哪个整系数多项式方程的根是 √2 + √3 + √5，如何得到这个方程？
让我们来好好捋一捋，怎么找到一个整系数多项式方程，让 $sqrt{2} + sqrt{3} + sqrt{5}$ 这个数成为它的根。这可不是随随便便就能变出来的，需要点“代数炼金术”的功夫。
首先，咱们得给这个“宝贝”一个名字，方便代称。就叫它 $x$ 吧。
所以，我们有：
$x = sqrt{2} + sqrt{3} + sqrt{5}$
咱们的目标是把这个带根号的表达式，变成一个不含根号的、关于 $x$ 的整系数方程。怎么做呢？最直接的办法就是 “去根号”。
第一步：初步隔离根号
我们先试着把一个根号单独留在一边。比如，咱们先把 $sqrt{5}$ 留下来：
$x sqrt{5} = sqrt{2} + sqrt{3}$
第二步：两边平方，消灭一个根号（以及产生新的根号）
现在，我们两边都平方一下，看看会发生什么：
$(x sqrt{5})^2 = (sqrt{2} + sqrt{3})^2$
展开左边：
$x^2 2xsqrt{5} + (sqrt{5})^2 = x^2 2xsqrt{5} + 5$
展开右边：
$(sqrt{2})^2 + 2sqrt{2}sqrt{3} + (sqrt{3})^2 = 2 + 2sqrt{6} + 3 = 5 + 2sqrt{6}$
所以，我们现在得到：
$x^2 2xsqrt{5} + 5 = 5 + 2sqrt{6}$
第三步：再次整理，继续隔离剩余的根号
把常数项都移到一边，把带根号的项再单独放一边：
$x^2 2xsqrt{5} = 2sqrt{6}$
哎呀，$sqrt{5}$ 还在，而且还多出了一个 $sqrt{6}$。这说明，一次平方是不够的。咱们得继续。把带 $sqrt{5}$ 的项移到右边，这样左边就只剩下 $x^2$ 了（虽然这是个幻觉，我们还得处理那个 $2xsqrt{5}$）：
$x^2 = 2sqrt{6} + 2xsqrt{5}$
这个样子还是不太方便处理。咱们回到前一步的结果：
$x^2 2xsqrt{5} = 2sqrt{6}$
这次，我们把带根号的项都集中到一边，不带根号的都到另一边。先把 $x^2$ 放到右边：
$2xsqrt{5} = 2sqrt{6} x^2$
然后两边都乘以 1，这样看起来顺眼一点：
$2xsqrt{5} = x^2 2sqrt{6}$
第四步：再平方一次，彻底消灭根号！
现在，我们两边都平方，这次的目标是把 $sqrt{5}$ 和 $sqrt{6}$ 都消灭掉：
$(2xsqrt{5})^2 = (x^2 2sqrt{6})^2$
展开左边：
$(2x)^2 (sqrt{5})^2 = 4x^2 cdot 5 = 20x^2$
展开右边，运用 $(ab)^2 = a^2 2ab + b^2$ 的公式：
$(x^2)^2 2(x^2)(2sqrt{6}) + (2sqrt{6})^2$
$= x^4 4x^2sqrt{6} + (4 cdot 6)$
$= x^4 4x^2sqrt{6} + 24$
所以，我们得到：
$20x^2 = x^4 4x^2sqrt{6} + 24$
第五步：最后的整理和去根号
现在，我们还剩一个 $sqrt{6}$ 了。怎么办？同样的办法：把它单独放一边，然后两边平方。
把带 $sqrt{6}$ 的项移到左边，其他项移到右边：
$4x^2sqrt{6} = x^4 20x^2 + 24$
最后一步，再平方！
$(4x^2sqrt{6})^2 = (x^4 20x^2 + 24)^2$
展开左边：
$(4x^2)^2 (sqrt{6})^2 = 16x^4 cdot 6 = 96x^4$
展开右边就比较麻烦了，我们得用 $(a+b+c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2ac + 2bc$ 的公式，把 $a = x^4$, $b = 20x^2$, $c = 24$ 代入。
$a^2 = (x^4)^2 = x^8$
$b^2 = (20x^2)^2 = 400x^4$
$c^2 = 24^2 = 576$
$2ab = 2(x^4)(20x^2) = 40x^6$
$2ac = 2(x^4)(24) = 48x^4$
$2bc = 2(20x^2)(24) = 960x^2$
把这些加起来：
$x^8 + 400x^4 + 576 40x^6 + 48x^4 960x^2$
合并同类项：
$x^8 40x^6 + (400+48)x^4 960x^2 + 576$
$x^8 40x^6 + 448x^4 960x^2 + 576$
所以，我们得到：
$96x^4 = x^8 40x^6 + 448x^4 960x^2 + 576$
第六步：将所有项移到一边，整理成最终方程
现在，把 $96x^4$ 也移到右边：
$0 = x^8 40x^6 + 448x^4 96x^4 960x^2 + 576$
$0 = x^8 40x^6 + (44896)x^4 960x^2 + 576$
$0 = x^8 40x^6 + 352x^4 960x^2 + 576$
所以，这个整系数多项式方程就是：
$x^8 40x^6 + 352x^4 960x^2 + 576 = 0$
怎么样得出这个方程的思路总结一下：
1. 设目标值等于变量 $x$： $x = sqrt{2} + sqrt{3} + sqrt{5}$
2. 逐步隔离根号： 每次把一个根号留在等式的一边，把其他项移到另一边。
3. 两边平方： 目标是消灭根号。每次平方都会消灭一部分根号，但同时可能产生新的根号项（特别是含有多个不同根号相加减时）。
4. 重复隔离和平方的过程： 直到所有的根号都被消灭为止。这个过程可能需要多次。
5. 整理成标准多项式形式： 将所有项移到一边，等于零。
为什么能得到整系数方程？
这个过程的本质是利用了 域扩张 的概念。实数域 $mathbb{Q}$ 加上 $sqrt{2}$ 构成 $mathbb{Q}(sqrt{2})$，再加上 $sqrt{3}$ 构成 $mathbb{Q}(sqrt{2}, sqrt{3})$，再加上 $sqrt{5}$ 构成 $mathbb{Q}(sqrt{2}, sqrt{3}, sqrt{5})$。这个数 $x = sqrt{2} + sqrt{3} + sqrt{5}$ 就在这个域里。通过一系列的代数运算（加减乘方），我们是在寻找一个多项式，它的系数是我们已经拥有的数（有理数，在这里是整数），而这个数 $x$ 是它的根。
更专业地说，我们可以看成是计算 $sqrt{2} + sqrt{3} + sqrt{5}$ 的 最小多项式。由于 $sqrt{2}$, $sqrt{3}$, $sqrt{5}$ 是代数独立的（在一定意义上），通过这种两边平方的方法，实际上是在构建这个数在有理数域上的最小多项式。每一次平方操作，都是在将这个数所在的域扩张的次数（次数是基于基底的向量空间维度）进行转化，最终目的是找到一个方程，使得这个数成为那个方程的根，并且这个方程的系数只包含基本域（这里是有理数）的元素。
这个方法虽然有点繁琐，但保证了最后得到的是一个整系数方程。如果系数不是整数，我们还可以通过乘以一个合适的整数（比如各个方程的系数的最大公倍数）来统一成整系数方程。在这里，我们每一步得到的系数都是整数，所以最终的结果自然就是整系数的。
首先，咱们得给这个“宝贝”一个名字，方便代称。就叫它 $x$ 吧。
所以，我们有：
$x = sqrt{2} + sqrt{3} + sqrt{5}$
咱们的目标是把这个带根号的表达式，变成一个不含根号的、关于 $x$ 的整系数方程。怎么做呢？最直接的办法就是 “去根号”。
第一步：初步隔离根号
我们先试着把一个根号单独留在一边。比如，咱们先把 $sqrt{5}$ 留下来：
$x sqrt{5} = sqrt{2} + sqrt{3}$
第二步：两边平方，消灭一个根号（以及产生新的根号）
现在，我们两边都平方一下，看看会发生什么：
$(x sqrt{5})^2 = (sqrt{2} + sqrt{3})^2$
展开左边：
$x^2 2xsqrt{5} + (sqrt{5})^2 = x^2 2xsqrt{5} + 5$
展开右边：
$(sqrt{2})^2 + 2sqrt{2}sqrt{3} + (sqrt{3})^2 = 2 + 2sqrt{6} + 3 = 5 + 2sqrt{6}$
所以，我们现在得到：
$x^2 2xsqrt{5} + 5 = 5 + 2sqrt{6}$
第三步：再次整理，继续隔离剩余的根号
把常数项都移到一边，把带根号的项再单独放一边：
$x^2 2xsqrt{5} = 2sqrt{6}$
哎呀，$sqrt{5}$ 还在，而且还多出了一个 $sqrt{6}$。这说明，一次平方是不够的。咱们得继续。把带 $sqrt{5}$ 的项移到右边，这样左边就只剩下 $x^2$ 了（虽然这是个幻觉，我们还得处理那个 $2xsqrt{5}$）：
$x^2 = 2sqrt{6} + 2xsqrt{5}$
这个样子还是不太方便处理。咱们回到前一步的结果：
$x^2 2xsqrt{5} = 2sqrt{6}$
这次，我们把带根号的项都集中到一边，不带根号的都到另一边。先把 $x^2$ 放到右边：
$2xsqrt{5} = 2sqrt{6} x^2$
然后两边都乘以 1，这样看起来顺眼一点：
$2xsqrt{5} = x^2 2sqrt{6}$
第四步：再平方一次，彻底消灭根号！
现在，我们两边都平方，这次的目标是把 $sqrt{5}$ 和 $sqrt{6}$ 都消灭掉：
$(2xsqrt{5})^2 = (x^2 2sqrt{6})^2$
展开左边：
$(2x)^2 (sqrt{5})^2 = 4x^2 cdot 5 = 20x^2$
展开右边，运用 $(ab)^2 = a^2 2ab + b^2$ 的公式：
$(x^2)^2 2(x^2)(2sqrt{6}) + (2sqrt{6})^2$
$= x^4 4x^2sqrt{6} + (4 cdot 6)$
$= x^4 4x^2sqrt{6} + 24$
所以，我们得到：
$20x^2 = x^4 4x^2sqrt{6} + 24$
第五步：最后的整理和去根号
现在，我们还剩一个 $sqrt{6}$ 了。怎么办？同样的办法：把它单独放一边，然后两边平方。
把带 $sqrt{6}$ 的项移到左边，其他项移到右边：
$4x^2sqrt{6} = x^4 20x^2 + 24$
最后一步，再平方！
$(4x^2sqrt{6})^2 = (x^4 20x^2 + 24)^2$
展开左边：
$(4x^2)^2 (sqrt{6})^2 = 16x^4 cdot 6 = 96x^4$
展开右边就比较麻烦了，我们得用 $(a+b+c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2ac + 2bc$ 的公式，把 $a = x^4$, $b = 20x^2$, $c = 24$ 代入。
$a^2 = (x^4)^2 = x^8$
$b^2 = (20x^2)^2 = 400x^4$
$c^2 = 24^2 = 576$
$2ab = 2(x^4)(20x^2) = 40x^6$
$2ac = 2(x^4)(24) = 48x^4$
$2bc = 2(20x^2)(24) = 960x^2$
把这些加起来：
$x^8 + 400x^4 + 576 40x^6 + 48x^4 960x^2$
合并同类项：
$x^8 40x^6 + (400+48)x^4 960x^2 + 576$
$x^8 40x^6 + 448x^4 960x^2 + 576$
所以，我们得到：
$96x^4 = x^8 40x^6 + 448x^4 960x^2 + 576$
第六步：将所有项移到一边，整理成最终方程
现在，把 $96x^4$ 也移到右边：
$0 = x^8 40x^6 + 448x^4 96x^4 960x^2 + 576$
$0 = x^8 40x^6 + (44896)x^4 960x^2 + 576$
$0 = x^8 40x^6 + 352x^4 960x^2 + 576$
所以，这个整系数多项式方程就是：
$x^8 40x^6 + 352x^4 960x^2 + 576 = 0$
怎么样得出这个方程的思路总结一下：
1. 设目标值等于变量 $x$： $x = sqrt{2} + sqrt{3} + sqrt{5}$
2. 逐步隔离根号： 每次把一个根号留在等式的一边，把其他项移到另一边。
3. 两边平方： 目标是消灭根号。每次平方都会消灭一部分根号，但同时可能产生新的根号项（特别是含有多个不同根号相加减时）。
4. 重复隔离和平方的过程： 直到所有的根号都被消灭为止。这个过程可能需要多次。
5. 整理成标准多项式形式： 将所有项移到一边，等于零。
为什么能得到整系数方程？
这个过程的本质是利用了 域扩张 的概念。实数域 $mathbb{Q}$ 加上 $sqrt{2}$ 构成 $mathbb{Q}(sqrt{2})$，再加上 $sqrt{3}$ 构成 $mathbb{Q}(sqrt{2}, sqrt{3})$，再加上 $sqrt{5}$ 构成 $mathbb{Q}(sqrt{2}, sqrt{3}, sqrt{5})$。这个数 $x = sqrt{2} + sqrt{3} + sqrt{5}$ 就在这个域里。通过一系列的代数运算（加减乘方），我们是在寻找一个多项式，它的系数是我们已经拥有的数（有理数，在这里是整数），而这个数 $x$ 是它的根。
更专业地说，我们可以看成是计算 $sqrt{2} + sqrt{3} + sqrt{5}$ 的 最小多项式。由于 $sqrt{2}$, $sqrt{3}$, $sqrt{5}$ 是代数独立的（在一定意义上），通过这种两边平方的方法，实际上是在构建这个数在有理数域上的最小多项式。每一次平方操作，都是在将这个数所在的域扩张的次数（次数是基于基底的向量空间维度）进行转化，最终目的是找到一个方程，使得这个数成为那个方程的根，并且这个方程的系数只包含基本域（这里是有理数）的元素。
这个方法虽然有点繁琐，但保证了最后得到的是一个整系数方程。如果系数不是整数，我们还可以通过乘以一个合适的整数（比如各个方程的系数的最大公倍数）来统一成整系数方程。在这里，我们每一步得到的系数都是整数，所以最终的结果自然就是整系数的。
网友意见
初中做法：
幼儿园做法：
注意到全是二次根号，Galois group看起来应该是 对应一个8次的minimal polynomial，对应的8个conjugate应该是 ，于是我们得到polynomial应该是
（下面这里修改一下，之前说这里用韦达定理，结果居然有几十项根本没法算...）
注意到 ，所以所有 ； 。
稍微口算一下
，
，
。
所以列个方程组
. 根据构造这个自动不可约。
中小学方法已被之前的朋友写完，那我再补充一个平平无奇的大学生方法。
易得以 为根的多项式： 。当然也可以用平平无奇的方法来算，只要你乐意。
易得以 为根的多项式： 。
写出 的友矩阵：
写出 的友矩阵：
考虑矩阵的克罗耐克积，易得
计算 的特征多项式，可得
这就是要求的多项式。
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