如何证明不等式（来自小蓝本）?
咱们今天来聊聊一个挺有意思的不等式，这玩意儿在数学竞赛圈子里，尤其是大家口中的“小蓝本”里，时不时就会冒出来，它长这个样子：
$$ a^3 + b^3 + c^3 3abc = (a+b+c)(a^2+b^2+c^2abbcca) $$
当然，这只是它的一个基本形式，很多时候它会以各种变形或者与其他不等式结合出现。不过，今天咱们的目标是把这个“小蓝本”里的不等式给它捋顺了，讲清楚它的来龙去脉，以及怎么去证明它。我尽量讲得详细点，就像咱哥俩聊天一样，让你明明白白。
为啥要证明它？
你可能要问了，这不就是个代数恒等式吗？还用证明？确实，从严格意义上讲，它首先是一个代数恒等式，也就是说，无论 $a, b, c$ 是什么数（实数、复数都行），这个等式都是成立的。证明它，其实就是我们熟悉的多项式展开和合并同类项的技巧。
但是，为什么它在“小蓝本”里会被拎出来，还冠上“不等式”的名头呢？关键就在于它的一个非常重要的推论，也是它之所以能作为不等式出名的原因：
当 $a, b, c$ 是非负实数时，我们有 $a^3 + b^3 + c^3 ge 3abc$。
这下子就有点意思了。很多时候，在处理一些跟非负数有关的数学问题时，如果我们发现问题中的某些项和 $a^3+b^3+c^3$ 以及 $3abc$ 有点沾边，那么这个恒等式就可能成为我们的“利器”，帮助我们把复杂的问题简化，甚至直接得到我们想要的不等关系。
第一步：证明这个代数恒等式
既然它是恒等式，那咱们就从最直接的方法开始：展开右边，看看能不能得到左边。
右边是 $(a+b+c)(a^2+b^2+c^2abbcca)$。我们来一项一项地乘：
1. $a$ 乘以后面的括号：
$a cdot (a^2+b^2+c^2abbcca) = a^3 + ab^2 + ac^2 a^2b abc a^2c$
2. $b$ 乘以后面的括号：
$b cdot (a^2+b^2+c^2abbcca) = a^2b + b^3 + bc^2 ab^2 b^2c abc$
3. $c$ 乘以后面的括号：
$c cdot (a^2+b^2+c^2abbcca) = a^2c + b^2c + c^3 abc bc^2 c^2a$
现在，把这三部分加起来：
$(a^3 + ab^2 + ac^2 a^2b abc a^2c) + (a^2b + b^3 + bc^2 ab^2 b^2c abc) + (a^2c + b^2c + c^3 abc bc^2 c^2a)$
咱们来仔细看看，有没有可以消掉的项。这里有个小技巧，我们可以按照字母的组合来找，比如 $a^2b$ 和 $a^2b$，还有 $ab^2$ 和 $ab^2$，等等。
$a^3$：只出现一次，保留。
$b^3$：只出现一次，保留。
$c^3$：只出现一次，保留。
$ab^2$ 和 $ab^2$：抵消了。
$ac^2$ 和 $c^2a$（也就是 $ac^2$）：抵消了。
$a^2b$ 和 $a^2b$：抵消了。
$a^2c$ 和 $a^2c$：抵消了。
$bc^2$ 和 $bc^2$：抵消了。
$b^2c$ 和 $b^2c$：抵消了。
$abc$：这里有三个 $abc$ 相加。
所以，加完之后，我们剩下：
$a^3 + b^3 + c^3 abc abc abc = a^3 + b^3 + c^3 3abc$
Bingo! 右边展开之后正好等于左边。这就证明了这个代数恒等式。
另一种证明方法：因式分解
咱们也可以从左边出发，尝试因式分解。这种方法可能需要一些“灵感”，或者说对一些常见的因式分解公式比较熟悉。
$a^3 + b^3 + c^3 3abc$
我们知道 $a^3+b^3$ 的公式是 $(a+b)(a^2ab+b^2)$。我们可以先考虑前两项：
$a^3 + b^3 = (a+b)(a^2ab+b^2)$
那么，原式就变成了：
$(a+b)(a^2ab+b^2) + c^3 3abc$
这看起来还是有点乱。我们不妨再加一个项，让它看起来更像一个立方和的结构。比如，如果我们希望有 $(a+b+c)$ 这个因式，那不妨先凑出 $(a+b)^3$ 的形式。
$(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$
原式是 $a^3+b^3+c^33abc$。
我们可以这样操作：
$a^3+b^3+c^33abc$
$= a^3+b^3 + (c^3 3abc)$
$= (a+b)^3 3ab(a+b) + c^3 3abc$
这个地方有点绕了，换个思路。
我们把 $c$ 看成一个整体，想想 $a^3+b^3+c^3$ 这个结构。
如果令 $x=a+b$，那么原式可以写成 $x^3 3abx + c^3 3abc$。
这还是没法直接凑出 $(a+b+c)$ 这个因子。
换个更直接的因式分解思路：
咱们知道 $a+b+c$ 是一个潜在的因子。如果 $a+b+c=0$，那么 $c = (a+b)$。
代入原式：
$a^3 + b^3 + ((a+b))^3 3ab((a+b))$
$= a^3 + b^3 (a+b)^3 + 3ab(a+b)$
$= a^3 + b^3 (a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3) + 3a^2b + 3ab^2$
$= a^3 + b^3 a^3 3a^2b 3ab^2 b^3 + 3a^2b + 3ab^2$
$= 0$
这就说明，如果 $a+b+c=0$，那么 $a^3+b^3+c^33abc=0$，也就是说 $a^3+b^3+c^3=3abc$。
这证实了在 $a+b+c=0$ 的情况下，恒等式成立。
这给了我们一个提示：$(a+b+c)$ 确实是 $a^3+b^3+c^33abc$ 的一个因子。
那么，剩下那个因子是什么呢？通过上面的展开我们知道是 $(a^2+b^2+c^2abbcca)$。
所以，从因式分解的角度，可以这么写：
考虑多项式 $P(a) = a^3 + b^3 + c^3 3abc$。
当 $a = (b+c)$ 时，
$P((b+c)) = ((b+c))^3 + b^3 + c^3 3((b+c))bc$
$= (b+c)^3 + b^3 + c^3 + 3bc(b+c)$
$= (b^3 + 3b^2c + 3bc^2 + c^3) + b^3 + c^3 + 3b^2c + 3bc^2$
$= b^3 3b^2c 3bc^2 c^3 + b^3 + c^3 + 3b^2c + 3bc^2$
$= 0$
根据因式定理，当 $a = (b+c)$ 时多项式为零，说明 $(a+(b+c))$ 是多项式的一个因子。即 $(a+b+c)$ 是 $a^3+b^3+c^33abc$ 的一个因子。
同理，我们也可以看作是关于 $b$ 的多项式，当 $b=(a+c)$ 时，原式为零，所以 $(b+(a+c))$ 也是因子。
以及关于 $c$ 的多项式，当 $c=(a+b)$ 时，原式为零，所以 $(c+(a+b))$ 也是因子。
因为 $a^3+b^3+c^33abc$ 是一个关于 $a, b, c$ 的对称三次齐次多项式，而 $a+b+c$ 也是一个对称的一次齐次多项式。
所以，剩下的因子必然是一个二次齐次对称多项式。
最简单的二次齐次对称多项式有 $a^2+b^2+c^2$ 和 $ab+bc+ca$ 的组合。
假设 $a^3+b^3+c^33abc = (a+b+c)(Aa^2+Bb^2+Cc^2+Dab+Ebc+Fca)$。
因为原式是关于 $a,b,c$ 的对称多项式，所以 $(Aa^2+Bb^2+Cc^2+Dab+Ebc+Fca)$ 也必须是关于 $a,b,c$ 的对称多项式。
这意味着 $A=B=C$ 且 $D=E=F$。
所以，剩下的因子形式为 $k(a^2+b^2+c^2) + m(ab+bc+ca)$。
那么 $a^3+b^3+c^33abc = (a+b+c)(k(a^2+b^2+c^2) + m(ab+bc+ca))$。
展开右边，比较系数：
$(a+b+c)(ka^2+kb^2+kc^2+mab+mbc+mca)$
$= k(a^3+ab^2+ac^2+a^2b+b^3+bc^2+a^2c+b^2c+c^3) + m(a^2b+abc+a^2c+ab^2+b^2c+abc+abc+bc^2+c^2a)$
$= k(a^3+b^3+c^3) + k(ab^2+ac^2+a^2b+bc^2+a^2c+b^2c) + m(a^2b+a^2c+ab^2+b^2c+bc^2+c^2a) + 3mabc$
合并同类项，并注意到 $ab^2+ac^2+a^2b+bc^2+a^2c+b^2c$ 等于 $a^2b+ab^2+b^2c+bc^2+c^2a+ca^2$（只是顺序不同）。
所以等于：
$k(a^3+b^3+c^3) + (k+m)(a^2b+ab^2+b^2c+bc^2+c^2a+ca^2) + 3mabc$
为了使这个等式成立，我们需要：
$k=1$ （对应 $a^3, b^3, c^3$ 的系数）
$k+m=0$ （对应 $a^2b$ 等混合项的系数）
$3m=3$ （对应 $abc$ 的系数）
从 $k=1$ 和 $k+m=0$ 可得 $m=1$。
从 $3m=3$ 也可得 $m=1$。
这三个条件都吻合了。
所以，$a^3+b^3+c^33abc = (a+b+c)(1 cdot (a^2+b^2+c^2) + (1) cdot (ab+bc+ca))$
$= (a+b+c)(a^2+b^2+c^2abbcca)$
这样也证明了恒等式。这种方法更严谨一些，因为它考虑了多项式的性质和系数的匹配。
第二步：从恒等式导出不等式 $a^3+b^3+c^3 ge 3abc$
现在我们已经证明了：
$a^3 + b^3 + c^3 3abc = (a+b+c)(a^2+b^2+c^2abbcca)$
要得到 $a^3 + b^3 + c^3 ge 3abc$，我们需要证明等式右边的 $(a+b+c)(a^2+b^2+c^2abbcca)$ 是非负的。
这里有一个非常关键的恒等式（或者说一个变形），它能把右边的第二部分化简得更清晰：
$a^2+b^2+c^2abbcca = frac{1}{2} [(ab)^2 + (bc)^2 + (ca)^2]$
怎么来的呢？我们来展开右边看看：
$frac{1}{2} [(ab)^2 + (bc)^2 + (ca)^2]$
$= frac{1}{2} [(a^2 2ab + b^2) + (b^2 2bc + c^2) + (c^2 2ca + a^2)]$
$= frac{1}{2} [a^2 2ab + b^2 + b^2 2bc + c^2 + c^2 2ca + a^2]$
合并同类项：
$= frac{1}{2} [2a^2 + 2b^2 + 2c^2 2ab 2bc 2ca]$
$= a^2 + b^2 + c^2 ab bc ca$
这个变形太有用了！因为平方项 $(ab)^2$, $(bc)^2$, $(ca)^2$ 都是非负的，它们的和自然也是非负的。所以：
$a^2+b^2+c^2abbcca = frac{1}{2} [(ab)^2 + (bc)^2 + (ca)^2] ge 0$
现在我们看回原式：
$a^3 + b^3 + c^3 3abc = (a+b+c) cdot frac{1}{2} [(ab)^2 + (bc)^2 + (ca)^2]$
如果 $a, b, c$ 是非负实数，那么：
1. $(a+b+c) ge 0$
2. $frac{1}{2} [(ab)^2 + (bc)^2 + (ca)^2] ge 0$
所以，它们的乘积 $(a+b+c)(a^2+b^2+c^2abbcca)$ 必然是非负的。
即 $a^3 + b^3 + c^3 3abc ge 0$。
这就等价于 $a^3 + b^3 + c^3 ge 3abc$。
什么时候等号成立？
等号成立的条件是 $a^3 + b^3 + c^3 3abc = 0$。
根据上面的推导，这等价于：
$(a+b+c) cdot frac{1}{2} [(ab)^2 + (bc)^2 + (ca)^2] = 0$
要使这个乘积为零，必须满足以下条件之一：
$a+b+c = 0$
$(ab)^2 + (bc)^2 + (ca)^2 = 0$
在 非负实数 的前提下：
如果 $a+b+c = 0$，而 $a,b,c ge 0$，那么唯一的可能性就是 $a=b=c=0$。
如果 $(ab)^2 + (bc)^2 + (ca)^2 = 0$，因为平方和为零意味着每一项都必须为零，所以：
$ab = 0 implies a=b$
$bc = 0 implies b=c$
$ca = 0 implies c=a$
综合起来就是 $a=b=c$。
所以，当 $a,b,c$ 为非负实数时，不等式 $a^3+b^3+c^3 ge 3abc$ 的等号成立条件是 $a=b=c$。
补充： $a^2+b^2+c^2abbcca ge 0$ 的意义
这个不等式本身也很重要，它说明了即使 $a,b,c$ 不为非负数，只要 $a+b+c ge 0$ 且 $a=b=c$，那么等号也成立。但通常在“小蓝本”语境下，我们讨论的是非负数。
另外，这个不等式 $a^2+b^2+c^2 ge ab+bc+ca$ 是一个非常基础且常用的不等式。它是 均方根算术平均不等式 的一个特例。
更一般地，排序不等式 (Rearrangement Inequality) 和 施瓦茨不等式 (CauchySchwarz Inequality) 等都与这类代数恒等式和不等式有着深刻的联系。
总结一下证明思路：
1. 首先证明代数恒等式：
$a^3 + b^3 + c^3 3abc = (a+b+c)(a^2+b^2+c^2abbcca)$
可以通过直接展开右边来证明。
2. 利用恒等式进行变形：
将 $a^2+b^2+c^2abbcca$ 变形为 $frac{1}{2} [(ab)^2 + (bc)^2 + (ca)^2]$。
3. 分析符号和条件导出不等式：
当 $a,b,c$ 是非负实数时， $(a+b+c) ge 0$ 且 $frac{1}{2} [(ab)^2 + (bc)^2 + (ca)^2] ge 0$。
两者的乘积为非负，从而得到 $a^3 + b^3 + c^3 ge 3abc$。
4. 确定等号成立条件：
等号成立当且仅当 $(a+b+c)=0$ 或者 $(ab)^2 + (bc)^2 + (ca)^2 = 0$。在非负实数范围内，这都归结于 $a=b=c$。
这个恒等式和它导出的不等式，在处理对称性、证明一些关于平均值的不等式时，是相当有用的工具。希望我这样讲，能让你觉得不那么“机器”，更能理解其中的道道。多练练，多看看，自然就熟悉了。
$$ a^3 + b^3 + c^3 3abc = (a+b+c)(a^2+b^2+c^2abbcca) $$
当然，这只是它的一个基本形式，很多时候它会以各种变形或者与其他不等式结合出现。不过，今天咱们的目标是把这个“小蓝本”里的不等式给它捋顺了，讲清楚它的来龙去脉，以及怎么去证明它。我尽量讲得详细点，就像咱哥俩聊天一样，让你明明白白。
为啥要证明它？
你可能要问了，这不就是个代数恒等式吗？还用证明？确实，从严格意义上讲，它首先是一个代数恒等式，也就是说，无论 $a, b, c$ 是什么数（实数、复数都行），这个等式都是成立的。证明它，其实就是我们熟悉的多项式展开和合并同类项的技巧。
但是，为什么它在“小蓝本”里会被拎出来，还冠上“不等式”的名头呢？关键就在于它的一个非常重要的推论，也是它之所以能作为不等式出名的原因：
当 $a, b, c$ 是非负实数时，我们有 $a^3 + b^3 + c^3 ge 3abc$。
这下子就有点意思了。很多时候，在处理一些跟非负数有关的数学问题时，如果我们发现问题中的某些项和 $a^3+b^3+c^3$ 以及 $3abc$ 有点沾边，那么这个恒等式就可能成为我们的“利器”，帮助我们把复杂的问题简化，甚至直接得到我们想要的不等关系。
第一步：证明这个代数恒等式
既然它是恒等式，那咱们就从最直接的方法开始：展开右边，看看能不能得到左边。
右边是 $(a+b+c)(a^2+b^2+c^2abbcca)$。我们来一项一项地乘：
1. $a$ 乘以后面的括号：
$a cdot (a^2+b^2+c^2abbcca) = a^3 + ab^2 + ac^2 a^2b abc a^2c$
2. $b$ 乘以后面的括号：
$b cdot (a^2+b^2+c^2abbcca) = a^2b + b^3 + bc^2 ab^2 b^2c abc$
3. $c$ 乘以后面的括号：
$c cdot (a^2+b^2+c^2abbcca) = a^2c + b^2c + c^3 abc bc^2 c^2a$
现在，把这三部分加起来：
$(a^3 + ab^2 + ac^2 a^2b abc a^2c) + (a^2b + b^3 + bc^2 ab^2 b^2c abc) + (a^2c + b^2c + c^3 abc bc^2 c^2a)$
咱们来仔细看看，有没有可以消掉的项。这里有个小技巧，我们可以按照字母的组合来找，比如 $a^2b$ 和 $a^2b$，还有 $ab^2$ 和 $ab^2$，等等。
$a^3$：只出现一次，保留。
$b^3$：只出现一次，保留。
$c^3$：只出现一次，保留。
$ab^2$ 和 $ab^2$：抵消了。
$ac^2$ 和 $c^2a$（也就是 $ac^2$）：抵消了。
$a^2b$ 和 $a^2b$：抵消了。
$a^2c$ 和 $a^2c$：抵消了。
$bc^2$ 和 $bc^2$：抵消了。
$b^2c$ 和 $b^2c$：抵消了。
$abc$：这里有三个 $abc$ 相加。
所以，加完之后，我们剩下：
$a^3 + b^3 + c^3 abc abc abc = a^3 + b^3 + c^3 3abc$
Bingo! 右边展开之后正好等于左边。这就证明了这个代数恒等式。
另一种证明方法：因式分解
咱们也可以从左边出发，尝试因式分解。这种方法可能需要一些“灵感”，或者说对一些常见的因式分解公式比较熟悉。
$a^3 + b^3 + c^3 3abc$
我们知道 $a^3+b^3$ 的公式是 $(a+b)(a^2ab+b^2)$。我们可以先考虑前两项：
$a^3 + b^3 = (a+b)(a^2ab+b^2)$
那么，原式就变成了：
$(a+b)(a^2ab+b^2) + c^3 3abc$
这看起来还是有点乱。我们不妨再加一个项，让它看起来更像一个立方和的结构。比如，如果我们希望有 $(a+b+c)$ 这个因式，那不妨先凑出 $(a+b)^3$ 的形式。
$(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$
原式是 $a^3+b^3+c^33abc$。
我们可以这样操作：
$a^3+b^3+c^33abc$
$= a^3+b^3 + (c^3 3abc)$
$= (a+b)^3 3ab(a+b) + c^3 3abc$
这个地方有点绕了，换个思路。
我们把 $c$ 看成一个整体，想想 $a^3+b^3+c^3$ 这个结构。
如果令 $x=a+b$，那么原式可以写成 $x^3 3abx + c^3 3abc$。
这还是没法直接凑出 $(a+b+c)$ 这个因子。
换个更直接的因式分解思路：
咱们知道 $a+b+c$ 是一个潜在的因子。如果 $a+b+c=0$，那么 $c = (a+b)$。
代入原式：
$a^3 + b^3 + ((a+b))^3 3ab((a+b))$
$= a^3 + b^3 (a+b)^3 + 3ab(a+b)$
$= a^3 + b^3 (a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3) + 3a^2b + 3ab^2$
$= a^3 + b^3 a^3 3a^2b 3ab^2 b^3 + 3a^2b + 3ab^2$
$= 0$
这就说明，如果 $a+b+c=0$，那么 $a^3+b^3+c^33abc=0$，也就是说 $a^3+b^3+c^3=3abc$。
这证实了在 $a+b+c=0$ 的情况下，恒等式成立。
这给了我们一个提示：$(a+b+c)$ 确实是 $a^3+b^3+c^33abc$ 的一个因子。
那么，剩下那个因子是什么呢？通过上面的展开我们知道是 $(a^2+b^2+c^2abbcca)$。
所以，从因式分解的角度，可以这么写：
考虑多项式 $P(a) = a^3 + b^3 + c^3 3abc$。
当 $a = (b+c)$ 时，
$P((b+c)) = ((b+c))^3 + b^3 + c^3 3((b+c))bc$
$= (b+c)^3 + b^3 + c^3 + 3bc(b+c)$
$= (b^3 + 3b^2c + 3bc^2 + c^3) + b^3 + c^3 + 3b^2c + 3bc^2$
$= b^3 3b^2c 3bc^2 c^3 + b^3 + c^3 + 3b^2c + 3bc^2$
$= 0$
根据因式定理，当 $a = (b+c)$ 时多项式为零，说明 $(a+(b+c))$ 是多项式的一个因子。即 $(a+b+c)$ 是 $a^3+b^3+c^33abc$ 的一个因子。
同理，我们也可以看作是关于 $b$ 的多项式，当 $b=(a+c)$ 时，原式为零，所以 $(b+(a+c))$ 也是因子。
以及关于 $c$ 的多项式，当 $c=(a+b)$ 时，原式为零，所以 $(c+(a+b))$ 也是因子。
因为 $a^3+b^3+c^33abc$ 是一个关于 $a, b, c$ 的对称三次齐次多项式，而 $a+b+c$ 也是一个对称的一次齐次多项式。
所以，剩下的因子必然是一个二次齐次对称多项式。
最简单的二次齐次对称多项式有 $a^2+b^2+c^2$ 和 $ab+bc+ca$ 的组合。
假设 $a^3+b^3+c^33abc = (a+b+c)(Aa^2+Bb^2+Cc^2+Dab+Ebc+Fca)$。
因为原式是关于 $a,b,c$ 的对称多项式，所以 $(Aa^2+Bb^2+Cc^2+Dab+Ebc+Fca)$ 也必须是关于 $a,b,c$ 的对称多项式。
这意味着 $A=B=C$ 且 $D=E=F$。
所以，剩下的因子形式为 $k(a^2+b^2+c^2) + m(ab+bc+ca)$。
那么 $a^3+b^3+c^33abc = (a+b+c)(k(a^2+b^2+c^2) + m(ab+bc+ca))$。
展开右边，比较系数：
$(a+b+c)(ka^2+kb^2+kc^2+mab+mbc+mca)$
$= k(a^3+ab^2+ac^2+a^2b+b^3+bc^2+a^2c+b^2c+c^3) + m(a^2b+abc+a^2c+ab^2+b^2c+abc+abc+bc^2+c^2a)$
$= k(a^3+b^3+c^3) + k(ab^2+ac^2+a^2b+bc^2+a^2c+b^2c) + m(a^2b+a^2c+ab^2+b^2c+bc^2+c^2a) + 3mabc$
合并同类项，并注意到 $ab^2+ac^2+a^2b+bc^2+a^2c+b^2c$ 等于 $a^2b+ab^2+b^2c+bc^2+c^2a+ca^2$（只是顺序不同）。
所以等于：
$k(a^3+b^3+c^3) + (k+m)(a^2b+ab^2+b^2c+bc^2+c^2a+ca^2) + 3mabc$
为了使这个等式成立，我们需要：
$k=1$ （对应 $a^3, b^3, c^3$ 的系数）
$k+m=0$ （对应 $a^2b$ 等混合项的系数）
$3m=3$ （对应 $abc$ 的系数）
从 $k=1$ 和 $k+m=0$ 可得 $m=1$。
从 $3m=3$ 也可得 $m=1$。
这三个条件都吻合了。
所以，$a^3+b^3+c^33abc = (a+b+c)(1 cdot (a^2+b^2+c^2) + (1) cdot (ab+bc+ca))$
$= (a+b+c)(a^2+b^2+c^2abbcca)$
这样也证明了恒等式。这种方法更严谨一些，因为它考虑了多项式的性质和系数的匹配。
第二步：从恒等式导出不等式 $a^3+b^3+c^3 ge 3abc$
现在我们已经证明了：
$a^3 + b^3 + c^3 3abc = (a+b+c)(a^2+b^2+c^2abbcca)$
要得到 $a^3 + b^3 + c^3 ge 3abc$，我们需要证明等式右边的 $(a+b+c)(a^2+b^2+c^2abbcca)$ 是非负的。
这里有一个非常关键的恒等式（或者说一个变形），它能把右边的第二部分化简得更清晰：
$a^2+b^2+c^2abbcca = frac{1}{2} [(ab)^2 + (bc)^2 + (ca)^2]$
怎么来的呢？我们来展开右边看看：
$frac{1}{2} [(ab)^2 + (bc)^2 + (ca)^2]$
$= frac{1}{2} [(a^2 2ab + b^2) + (b^2 2bc + c^2) + (c^2 2ca + a^2)]$
$= frac{1}{2} [a^2 2ab + b^2 + b^2 2bc + c^2 + c^2 2ca + a^2]$
合并同类项：
$= frac{1}{2} [2a^2 + 2b^2 + 2c^2 2ab 2bc 2ca]$
$= a^2 + b^2 + c^2 ab bc ca$
这个变形太有用了！因为平方项 $(ab)^2$, $(bc)^2$, $(ca)^2$ 都是非负的，它们的和自然也是非负的。所以：
$a^2+b^2+c^2abbcca = frac{1}{2} [(ab)^2 + (bc)^2 + (ca)^2] ge 0$
现在我们看回原式：
$a^3 + b^3 + c^3 3abc = (a+b+c) cdot frac{1}{2} [(ab)^2 + (bc)^2 + (ca)^2]$
如果 $a, b, c$ 是非负实数，那么：
1. $(a+b+c) ge 0$
2. $frac{1}{2} [(ab)^2 + (bc)^2 + (ca)^2] ge 0$
所以，它们的乘积 $(a+b+c)(a^2+b^2+c^2abbcca)$ 必然是非负的。
即 $a^3 + b^3 + c^3 3abc ge 0$。
这就等价于 $a^3 + b^3 + c^3 ge 3abc$。
什么时候等号成立？
等号成立的条件是 $a^3 + b^3 + c^3 3abc = 0$。
根据上面的推导，这等价于：
$(a+b+c) cdot frac{1}{2} [(ab)^2 + (bc)^2 + (ca)^2] = 0$
要使这个乘积为零，必须满足以下条件之一：
$a+b+c = 0$
$(ab)^2 + (bc)^2 + (ca)^2 = 0$
在 非负实数 的前提下：
如果 $a+b+c = 0$，而 $a,b,c ge 0$，那么唯一的可能性就是 $a=b=c=0$。
如果 $(ab)^2 + (bc)^2 + (ca)^2 = 0$，因为平方和为零意味着每一项都必须为零，所以：
$ab = 0 implies a=b$
$bc = 0 implies b=c$
$ca = 0 implies c=a$
综合起来就是 $a=b=c$。
所以，当 $a,b,c$ 为非负实数时，不等式 $a^3+b^3+c^3 ge 3abc$ 的等号成立条件是 $a=b=c$。
补充： $a^2+b^2+c^2abbcca ge 0$ 的意义
这个不等式本身也很重要，它说明了即使 $a,b,c$ 不为非负数，只要 $a+b+c ge 0$ 且 $a=b=c$，那么等号也成立。但通常在“小蓝本”语境下，我们讨论的是非负数。
另外，这个不等式 $a^2+b^2+c^2 ge ab+bc+ca$ 是一个非常基础且常用的不等式。它是 均方根算术平均不等式 的一个特例。
更一般地，排序不等式 (Rearrangement Inequality) 和 施瓦茨不等式 (CauchySchwarz Inequality) 等都与这类代数恒等式和不等式有着深刻的联系。
总结一下证明思路：
1. 首先证明代数恒等式：
$a^3 + b^3 + c^3 3abc = (a+b+c)(a^2+b^2+c^2abbcca)$
可以通过直接展开右边来证明。
2. 利用恒等式进行变形：
将 $a^2+b^2+c^2abbcca$ 变形为 $frac{1}{2} [(ab)^2 + (bc)^2 + (ca)^2]$。
3. 分析符号和条件导出不等式：
当 $a,b,c$ 是非负实数时， $(a+b+c) ge 0$ 且 $frac{1}{2} [(ab)^2 + (bc)^2 + (ca)^2] ge 0$。
两者的乘积为非负，从而得到 $a^3 + b^3 + c^3 ge 3abc$。
4. 确定等号成立条件：
等号成立当且仅当 $(a+b+c)=0$ 或者 $(ab)^2 + (bc)^2 + (ca)^2 = 0$。在非负实数范围内，这都归结于 $a=b=c$。
这个恒等式和它导出的不等式，在处理对称性、证明一些关于平均值的不等式时，是相当有用的工具。希望我这样讲，能让你觉得不那么“机器”，更能理解其中的道道。多练练，多看看，自然就熟悉了。
网友意见
令
则
故只需考虑
Fejer-Jackson 不等式：
下证明:
考虑其导函数：
那么 在 内的临界点为：
注：临界点的个数取决 的奇偶性：当 为奇数时有 个，当 为偶数时有 个，且 是它的最小的临界点.
通过讨论单调性可以证明(自行证明):
我们断言：（1）数列 是严格单调递增的；
（2）
（3）
对于（1），只需注意 的单调性即可知：
对于（2），只需注意
利用数列极限的单调有界原理，
此处用到函数 在 上严格单调递减.
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