Rokovsky函数(f(z)=1/2(z+1/z))分别将上半平面与下半平面映射成什么？

罗斯科夫斯基函数 $f(z) = frac{1}{2}(z + frac{1}{z})$ 是一个非常有意思的复变函数，它在解析几何和流体力学等领域都有着重要的应用。我们来详细探究一下它如何映射复平面中的上半平面和下半平面。

要理解这个映射过程，我们需要分解一下这个函数。我们可以将 $z$ 用极坐标表示，设 $z = r e^{i heta}$，其中 $r$ 是模长，$ heta$ 是辐角。那么，$1/z = frac{1}{r} e^{i heta}$。

将这个代入罗斯科夫斯基函数中：

$f(z) = frac{1}{2}(r e^{i heta} + frac{1}{r} e^{i heta})$

利用欧拉公式，$e^{i heta} = cos heta + isin heta$ 和 $e^{i heta} = cos heta isin heta$，我们可以将函数展开：

$f(z) = frac{1}{2}(r(cos heta + isin heta) + frac{1}{r}(cos heta isin heta))$
$f(z) = frac{1}{2}((rcos heta + frac{1}{r}cos heta) + i(rsin heta frac{1}{r}sin heta))$
$f(z) = frac{1}{2}((r + frac{1}{r})cos heta + i(r frac{1}{r})sin heta)$

令 $f(z) = w = u + iv$，其中 $u$ 是实部，$v$ 是虚部。那么我们可以得到：

$u = frac{1}{2}(r + frac{1}{r})cos heta$
$v = frac{1}{2}(r frac{1}{r})sin heta$

现在，我们来看上半平面 $Im(z) > 0$。在上半平面中，$z = r e^{i heta}$，其中 $r > 0$ 且 $0 < heta < pi$。

上半平面的映射：

当 $0 < heta < pi$ 时，$sin heta > 0$。

模长 $r=1$ 的情况：
如果 $r=1$，那么 $z$ 就在单位圆上。此时，$r frac{1}{r} = 1 1 = 0$。
$u = frac{1}{2}(1 + 1)cos heta = cos heta$
$v = frac{1}{2}(1 1)sin heta = 0$
所以，当 $z$ 在单位圆的上半部分移动时（即 $0 < heta < pi$），$f(z)$ 的虚部为 0，实部 $u = cos heta$ 的取值范围是 $(1, 1)$。这意味着单位圆的上半部分被映射到实轴上 $(1, 1)$ 这个区间。

模长 $r eq 1$ 的情况：
当 $r > 1$ 时：
$r + frac{1}{r} > 0$ 且 $r frac{1}{r} > 0$。
$u = frac{1}{2}(r + frac{1}{r})cos heta$
$v = frac{1}{2}(r frac{1}{r})sin heta$
因为 $0 < heta < pi$，所以 $sin heta > 0$。又因为 $r frac{1}{r} > 0$，所以 $v = frac{1}{2}(r frac{1}{r})sin heta > 0$。
这意味着当 $r > 1$ 且 $0 < heta < pi$ 时，映射到的点 $w$ 始终位于虚轴的正半轴上。
我们还可以进一步分析，考虑固定一个 $r > 1$ 的值。当 $ heta$ 从 0 变化到 $pi$ 时，$cos heta$ 从 1 变化到 1。
$u$ 的取值范围是从 $frac{1}{2}(r + frac{1}{r})$ 变化到 $frac{1}{2}(r + frac{1}{r})$。
同时，$v$ 的取值范围是从 0 变化到 $frac{1}{2}(r frac{1}{r})$ 再变化回 0。
如果我们观察 $u^2$ 和 $v^2$ 的关系：
$frac{u^2}{(frac{1}{2}(r + frac{1}{r}))^2} + frac{v^2}{(frac{1}{2}(r frac{1}{r}))^2} = cos^2 heta + sin^2 heta = 1$
这是一个椭圆方程，其中心在原点，半长轴为 $frac{1}{2}(r + frac{1}{r})$，半短轴为 $frac{1}{2}(r frac{1}{r})$。
当 $r > 1$ 且 $0 < heta < pi$ 时，这个椭圆的上半部分就被映射到了 $v > 0$ 的区域。

当 $0 < r < 1$ 时：
$r + frac{1}{r} > 0$ 且 $r frac{1}{r} < 0$。
$u = frac{1}{2}(r + frac{1}{r})cos heta$
$v = frac{1}{2}(r frac{1}{r})sin heta$
因为 $0 < heta < pi$，所以 $sin heta > 0$。又因为 $r frac{1}{r} < 0$，所以 $v = frac{1}{2}(r frac{1}{r})sin heta < 0$。
这意味着当 $0 < r < 1$ 且 $0 < heta < pi$ 时，映射到的点 $w$ 始终位于虚轴的负半轴上。
同样地，固定一个 $0 < r < 1$ 的值。当 $ heta$ 从 0 变化到 $pi$ 时，$cos heta$ 从 1 变化到 1。
$u$ 的取值范围是从 $frac{1}{2}(r + frac{1}{r})$ 变化到 $frac{1}{2}(r + frac{1}{r})$。
$v$ 的取值范围是从 0 变化到 $frac{1}{2}(r frac{1}{r})$（一个负值）再变化回 0。
我们同样得到一个椭圆方程：
$frac{u^2}{(frac{1}{2}(r + frac{1}{r}))^2} + frac{v^2}{(frac{1}{2}(frac{1}{r} r))^2} = 1$
这里我们把分母中的负号提出来，因为平方后不影响。
当 $0 < r < 1$ 且 $0 < heta < pi$ 时，这个椭圆的下半部分就被映射到了 $v < 0$ 的区域。

综合上半平面：

我们可以看到，当 $z$ 位于上半平面时：
单位圆上半部分 ($r=1, 0 < heta < pi$) 被映射到实轴区间 $(1, 1)$。
单位圆外的上半部分 ($r>1, 0 < heta < pi$) 被映射到虚轴正半轴 ($v>0$) 上的点，这些点形成了一系列以原点为焦点，但实际形状更复杂（是椭圆的上半部分，当 $r$ 趋于无穷大时，这个椭圆会“压扁”成虚轴的正半轴）。
单位圆内的上半部分 ($0
然而，通常我们讨论映射时，关注的是整个区域的映射结果。

让我们换个角度思考，从 $w = u+iv$ 的关系式出发，设 $z = x+iy$。
$w = frac{1}{2}(x+iy + frac{1}{x+iy}) = frac{1}{2}(x+iy + frac{xiy}{x^2+y^2})$
$w = frac{1}{2}(x + frac{x}{x^2+y^2} + i(y frac{y}{x^2+y^2}))$
$u = frac{1}{2}(x + frac{x}{x^2+y^2})$
$v = frac{1}{2}(y frac{y}{x^2+y^2})$

在上半平面，我们有 $y > 0$。
当 $y > 0$ 时，$v = frac{1}{2}y(1 frac{1}{x^2+y^2})$。
如果 $|z| = sqrt{x^2+y^2} = 1$，那么 $v = frac{1}{2}y(11) = 0$。这与我们之前的结论一致，单位圆上半部分映射到实轴的 $(1, 1)$ 区间。
如果 $|z| = sqrt{x^2+y^2} > 1$，那么 $1 frac{1}{x^2+y^2} > 0$。由于 $y > 0$，所以 $v > 0$。
如果 $|z| = sqrt{x^2+y^2} < 1$，那么 $1 frac{1}{x^2+y^2} < 0$。由于 $y > 0$，所以 $v < 0$。

这个分析显示出，上半平面中的点被映射到了 $v$ 的正负两个区域，这似乎与我们前面说的“映射到虚轴”有所出入。这里是理解的关键：

罗斯科夫斯基函数的一个重要性质是，它将圆周映射成椭圆，并将圆内部或外部映射到椭圆的内部或外部。
上半平面可以看作是包含单位圆上半部分以及单位圆外部上半部分和单位圆内部上半部分。

让我们再次回到极坐标的形式：
$u = frac{1}{2}(r + frac{1}{r})cos heta$
$v = frac{1}{2}(r frac{1}{r})sin heta$

对于上半平面，$0 < heta < pi$，所以 $sin heta > 0$。
当 $r=1$ 时，我们得到实轴区间 $(1, 1)$。
当 $r>1$ 时，$frac{1}{2}(r + frac{1}{r}) > frac{1}{2}(r frac{1}{r}) > 0$。
当 $0 < heta < pi/2$ 时，$cos heta > 0$，$u > 0$，并且 $v = frac{1}{2}(r frac{1}{r})sin heta > 0$。映射到第一象限。
当 $ heta = pi/2$ 时，$cos heta = 0$，$sin heta = 1$。 $u = 0$，$v = frac{1}{2}(r frac{1}{r}) > 0$。映射到虚轴正半轴。
当 $pi/2 < heta < pi$ 时，$cos heta < 0$， $u < 0$，并且 $v = frac{1}{2}(r frac{1}{r})sin heta > 0$。映射到第二象限。
所以，当 $r>1$ 且 $0 < heta < pi$ 时，这部分上半平面被映射到复平面的上半平面 ($v>0$)，具体形状是由一系列椭圆构成的区域。这些椭圆的公共焦点是 $1$ 和 $1$。当 $r$ 从 1 趋于无穷大时，这些椭圆越来越“扁”，最终覆盖了整个上半平面。

当 $0 < r < 1$ 时，$frac{1}{2}(r + frac{1}{r}) > 0$，但 $frac{1}{2}(r frac{1}{r}) < 0$。
当 $0 < heta < pi/2$ 时，$cos heta > 0$，$u > 0$，并且 $v = frac{1}{2}(r frac{1}{r})sin heta < 0$。映射到第四象限。
当 $ heta = pi/2$ 时，$cos heta = 0$，$sin heta = 1$。 $u = 0$，$v = frac{1}{2}(r frac{1}{r}) < 0$。映射到虚轴负半轴。
当 $pi/2 < heta < pi$ 时，$cos heta < 0$， $u < 0$，并且 $v = frac{1}{2}(r frac{1}{r})sin heta < 0$。映射到第三象限。
所以，当 $0 < r < 1$ 且 $0 < heta < pi$ 时，这部分上半平面被映射到复平面的下半平面 ($v<0$)。

因此，罗斯科夫斯基函数 $f(z) = frac{1}{2}(z + frac{1}{z})$ 将整个上半平面 ($Im(z) > 0$) 映射到整个复平面，但不是平均分配的。

单位圆上半部分 ($r=1, 0 < heta < pi$) 映射到实轴区间 $(1, 1)$。
单位圆外部的上半平面 ($r > 1, 0 < heta < pi$) 映射到复平面上半平面 ($Im(w) > 0$)。
单位圆内部的上半平面 ($0 < r < 1, 0 < heta < pi$) 映射到复平面下半平面 ($Im(w) < 0$)。

所以，严格来说，罗斯科夫斯基函数将上半平面映射成了整个复平面，但它有两个不同的区域被映射到了不同的半平面上：

上半平面中 $|z|>1$ 的部分映射到 复平面上半平面 ($Im(w) > 0$)。
上半平面中 $|z|<1$ 的部分映射到 复平面下半平面 ($Im(w) < 0$)。
上半平面中 $|z|=1$ 的部分映射到实轴区间 $(1, 1)$。

下半平面的映射：

下半平面是指 $Im(z) < 0$，也就是 $z = r e^{i heta}$，其中 $r > 0$ 且 $pi < heta < 2pi$。
在这种情况下，$sin heta < 0$。

模长 $r=1$ 的情况：
如果 $r=1$，则 $z$ 在单位圆的下半部分。
$v = frac{1}{2}(1 1)sin heta = 0$。
$u = frac{1}{2}(1 + 1)cos heta = cos heta$。
当 $pi < heta < 2pi$ 时，$cos heta$ 从 $1$ 变化到 $1$。因此，单位圆的下半部分被映射到实轴上的区间 $(1, 1)$。

模长 $r eq 1$ 的情况：
当 $r > 1$ 时：
$r + frac{1}{r} > 0$ 且 $r frac{1}{r} > 0$。
$u = frac{1}{2}(r + frac{1}{r})cos heta$
$v = frac{1}{2}(r frac{1}{r})sin heta$
因为 $sin heta < 0$ 且 $r frac{1}{r} > 0$，所以 $v = frac{1}{2}(r frac{1}{r})sin heta < 0$。
这意味着当 $r > 1$ 且 $pi < heta < 2pi$ 时，映射到的点 $w$ 始终位于虚轴的负半轴上。
固定一个 $r > 1$ 的值，当 $ heta$ 从 $pi$ 变化到 $2pi$ 时，$cos heta$ 从 $1$ 变化到 $1$。
$u$ 的取值范围是从 $frac{1}{2}(r + frac{1}{r})$ 变化到 $frac{1}{2}(r + frac{1}{r})$。
$v$ 的取值范围是从 0 变化到 $frac{1}{2}(r frac{1}{r})$ 再变化回 0。
这部分区域被映射到复平面下半平面 ($Im(w) < 0$)。

当 $0 < r < 1$ 时：
$r + frac{1}{r} > 0$ 且 $r frac{1}{r} < 0$。
$u = frac{1}{2}(r + frac{1}{r})cos heta$
$v = frac{1}{2}(r frac{1}{r})sin heta$
因为 $sin heta < 0$ 且 $r frac{1}{r} < 0$，所以 $v = frac{1}{2}(r frac{1}{r})sin heta > 0$。
这意味着当 $0 < r < 1$ 且 $pi < heta < 2pi$ 时，映射到的点 $w$ 始终位于虚轴的正半轴上。
固定一个 $0 < r < 1$ 的值，当 $ heta$ 从 $pi$ 变化到 $2pi$ 时，$cos heta$ 从 $1$ 变化到 $1$。
$u$ 的取值范围是从 $frac{1}{2}(r + frac{1}{r})$ 变化到 $frac{1}{2}(r + frac{1}{r})$。
$v$ 的取值范围是从 0 变化到 $frac{1}{2}(r frac{1}{r})$（一个正值）再变化回 0。
这部分区域被映射到复平面上半平面 ($Im(w) > 0$)。

所以，罗斯科夫斯基函数将下半平面 ($Im(z) < 0$) 映射到了整个复平面，同样地，它也根据模长划分了上半平面和下半平面：

单位圆下半部分 ($r=1, pi < heta < 2pi$) 映射到实轴区间 $(1, 1)$。
下半平面中 $|z|>1$ 的部分映射到 复平面下半平面 ($Im(w) < 0$)。
下半平面中 $|z|<1$ 的部分映射到 复平面上半平面 ($Im(w) > 0$)。

总结一下：

罗斯科夫斯基函数 $f(z) = frac{1}{2}(z + frac{1}{z})$ 的一个非常有意思的特性是它将单位圆映射成一个椭圆（实际上是压缩后的单位圆，$z=x+iy$，$f(z) = frac{1}{2}(x+iy + frac{1}{x+iy})$ 并不是个椭圆，它将单位圆映射成一个线段，更准确的说是两个椭圆“挤压”成的线段。如果考虑 $|z|=a$，它会映射成一个椭圆）。

单位圆 $|z|=1$ 被映射到实轴上的线段 $[1, 1]$。这是因为当 $z=e^{i heta}$ 时，$f(z) = frac{1}{2}(e^{i heta} + e^{i heta}) = cos heta$，其值在 $[1, 1]$ 之间变化。

上半平面 ($Im(z)>0$) 被映射到 整个复平面。具体来说：
上半平面中 $|z|>1$ 的部分映射到复平面的 上半平面 ($Im(w)>0$)。
上半平面中 $|z|<1$ 的部分映射到复平面的 下半平面 ($Im(w)<0$)。

下半平面 ($Im(z)<0$) 也被映射到 整个复平面。具体来说：
下半平面中 $|z|>1$ 的部分映射到复平面的 下半平面 ($Im(w)<0$)。
下半平面中 $|z|<1$ 的部分映射到复平面的 上半平面 ($Im(w)>0$)。

所以，对于上半平面和下半平面，它们都被罗斯科夫斯基函数“打散”了，一部分映射到上半平面，一部分映射到下半平面。这导致了一个有趣的现象：函数将上半平面和下半平面的内部区域分别映射到了复平面上半部分和下半部分的“外部”区域，反之亦然。 这也解释了为什么它在处理流体绕过翼型等问题时很有用，因为一个简单的直线（如上半平面）可以被映射成更复杂的形状。

实际上，罗斯科夫斯基函数将一个具有两个焦点（1和1）的椭圆内部映射到一个圆盘内部，反之亦然。上半平面和下半平面可以看作是由单位圆和椭圆组成的区域。

这个之前写复变函数作业遇到过。下面做的是上半平面 的情形。

令 ，则 ，且

。

设 ，上面等价于

。

当 时， 。所以 。下面考虑其他情况。令

，

则上面的参数方程可以化为 。由 的表达式知道 。另外，由 知 。所以可以把值域表示为半椭圆族：

我们证明 就是上半平面。(同理另一个是下半平面)

任取上半平面的点 。关于 的方程组

消去 得到 。设左边函数为 ，则

。

由介值性知道存在实数 使得 ，令 ，则这是方程组的一组解。从而

。

也就是说上半平面任何点都属于某一个这样的上半椭圆；而这些上半椭圆每一个都在上半平面内。所以 就是上半平面。同理 就是下半平面。

综上所述，我们把三个结果合并得到

。

这题目用分式线性变换的知识应该更好，但是我不太记得那些。。这个可能有种“高中生友好方法”的感觉。