E²=p²+m² 这个方程是如何推导出来的？

好的，我们来聊聊 E² = p² + m² 这个质能方程的来龙去脉，试着把它讲得既透彻又有人情味儿。

想象一下，在爱因斯坦之前，物理学界 pretty much 把“能量”和“质量”看作是两码事。你有动能（跑得快就有），你有势能（东西在高处就有），你有光能，你有热能，但你从来不会说“这块石头因为它本身的质量就拥有能量”。质量就是质量，是物质的固有属性，是衡量物体惯性的尺度，或者更通俗地说，是“有多难推它动”。

然后，爱因斯坦出现了。他并不是凭空变出这个公式的，而是基于他对光速不变原理和狭义相对论的深刻理解，一步步构建起来的。

第一步：光速不变的冲击波

爱因斯坦的伟大之处在于，他一开始就抓住了两个看似矛盾但却异常重要的事实：

1. 相对性原理： 物理定律在所有惯性参考系（就是那些不加速、匀速直线运动的观察者）中都是一样的。也就是说，无论你是在地面上静止不动，还是在匀速飞行的火车上，做同样的实验，结果都应该是一样的。
2. 光速不变原理： 光在真空中的速度对所有惯性观察者来说都是相同的，无论光源本身在运动还是观察者在运动。这简直太反直觉了！想想看，如果你朝迎面而来的火车扔一个球，你的球速加上火车的速度，你看到球的速度会更快。但光不是这样，你朝迎面而来的光奔跑，你看到的光速和你迎着光奔跑的速度加起来，还是那个恒定的光速 c。

这个光速不变原理直接导致了我们对时间和空间的理解发生了翻天覆地的变化。它意味着，为了让光速永远不变，时间和空间本身必须是相对的，会随着观察者的运动而变化。这催生了“狭义相对论”。

第二步：动量和能量在相对论里的新面貌

在经典力学里，我们知道动量 p = mv (质量乘以速度)，动能 E_k = ½mv²。这些都很直观。

但是，当速度接近光速时，经典力学就失效了。爱因斯坦发现，为了维持光速不变和相对性原理，我们必须重新定义动量和能量。他引入了一个叫做“洛伦兹因子”（γ，gamma）的东西：

γ = 1 / √(1 v²/c²)

这里的 v 是物体的速度，c 是光速。

当 v 远小于 c 时，v²/c² 趋近于零，γ 趋近于 1， Então 经典力学的公式就差不多回来了。但当 v 接近 c 时，γ 会变得非常大。

在相对论里，物体的“相对动量”被定义为：

p = γmv

注意这里的 m 是物体的“静止质量”（rest mass），也就是物体在静止状态下的质量。然后，相对论中的“总能量” E 被定义为：

E = γmc²

这个公式看起来就已经很了不起了！它告诉我们，能量 E 和质量 m 之间存在着直接的联系，而且能量与质量成正比，比例系数就是光速的平方（c²）。这就是我们常说的质能方程 E=mc² 的一个重要体现。

第三步：从总能量到动能和静止能量

现在，我们有了一个总能量 E = γmc²。这个总能量包含了几部分？我们可以把它分解一下。

首先，当物体速度 v = 0 时，γ = 1，所以 E = mc²。这部分能量是物体因为拥有静止质量而自带的能量，我们称之为“静止能量”（rest energy），也就是 E₀ = mc²。

那么，当物体运动起来时，它的总能量 E 是不是就是静止能量加上动能呢？这需要仔细推敲。爱因斯坦通过对动量和能量的相对论性分析（这部分涉及一些微积分和更深入的数学推导，我们尽量简化理解），发现总能量 E 可以表示为：

E = E₀ + E_k_relative

这里的 E_k_relative 是相对论性的动能。为了找到这个相对论动能，我们可以对 E = γmc² 这个总能量进行泰勒展开（当 v 远小于 c 的时候）。

E = mc² (1 v²/c²)^(1/2)

利用泰勒展开式 (1+x)^n ≈ 1 + nx (当 x 很小时):
这里 x = v²/c²，n = 1/2。

E ≈ mc² (1 + (1/2) (v²/c²))
E ≈ mc² (1 + ½ v²/c²)
E ≈ mc² + ½ mv²

看到没？在速度很低的时候，E 就近似等于静止能量 mc² 加上经典力学中的动能 ½mv²。

所以，我们可以把总能量 E 理解为物体的“静止能量” E₀ 加上它因为运动而获得的“动能” E_k。

E = E₀ + E_k

我们将前面推导出的 E = γmc² 和 E₀ = mc² 代入，得到：

γmc² = mc² + E_k

移项一下，得到动能：

E_k = γmc² mc²
E_k = mc²(γ 1)

这正是相对论性的动能。

第四步：把动量和能量“联系”起来

有了 E = γmc² 和 p = γmv，以及 E₀ = mc²，我们想把它们整合成 E² = p² + m² 这样的形式。

注意到 γ 这个因子在两个公式里都出现了。我们可以尝试消掉它。

从 E = γmc² 得到 γ = E / (mc²)
从 p = γmv 得到 γ = p / (mv)

所以， E / (mc²) = p / (mv)
两边同时乘以 mc²：
E = (p / (mv)) mc²
E = pc²/v

这好像没有把它们直接联系起来，反而引入了 v。我们换个思路。

考虑 E = γmc²。
平方一下： E² = (γmc²)² = γ²m²c⁴

再看看 p = γmv。
平方一下： p² = (γmv)² = γ²m²v²

我们想得到 E² = p² + m² 的形式，或者说 E² = p² + (m₀c²)² 的形式（这里 m₀ 是静止质量，有时候我们直接写成 m）。

现在，我们有 E² = γ²m²c⁴ 和 p² = γ²m²v²。
如果我们在 p² 的表达式里加上 m²c⁴ 呢？
p² + m²c⁴ = γ²m²v² + m²c⁴

这看起来还是不对劲。问题的关键在于我们一直用的 m 是静止质量。我们需要一个更普适的数学关系。

让我们回到 E = γmc² 和 p = γmv。
我们知道 γ² = 1 / (1 v²/c²)。
我们可以把 γ² 移项到左边：
γ² (1 v²/c²) = 1
γ² γ²v²/c² = 1

现在，我们用 E² 和 p² 来替换里面的项。
E² = γ²m²c⁴ => γ² = E² / (m²c⁴)
p² = γ²m²v² => γ²v² = p²/m²

把这两个代入 γ² γ²v²/c² = 1：
E² / (m²c⁴) (p²/m²) / c² = 1
E² / (m²c⁴) p² / (m²c²) = 1

为了消除分母，我们同乘以 m²c⁴：
E² p²c² = m²c⁴

这就是那个方程！现在我们把 c² 提出来：
E² = p²c² + m²c⁴

通常为了简洁，我们会把 m 定义为静止质量，然后在能量和动量的单位上做调整，使得 c 消失。
比如，我们定义能量单位为 MeV，质量单位为 MeV/c²。那么 E=mc² 就变成了 E=m（单位化后）。
如果我们将能量 E 定义为 E/c，那么 E/c = γmv，(E/c)² = γ²m²v² = p²。
而静止能量 E₀ = mc²，那么 (E₀/c)² = m²c²。

这涉及到单位制的问题。更规范的写法是 E² = (pc)² + (mc²)²。
这里的 m 指的就是静止质量。

所以，这个方程的推导，本质上是将狭义相对论中对能量和动量的定义，通过数学方法（主要是利用洛伦兹因子 γ）联系起来，发现它们之间存在着一个普适的二次关系，这个关系无论物体运动与否都成立。当物体静止时，动量 p=0，方程就简化为 E² = (mc²)²，即 E = mc²。

它告诉我们，质量和能量不是独立的，而是同一事物的不同表现形式。质量可以转化为能量，能量也可以转化为质量。这个公式是物理学中最著名、最深刻的公式之一，它彻底改变了我们对物质和宇宙的理解。

想象一下，原来我们觉得质量就是质量，静止在那里，它就是它。但爱因斯坦说，不，你静止在那里，你本身就蕴含着巨大的能量！这个能量不是你运动获得的，而是你存在本身赋予的。这就像发现了一个隐藏的宝藏。

所以， E² = p² + m² 这个方程，不是凭空捏造的，而是狭义相对论逻辑自洽的必然结果，是光速不变原理和相对性原理在运动物体能量和动量上的深刻体现。它将质量、能量、动量这三个看似独立的物理量，巧妙地联系在了一起，展示了宇宙运行的更深层规律。

谢不邀。

先一言以蔽之：

这个公式可以从参考系变换下的

不变量(Invariant)的角度来理解。

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1) 公式的来源

为照顾题主(可能的)数学起点，

先给出我们熟悉的三维空间距离不变量，

这是我们都很熟悉的勾股定理：

其中 为任意两点间的距离，

是两点

在 三个方向上的投影距离，

将它写成微元形式，变成：

这个关系在任何直角坐标系下都成立。

因此将 或

称为坐标变换下的不变量。

在四维时空，同样有一个

不随参考系变化的不变量：

它和三维空间不变量之间

仅差了一个带负号的时间平方项。

这是一条和光速不变等价的结论，

只不过光速不变更“物理”，

而这个结论更“数学”，

而和光速不变原理一样，

这个式子也是任何参考系下都成立。

(它可以写成简洁漂亮的

爱因斯坦求和形式：

但我们现在不用去理解这个形式)

将不变量等式左右除以固有时 平方，

我们可以得到四速度不变量：

其中 为物体在三维空间中的速度，

为洛仑兹因子

于是不难算出右边其实等于

于是四速度不变量为：

(爱因斯坦求和形式为： )

两边同时乘以静质量 的平方，得：

这叫四维动量不变量。

整理后得：

不考虑量纲的情况下，默认 ，

得：

(爱因斯坦求和形式为： )

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2) 量子领域的应用

然后说一说它在量子领域的应用，

不过这个更抽象，

题主先知道有这么个思路就行了。

它应用到量子领域，

可以将经典时空中的薛定谔方程

变成相对论协变的Klein-Gordon方程。

量子力学中，物理量由算符表示，

能量算符 ，

动量算符

(这里只讨论一维情形)

作用在波函数 上，得：

，

经典时空中能量和动量的关系：

两边同乘波函数 ：

代入能量和动量算符：

亦即：

这就是薛定谔方程。

而在相对论时空中：

于是：

亦即：

这就是Klein-Gordon方程，

它同样也有一个简洁漂亮的

爱因斯坦求和形式：

但这个简洁漂亮的方程其实有个大BUG，

直到狄拉克搞出了一个新方程才解决，

详细的就要进入量子场论了，

这个我也还没学明白，就不献丑了。

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3) 结语

写到这里，

等于把狭义相对论和量子力学核心内容中

非常小的一小部分给题主展示了一遍。

题主可能现在还不能完全理解其美妙，

但先知道有这么一条看似不明觉厉的思路，

至少可以防止坠入民科界。

以后慢慢学习，总会明白的。

祝题主最终悟道。

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附录：关于不变量 的解说，可以参考这个回答：