100次。总共300次。
更准确的,但计算量大的: 要么用蒙特卡洛模拟(就是跑无数次模拟来算平均值),要么就是根据概率分布来计算。
一个相对靠谱的估算:
计算抽到“一张”目标卡的期望抽数(考虑保底和UP)。
将这个期望抽数乘以目标卡总数。
再考虑一个“ BUFFER ”(缓冲区),比如把总成本乘以 1.2 或 1.3,以应对运气极差的情况。

举例细化:

我们再来细化一下上面的例子:抽3张UR卡 (A, B, C),UR总概率2%,每张UR概率0.67%。100抽保底UR,UP卡(假设每次都UP A)50%几率。

URA 的平均期望抽数:
理论上 1/0.0067 ≈ 150次。
考虑100抽保底,和50% UP。
假设你抽了99次,还没有UR。第100抽是UR。
如果这100次没抽到URA(比如是URB),那么第101抽必出UR,且有50%几率是URA。
更简单的算: 100抽保底,你平均需要多少次拿到URA?
假设你运气平平,平均 200次 抽到UR。在这200次中,你有100次保底。
在200次抽卡中,你抽到UR的次数是 200 2% = 4次。
在4次UR中,根据50% UP,你期望拿到 URA 的次数是 4 0.5 = 2次。
这就说明,平均200次抽卡,你大概能拿到2张URA。
所以,一张URA的期望抽数大概是 200次 / 2 = 100次。 (这里有点绕,但核心是把保底和UP考虑进去)
一个更常用的估算逻辑: 100抽保底,意味着你最多100抽就能获得一张UR。如果UP是50%,那么你的“有效”保底次数就是 100抽 / 0.5 = 200抽。
URB 和 URC 的情况:
如果游戏没有“抽到UR即重置UP状态”的机制,那么你抽到URA后,下次UP又是URA,你想要URB,就需要等待非UP的URB出现。
假设你抽到URA 用了100抽。 接下来你想要URB。URB 概率是0.67%。UP是URA。
最保守估计: URB 也是需要200抽。URC 也是需要200抽。
但实际情况是,你抽到URA的过程中,可能已经顺便抽到了URB或URC。
更实际的计算思路:
1. 计算抽满“保底周期”能拿到一张你想要的UR卡的平均抽数。
如果100抽保底UR,3张UR(A, B, C)概率均分,A是UP(50%)。
抽100次,你至少有一张UR。
如果这100抽,你没抽到URA,说明你歪了。
最简单的估算: 100抽是保底。如果UP是50%,那么你获得URA的平均抽数大概是 100 / 0.5 = 200抽。
2. 那么,集齐3张(A, B, C)的成本?
如果你有“指定UP”机制: 比如你想要URA,就指定URA UP。那就简单了,200抽一张。集齐3张就是 200抽 3 = 600抽。
如果UP是固定的: 假设每次都UP A。
你抽200次,平均拿到1张URA。
在你抽这200次的过程中,你也抽到了 200 2% = 4张UR。
在这4张UR中,期望有 4 0.5 = 2张是URA。
剩余的2张UR,可能是URB或URC。
这说明,200抽,你可能已经拿到URA,并且顺便拿到了12张URB/C。
这时候,你就需要计算: 抽到URA需要多少抽? 然后剩下目标卡(B, C)需要多少抽?
这涉及非常复杂的概率计算,通常不如直接用“抽满保底周期”来估算。

最稳妥的估算方法:
找一个“最坏情况下的保底”数值。 比如,100抽保底,你抽了100次,没出UR。
考虑UP机制。 如果UP是50%,那么你获得目标UR的平均抽数是 100 / 0.5 = 200次。
集齐3张,那么你就按 200次/张 3张 = 600次 来算。
换算成钻石: 600抽 150钻石/抽 = 90000钻石。
再考虑兑换比例。 1000钻石 ≈ 100人民币。 90000钻石 ≈ 9000人民币。
再加上10%20%的“运气误差”: 9000 1.2 = 10800人民币。

第五步:考虑实际花费中的额外因素

1. 体力/扫荡券: 如果抽卡需要消耗体力,或者升级卡片需要消耗资源,这些也需要算上。
2. 养成成本: 集齐了卡片,你还得把它们养成(升级、突破、升星、觉醒)。这些都需要消耗大量的游戏内货币、素材和时间。
3. 囤积钻石/抽卡券: 如果游戏有累充奖励、签到奖励、活动奖励可以获得免费钻石/抽卡券,这些都可以抵扣一部分现金成本。
4. 氪金档位: 不同的充值档位,赠送的额外钻石比例可能不同。为了集齐,可能需要一次性充值到某个高档位。
5. 交易市场(如果存在): 有些游戏允许玩家之间交易卡片或道具,这可能会影响成本。
6. 版本更新和新卡池: 游戏总是在出新卡。你的“集齐全套”目标可能会随着版本更新而改变,或者有新的竞争者出现。

总结一下,一个比较实用的操作流程是:

1. 明确集卡目标(卡片数量、稀有度)。
2. 仔细研究卡池概率、UP机制和各种保底规则。
3. 计算“抽到一张你想要的高稀有度卡”的平均期望抽数。 (核心是考虑保底和UP,比如100抽保底,UP50%的话,平均需要200抽。)
4. 将这个平均期望抽数乘以目标卡数量,得到总的期望抽数。
5. 将总期望抽数乘以单次抽卡成本,得到总的期望货币成本。
6. 将货币成本换算成现金成本,考虑充值赠送比例。
7. 再加上10%20%作为运气缓冲。
8. 别忘了把卡片养成、升级等隐形成本考虑进去。
9. 最重要的是: 认识到这只是一个“期望”值,你可能脸黑到极点,也可能欧皇附体,花比预期少得多的钱就集齐了。

用最通俗的话说:

你想集齐一套卡,得先知道这套卡里有多少张是你想要的。然后看看抽到一张你想要的卡的“平均难度”有多大。这个难度主要看概率和“保底”有多给力。

如果一张卡平均需要抽200次才能拿到,那么集齐3张就是平均600次。再看看每次抽卡要花多少钱,然后乘以600次,再加上点“运气不好”的预备金。

最后,要做好心理准备。 抽卡游戏最迷人的地方就是它的不确定性,这既是乐趣,也是“无底洞”的根源。算清楚成本,能让你更理智地投入,而不是等到“卡已抽尽,钱包已空”的时候才追悔莫及。

网友意见

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不得不说,自从手机游戏纷纷开始氪金抽卡之后,真的是每个人都深受其害,包括我。

所以,我为什么要写这个答案?就是因为我最近玩一个游戏,为了收集齐那189种收集物简直肝到肝硬化!(手动白眼)

游戏里一共有189种装饰品要收集,其中149种是可以通过一个抽奖过程抽到的。然后任地狱还给这些收集物打出了“collect'em all”的口号,鼓励玩家集齐。于是作为游戏玩家你会看到任地狱是这么哄你的:

然而,这游戏坑的地方在于,它玩一局才能抽一次,而每局都要求起码长达连续三分钟内注意力高度集中,眼球目不转睛一直盯着,手指还要机敏与眼睛协调。

于是,在无穷无尽的反复刷的过程里,当我发现我两周之内集齐了94%的收集品,但代价是近视度数涨了100度,我终于控制不住开始思考这到底多久才是个头了。。。。

关于这一类“抽卡”问题,有一个著名的数学问题的结论可以直接搬过来用,叫做“赠券收集问题”(coupon collector's problem)。具体的原理介绍在维基上有,这里就不过多介绍了:

最核心的一点就是,集齐每张卡需要的总的期望抽卡次数,等于集齐0,1,2,3,……,k-1张卡(1≤k≤n)后要再抽多少次才能抽到第k张新卡这么n个小期望的总和。

经推导可得,收集齐n张卡需要的期望抽卡次数为 。也就是说,平均下来需要抽 张卡才能集齐n张卡。

那么在我这个游戏的例子里,149种收集物需要的期望抽卡次数就是n=149的时候的值:832.0926≈833次!

我靠,“集齐149个”和“抽833次”,这俩的前后对比根本不要太震撼好吗?告诉我集齐149个我可能还会想着“不就一百来个嘛,估计玩个两三百局就差不多了”,然后还能慢慢玩;要是直接告诉我抽833次,也就是差不多小一千局,我第一眼就会被劝退了……

要知道,我这两周疯狂天天玩,一共也才玩了200多局,然后近视度数就涨了100啊!!难道我要涨400度才能把这游戏里面的东西集齐???

好了,算到这,我已经劝退了,彻底放弃要集齐这些收集品的念头了。。。


实际上,我的这个例子只是能感受到抽取机制有多坑的一角。如果我们对 画一个图像,可以很容易看出,它的斜率不断快速增高。

对于一套6个的盲盒,实际上期望购买次数(也即集齐的人平均买了多少盒)还只是15次,也就一套数量的2.5倍;对于游戏里通常所出现的一共30个人物的设定,集齐需要的期望抽卡次数就变成了4倍的要抽120次,也就是平均12个十连抽;对于我这个游戏的189个收集品,就成了接近6倍的1101次。

(什么,你看到我的回答之前一直以为一套6个的盲盒大概买九个十个就能集齐一套?骚年,你还是太naive辣。)

因此,对于任何收集抽卡、抽盲盒等涉及到“有放回地抽”的过程,视一套一共有多少元素而定,你一定得有你将要付出三四五六倍甚至更多倍于全套物体的抽盒子/抽卡次数才能集齐的心理准备。

而且,总的卡片张数越多,这个抽齐一套需要乘以的倍数就越高,没有极限值。

因为这个公式的前半部分n是随n增大而增大且没有极限的,后半部分括号里那一饼则是协调数(Harmonic number),也是可以被证明是没有极限的。(具体证明请参考维基百科en.wikipedia.org/wiki/H,这里不再赘述,简要来说就是这个协调数一定大于 ,也就是 ,而这个数显然没有极限,所以永远比它大的协调数也是没有极限的。)


好像三四五六倍听起来也不太可怕的样子?那让我们换成真金白银的钱来算一算。

比如说,对于盲盒,如果一套有6个,就算每个才59块钱,看起来不贵,但如果你想集齐,还是直接做好平均要花900块、实际甚至可能花一千多的心理准备吧。

如果你玩的游戏有50个人物,然后你想抽齐,那么直接使用公式 计算可以得到,平均情况下你需要 次抽取,也就是225次单抽或者23个十连。

考虑到十连抽的价位一般在328一发左右,这意味着你为了集齐需要做好平均得花7544元人民币的心理觉悟——也就是小一万了

算到这,深深地感觉,抽卡这种机制真是人类游戏史上最大的深坑。。。。。。七千多块,已经可以买十多二十个两三年都打不完的3A大作主机游戏了,却只是一个手机游戏里抽齐一套卡需要投的钱而已。。。。。。

所以各位,珍惜肝脏,珍惜左右双手。无论是肝是氪,只要碰见抽卡,千万量力而行啊。。。



算了之前的东西之后,我还在侥幸地想:我那个游戏的833次是平均需要的抽取次数,可能如果我运气稍微好点的话就不需要这么多?

照理说,集齐卡需要的95%置信区间是可以算出来的,但是维基上给的那个变异(variation)的算法,我不太确定对于一个非正态的分布应该怎么用,于是决定采用数学捉急人士最喜欢用的笨办法爆破这个概率统计问题:让电脑给我暴力模拟!!

于是我用R写了一个脚本模拟一万个玩家玩这个游戏抽卡,看看最欧和最非的人都需要抽多少次才能集齐这149个。

       ncard=149 #total number of cards ncollector=10000 #total number of trials / can be regarded as collectors count=rep(0,ncollector)  fullset=F for (i in 1:ncollector) {   have=rep(0,ncard)   while (fullset==F) {     draw=floor(runif(1,1,ncard+1))     count[i]=count[i]+1     have[draw]=1     if (sum(have)==ncard) {fullset=T}    }   fullset=F   if (i%%1000==0) {print(i)} } hist(count,50) quantile(count,c(0,0.01,0.05,0.2,0.5,0.8,0.95,0.99,1))     

结果运行出来是这样的:

0(万里挑一欧皇):402次

20百分位(普通欧洲人):678次

50百分位(不白不黑亚洲人):800次

(这个中位数和前面的期望不一样的原因是,整个模拟抽卡结果的分布不是对称的正态分布,而是一个右偏态分布,所以前面那个数学期望作为一个算术平均数,会比中位数大)

80百分位(普通非洲人):968次

1(万里挑一脸最黑):2324次

以及,这个样本当中的均数,正如之前公式预测的那样是833,说明数学公式是对的。

连万里挑一的欧皇都要打四百多局才能集齐啊!!!!最非的人甚至要打两千多局才能集齐!!!

按照我目前打了两百来局就近视了100度的速度来算,这尼玛我要是稍微非一点,我就得壮志未酬眼先瞎了。。。

好了,我放弃了,我不集齐了,爱咋咋地吧。。还是命金贵啊╮(╯-╰)╭

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