7^1919 的末三位数字是多少？

咱们来仔细算算 7 的 1919 次方，看看它最后的三个数字是啥。这事儿听起来有点麻烦，但其实是有规律可循的。

首先，我们关注的是末三位数字，这就意味着我们实际上是在求 $7^{1919} pmod{1000}$。

我们知道，要找一个数的幂的末几位，可以利用模运算的性质。但是直接算 $7^{1919}$ 肯定是不现实的。那怎么办呢？我们可以找找 $7^n$ 的末三位数字的循环规律。

我们从小的次方开始算起：
$7^1 = 7$
$7^2 = 49$
$7^3 = 343$
$7^4 = 2401$ （末三位是 401）
$7^5 = 7 imes 2401 = 16807$ （末三位是 807）
$7^6 = 7 imes 16807 = 117649$ （末三位是 649）
$7^7 = 7 imes 117649 = 823543$ （末三位是 543）
$7^8 = 7 imes 823543 = 5764801$ （末三位是 801）
$7^9 = 7 imes 5764801 = 40353607$ （末三位是 607）
$7^{10} = 7 imes 40353607 = 282475249$ （末三位是 249）
$7^{11} = 7 imes 282475249 = 1977326743$ （末三位是 743）
$7^{12} = 7 imes 1977326743 = 13841287201$ （末三位是 201）

诶，注意到 $7^{12}$ 的末三位是 201。我们再看看 $7^{13}$ 的末三位：
$7^{13} = 7 imes ( ext{末三位是 201}) = 7 imes 201 pmod{1000} = 1407 pmod{1000} equiv 407 pmod{1000}$

这样算下去会有点慢，而且我们总得找到一个规律的起点和周期。

实际上，根据欧拉定理，如果 $a$ 和 $n$ 互质，那么 $a^{phi(n)} equiv 1 pmod n$，其中 $phi(n)$ 是欧拉函数。

我们要求的是模 1000。1000 可以分解为 $1000 = 8 imes 125 = 2^3 imes 5^3$。
我们先看模 8 和模 125 的情况。

1. 模 8 的情况

我们看 $7^n pmod 8$ 的规律：
$7^1 equiv 7 pmod 8 equiv 1 pmod 8$
$7^2 equiv (1)^2 equiv 1 pmod 8$
$7^3 equiv 7 imes 1 equiv 7 pmod 8 equiv 1 pmod 8$

所以，$7^n pmod 8$ 的规律是：当 $n$ 是奇数时，结果是 7；当 $n$ 是偶数时，结果是 1。
因为我们的指数是 1919，是个奇数，所以 $7^{1919} equiv 7 pmod 8$。

2. 模 125 的情况

我们需要计算 $phi(125)$。
因为 $125 = 5^3$，所以 $phi(125) = 125 imes (1 1/5) = 125 imes (4/5) = 100$。
根据欧拉定理，因为 7 和 125 是互质的，所以 $7^{100} equiv 1 pmod{125}$。

现在我们来看 1919 除以 100 的余数：
$1919 = 19 imes 100 + 19$
所以，$7^{1919} = 7^{19 imes 100 + 19} = (7^{100})^{19} imes 7^{19} equiv 1^{19} imes 7^{19} equiv 7^{19} pmod{125}$。

现在我们需要计算 $7^{19} pmod{125}$。
我们继续用指数的幂来算：
$7^1 = 7$
$7^2 = 49$
$7^3 = 343 equiv 343 2 imes 125 = 343 250 = 93 equiv 32 pmod{125}$
$7^4 equiv 7 imes (32) = 224 equiv 224 + 2 imes 125 = 224 + 250 = 26 pmod{125}$
$7^5 equiv 7 imes 26 = 182 equiv 182 125 = 57 pmod{125}$
$7^{10} equiv 57^2 = 3249 pmod{125}$
$3249 = 25 imes 125 + 124$
所以 $7^{10} equiv 124 equiv 1 pmod{125}$

这个结果太好了！找到了一个负一。
那么，$7^{19} = 7^{10} imes 7^9 = 7^{10} imes 7^5 imes 7^4 pmod{125}$
$7^{19} equiv (1) imes 57 imes 26 pmod{125}$
$7^{19} equiv 57 imes 26 pmod{125}$

我们算一下 $57 imes 26$：
$57 imes 26 = 57 imes (20 + 6) = 1140 + 342 = 1482$

现在算 $1482 pmod{125}$：
$1482 div 125$
$125 imes 10 = 1250$
$1482 1250 = 232$
$232 = 1 imes 125 + 107$
所以，$1482 equiv 107 pmod{125}$。

因此，$7^{19} equiv 107 pmod{125}$。
$107 equiv 107 + 125 = 18 pmod{125}$。
所以，$7^{1919} equiv 18 pmod{125}$。

3. 结合两个结果

我们现在有两个关系式：
1. $7^{1919} equiv 7 pmod 8$
2. $7^{1919} equiv 18 pmod{125}$

设 $x = 7^{1919}$。
那么我们有：
$x = 8k + 7$ (对于某个整数 $k$)
$x = 125m + 18$ (对于某个整数 $m$)

将第一个式子代入第二个：
$8k + 7 equiv 18 pmod{125}$
$8k equiv 18 7 pmod{125}$
$8k equiv 11 pmod{125}$

现在我们需要找到 8 的模 125 的逆元。也就是说，找到一个数 $y$ 使得 $8y equiv 1 pmod{125}$。
我们可以尝试一下，或者用扩展欧几里得算法。
我们知道 $125 = 8 imes 15 + 5$
$8 = 5 imes 1 + 3$
$5 = 3 imes 1 + 2$
$3 = 2 imes 1 + 1$

从最后一个式子往前代：
$1 = 3 2 imes 1$
$1 = 3 (5 3 imes 1) imes 1 = 3 5 + 3 = 2 imes 3 5$
$1 = 2 imes (8 5 imes 1) 5 = 2 imes 8 2 imes 5 5 = 2 imes 8 3 imes 5$
$1 = 2 imes 8 3 imes (125 8 imes 15) = 2 imes 8 3 imes 125 + 45 imes 8$
$1 = (2 + 45) imes 8 3 imes 125 = 47 imes 8 3 imes 125$

所以，$47 imes 8 equiv 1 pmod{125}$。
8 的模 125 的逆元是 47。

现在回到 $8k equiv 11 pmod{125}$：
将两边同时乘以 47：
$47 imes 8k equiv 47 imes 11 pmod{125}$
$1k equiv 47 imes 11 pmod{125}$

计算 $47 imes 11$:
$47 imes 11 = 47 imes (10 + 1) = 470 + 47 = 517$

现在算 $517 pmod{125}$：
$125 imes 4 = 500$
$517 500 = 17$
所以，$k equiv 17 pmod{125}$。

这意味着 $k$ 可以写成 $k = 125j + 17$ (对于某个整数 $j$)。
我们回到 $x = 8k + 7$：
$x = 8(125j + 17) + 7$
$x = 8 imes 125j + 8 imes 17 + 7$
$x = 1000j + 136 + 7$
$x = 1000j + 143$

所以，$x equiv 143 pmod{1000}$。

最终答案

$7^{1919}$ 的末三位数字是 143。

整个计算过程虽然步骤不少，但都是基于模运算的性质，尤其是有欧拉定理和中国剩余定理的帮助，使得我们可以分解问题并一步步解决。找到 $7^{10} equiv 1 pmod{125}$ 这个中间结果，大大简化了后续的计算。

7的4次方是2401，因此7的20次方后三位是001

因此7的1920次方后三位是001

然后找个后三位是001而且能被7整除的数，刚好1001就可以，1001/7=143

笔算得到
7**1919==55352697140452077716947135879895215217995948429452614825112117545356807673141557339046218803897391810165314101792798048450673706411207763743232617793849096531517238008077098950982734904366603716144639234973411515587022062843763919903613187294525797303143730995628816179924952190481627019448438525209968032834857887878888921082156447573473047790377891494344049271129678248531325015861694304814551729553892471367565107621346752837256790640034284852100323032101638875510352820308104563136728928720537484795014092372913481032504837245803371678916278240996890066802055708526597996786532466089477249219735025549657987271288699515367462355642698036470459131124916253112773072189491911903503792170648442837295077064542928911262991462785036454223696416430601021908716446780543551941093390030512846795628637083662262238177301833525679375533834407978091827363421929011554515303848775565215264186900819729438498509142468751705170245287614115087527341471031701244547426982665209574662018173605984259451540250339974556424540295768853276360050693982054519720361585930188427789585033861454399561886285630063689510905058692734506647750323933161721661446875531588809448108401466532761522392171414083464666932685929539296090391271981858345491709472549129934911207526228162390152920379981832978120535834089893117667435169516320657435924158399973459728426631037514750600251809617455461322324901922110827812735409869507187800672919817613260658321814021560571015884264566675725090970912424109783059502680395245566855215145747410329094576137534130741531078848474774849120063534533063345190333762701989193109775463391352949416809698829400744393143

故7**1919的后三位为143

小学奥数？

哈哈哈看到那些答案我笑了

我劝那些高智商的的人才们哪，你们的方法我很欣赏，毕竟有些我看了都是醍醐灌顶

蛋是，这道题哪里用的到计算器、编程？哪里用高数的算法？

小学奥数，纸和笔直接搞定。

开算 ♬(ノ゜∇゜)ノ♩

7的1次方：007

7的2次方：049

7的3次方：7*49=343

7的4次方：7*343=2401

7的5次方：2401*7=16 807

6：117 649

7：823 543

8：5 764 801

发现规律了吗？

写到第八个数，你会惊奇的发现，随着乘方次数的增加，每个数字最后一位呈7 9 3 1四个一循环；倒数第二位呈0 4 4 0四个一循环。

这样我们就能推出7的1919次方的最后两位啦～

因为1919=4*479+3

479代表上述四个数字循环479次，3代表这四个数字中的第三个。所以依次分别是3和4。

故这个天文数字的最后两位分别是4和3。

但是倒数第三位貌似还没有规律。没事，凭着小学二年级竖式运算的功底，我们继续写下去。

但是毕竟数字位数太多，算起来有些麻烦。

我们有一个捷径：由于前面的数字是啥对后三位没有影响，我们为了省时间和精力，只需算后三位即可。这样做相当于是在做三位数的乘法，大大的减少了我们的计算量。

9：607

10：249

11：743

12：201

13：407

14：849

15：943

16：601

17：207

18：449

19：143

天啊，算到这本人快要崩溃了。

都算了19位了，还没有任何重复的迹象。。

然鹅，就在我临近放弃，乖乖滴试图用高数的方法重头来算之时，我想起了伟大的陆游诗人的名句

“山重水复疑无路，柳暗花明又一村”

是的！我不能放弃！前面我已解释过，如果后两位都有规律的话，一直乘以7，倒数第三位总会有规律的。

那为啥后两位规律如此明显，而倒数第三位却百算不得其律呢？

这是由于49和43乘以7会进位，导致倒数第3位应有的四个一循环被打乱，因此循环周期是会长一些（也许是长很多很多很多hhh）的。

我于是重新往回看，试图发掘前面的隐藏的规律。

我定睛一看，突然发觉了一个 惊 天 大 ㊙️！

7的第19次方，数字的倒数第3位居然是1

1有什么特殊呢？

在1到9这些数字中，唯独1×7是不会进位的。也就是说，对于143×7，由于43×7是之前出现过的，且1×7不会对43×7的第三位产生影响，故这个结果一定是之前出现过的。

我找到了循环周期！！！

20：001

21：007

不出所料哈哈哈，第21次方后3位与第1次方的后3位完全一样，都是007。

得到结论：倒数第3位的循环周期是20。

那么再往后乘，得到的结果也会分别对应前面的结果。计算环节到此结束

由于1919=20*95+19

故第1919次方的倒数第3位，对应的就是第19次方的倒数第三位，也就是1。

综上所述，7的1919次方的后三位分别是143

怎么样？有没有被我的逆天算法震撼到？

哈哈哈大佬们我只是个高中菜鸟请多指教～～～

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强调一下哈～

这个方法完全是小学生思路，出发点是将高次幂的乘方简化成一次次的简单乘法并求解。

有人私信我说就这？弱智，不直接数论走起？

我……

倒不是说“杀鸡焉用牛刀”。这个方法就是简单而已，小学生都能看懂，单从计算量和思维高度上讲，确实不如欧拉定理来的实诚，可我想问：

哪有那么多人学过高数？哪有那么多人能静下心来从数论的角度一步步演算？

我只是想降低这道题入手的门槛，让更多人感受到数学的魅力所在，而不是见到满篇的推导和公式然后……

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有人说能一直能推算下去求出7的1919次方到底是多少。

很可惜，不行。

这也许就是奥数吧

它的方法能巧到让你五体投地，但其适用范围，也狭窄到让你自闭。

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终于破2000赞了 我等的好苦啊

这就叫曲高和寡吗hhhh

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努力回答了这么多字没人点赞，别人随口一句话就火了，求您赶紧点个赞吧。

所以 末尾三位数字为