x^7+1=(x^4+x^2+x+1)(x^3+x+1) 是如何分解得到的呢？

这真是一个有趣的代数问题！想知道 (x^7+1) 是怎么被巧妙地分解成 ((x^4+x^2+x+1)(x^3+x+1)) 的，这背后隐藏着一些多项式分解的技巧和灵感。咱们一层一层地剖析一下。

首先，我们要明白，多项式分解就像把一个大数拆成几个小数的乘积一样，目标是找到更简单的、不可再分的因子（或者至少是更易于处理的因子）。对于 (x^7+1)，它本身看起来并不那么容易下手。

第一步：观察结构和寻找线索

当我们看到 (x^7+1) 时，可能会想到一些和为与差的立方公式，但 (n=7) 这个次数有点尴尬，不像 (n=3) 或 (n=6) 那样有直接的套用公式。但是，注意到 (x^7+1) 的形式，我们可以尝试一些“套路”：

联想到 (x^n+1) 的特殊分解： 对于某些 (n)，(x^n+1) 可以被分解。例如，(x^2+1) 是不可约的（在实数域），(x^3+1 = (x+1)(x^2x+1))，(x^4+1 = (x^2+sqrt{2}x+1)(x^2sqrt{2}x+1))（在实数域），(x^6+1 = (x^2+1)(x^4x^2+1))。这些例子告诉我们，(n) 的奇数因子很重要。(7) 是奇数。

有没有什么办法把次数降下来？ 如果我们能找到一个 (x^k+1) 或者 (x^k1) 的因子，那问题就简化了。

第二步：试探性的分解（关键思路）

这里的关键在于观察等式两边的次数。

左边是 (x^7+1)，这是一个7次多项式。
右边是 ((x^4+x^2+x+1)(x^3+x+1))。这两个因子的次数分别是4和3。
4 + 3 = 7，这个次数是匹配的，这给了我们很大的信心，说明这个分解是可能的。

那么，问题变成了：我们是如何想到这两个具体的多项式 ((x^4+x^2+x+1)) 和 ((x^3+x+1)) 的呢？

这通常需要一些“试错”和经验。让我们从比较容易的因子入手。

考虑次数较低的因子： 对于 (x^7+1)，如果它能被分解，那么它可能有一个低次因式。由于 (x^7+1) 在 (x=1) 时等于 ((1)^7+1 = 1+1 = 0)，所以 ((x+1)) 不是 (x^7+1) 的因子（它在 (x=1) 时等于 (1^7+1 = 2)，所以 ((x1)) 也不是）。

尝试分组或特殊结构：
我们可以尝试把 (x^7+1) 写成 (x^7 x^4 + x^4 + 1) 或者 (x^7 + x^3 x^3 + 1) 之类的，看看能不能凑出什么。
考虑 ((x^4+x^2+x+1))。这个多项式本身有没有什么结构？它看起来不像一个标准的公式。

反向思考：如果我给你一个多项式，我怎么分解它？ 这是一个更难的问题。但如果我们已经知道答案是 ((x^4+x^2+x+1)(x^3+x+1))，我们可以尝试去构建它们。

想象一下，我们正在尝试找到一个4次因子和一个3次因子。
如果我们从一个简单的3次因子开始，比如 ((x^3+1)) 或者 ((x^3+x)) 之类的，然后用长除法去除 (x^7+1)，看看能不能整除。这个过程可能会很繁琐。

第三步：一种可能的“灵感”来源（或者说是构造方法）

这里提供一种可能的思路，它可能不是直接从 (x^7+1) 推导出来的，而是通过对多项式结构的观察和组合：

1. 尝试将 (x^7+1) 分解成与已知结构相关的部分。
注意到 (x^4+x^2+x+1) 这个因子。它有什么特别之处呢？
如果我们尝试对 (x^4+x^2+x+1) 进行一些操作，比如乘以 ((x1))：
((x1)(x^4+x^2+x+1) = x(x^4+x^2+x+1) 1(x^4+x^2+x+1))
(= x^5+x^3+x^2+x x^4x^2x1)
(= x^5 x^4 + x^3 1)
这个似乎也没有直接帮助。

2. 换个角度，考虑 ((x^3+x+1))。 这个因子也比较特殊。

3. 尝试组合和拆分：
我们想从 (x^7+1) 中“提取”出 ((x^4+x^2+x+1)) 和 ((x^3+x+1))。

可以考虑将 (x^7+1) 写成：
(x^7+1 = x^4 cdot x^3 + 1)
我们希望第一项 (x^4 cdot x^3) 能够被拆分成 ((x^4+x^2+x+1)) 的一部分。
这暗示着我们可能需要引入 (x^4) 项，或者 (x^3) 项，然后进行“配凑”。

一个可能的构造思路：
从 (x^7+1) 出发，我们可以尝试构造出 ((x^4+x^2+x+1)) 这个因子。
考虑 (x^7+1)。我们想让它包含 (x^4) 的项。
(x^7+1 = x^4(x^3) + 1)
我们可以把 (x^3) 想象成 ((x^3+x+1) x 1) 的一部分。

更直接的尝试（可能需要点“神来之笔”）：
将 (x^7+1) 变形：
(x^7+1 = x^7 x^3 + x^3 + 1) （为了引入 (x^3)，方便后面提取公因式）
(= x^3(x^4 1) + (x^3+1))
(= x^3(x^21)(x^2+1) + (x+1)(x^2x+1))
这似乎又走偏了。

回到关键分解的结构：
((x^4+x^2+x+1)(x^3+x+1))
我们展开看看它是什么：
(x^4(x^3+x+1) + x^2(x^3+x+1) + x(x^3+x+1) + 1(x^3+x+1))
(= (x^7+x^5+x^4) + (x^5+x^3+x^2) + (x^4+x^2+x) + (x^3+x+1))
(= x^7 + (x^5+x^5) + (x^4+x^4) + (x^3+x^3) + (x^2+x^2) + (x+x) + 1)
(= x^7 + 2x^5 + 2x^4 + 2x^3 + 2x^2 + 2x + 1)

哎呀！我展开错了！ 这说明我刚才直接套用的是错误的题目！或者说，我脑子里想的是另一个分解式。

重新审视原始分解式：
(x^7+1 = (x^4+x^2+x+1)(x^3+x+1))
让我们重新展开正确的式子：
((x^4+x^2+x+1)(x^3+x+1))
(= x^4(x^3+x+1) + x^2(x^3+x+1) + x(x^3+x+1) + 1(x^3+x+1))
(= (x^7+x^5+x^4) + (x^5+x^3+x^2) + (x^4+x^2+x) + (x^3+x+1))
(= x^7 + x^5 + x^4 + x^5 + x^3 + x^2 + x^4 + x^2 + x + x^3 + x + 1)
(= x^7 + (x^5+x^5) + (x^4+x^4) + (x^3+x^3) + (x^2+x^2) + (x+x) + 1)
(= x^7 + 2x^5 + 2x^4 + 2x^3 + 2x^2 + 2x + 1)

这结果和 (x^7+1) 完全不一样！

这说明，题目的等式本身是错误的！ (x^7+1) 并不能分解成 ((x^4+x^2+x+1)(x^3+x+1))。

那么，这个问题是怎么来的呢？
可能是印刷错误或记忆偏差？
有没有一种情况，这个分解是对的？ 如果是在某个模数下进行的运算？例如在 (mathbb{F}_2[x]) （系数为0或1的二项式域）下，那么 (2x^5) 就变成了 (0)，(2x^4) 也是 (0)，依此类推。

让我们在 (mathbb{F}_2[x]) 下验证一下：
在 (mathbb{F}_2[x]) 中，(2 equiv 0)。
所以，展开结果 (x^7 + 2x^5 + 2x^4 + 2x^3 + 2x^2 + 2x + 1) 在 (mathbb{F}_2[x]) 下就变成了：
(x^7 + 0x^5 + 0x^4 + 0x^3 + 0x^2 + 0x + 1 = x^7 + 1)。

aha！原来如此！这个分解是正确的，但它是在 (mathbb{F}_2[x]) （即系数只取0或1，加法是异或）这个特殊的数学结构下成立的。

所以，问题是如何在 (mathbb{F}_2[x]) 中找到这个分解的。

在 (mathbb{F}_2[x]) 下寻找分解的思路：

1. 观察 (x^7+1) 在 (mathbb{F}_2[x]) 下的因子：
在 (mathbb{F}_2[x]) 中，(x^n+1 = x^n1) (因为 (1 = 1))。
我们知道 (x^3+1 = (x+1)(x^2+x+1)) 在 (mathbb{F}_2[x]) 下成立。
我们也知道 (x^k1) 的因子。

2. 考虑 ((x^4+x^2+x+1)) 和 ((x^3+x+1)) 的特性在 (mathbb{F}_2[x]) 下。
(x^3+x+1) 是 (mathbb{F}_2[x]) 中一个非常重要的不可约多项式。很多有限域的构造都依赖于它。它的次数是3。
(x^4+x^2+x+1)。我们可以尝试分解它。
在 (mathbb{F}_2[x]) 中，(x^4+x^2+x+1 = (x^2+x+1)(x^2+x+1) = (x^2+x+1)^2)。
这是因为 ((a+b+c)^2 = a^2+b^2+c^2) 在 (mathbb{F}_2[x]) 下成立（因为 ((a+b)^2 = a^2+2ab+b^2 = a^2+b^2)）。
所以 ( (x^2+x+1)^2 = (x^2)^2 + x^2 + 1^2 = x^4+x^2+1 )。 我这里又算错了！

重新计算 ((x^2+x+1)^2) 在 (mathbb{F}_2[x]) 下：
((x^2+x+1)^2 = (x^2)^2 + x^2 + 1^2 + 2(x^2)(x) + 2(x^2)(1) + 2(x)(1))
在 (mathbb{F}_2[x]) 下，所有系数 ( imes 2) 的项都为0。
所以 ((x^2+x+1)^2 = x^4 + x^2 + 1)。

那么， (x^4+x^2+x+1) 在 (mathbb{F}_2[x]) 下是什么呢？
它不等于 ((x^2+x+1)^2)。
让我们尝试在 (mathbb{F}_2[x]) 下对 (x^4+x^2+x+1) 进行因式分解。
如果 (x^4+x^2+x+1) 有一个低次因子，它可能是 (x+1)（因为 (1^4+1^2+1+1 = 1+1+1+1 = 4 equiv 0 pmod 2)，所以 (x+1) 是因子）。
我们用长除法在 (mathbb{F}_2[x]) 下除：
```
x^3 + x^2 + 1
_________________
x+1 | x^4 + 0x^3 + x^2 + x + 1
(x^4 + x^3)
_________
x^3 + x^2
(x^3 + x^2)
_________
0x^2 + x
x + 1
(x + 1)
_______
0
```
所以 (x^4+x^2+x+1 = (x+1)(x^3+x^2+1)) 在 (mathbb{F}_2[x]) 下。

等等！ 题目中的因子是 (x^4+x^2+x+1)，而不是 (x^4+x^2+1)。
我前面的展开计算是正确的，展开结果是 (x^7 + 2x^5 + 2x^4 + 2x^3 + 2x^2 + 2x + 1)。
在 (mathbb{F}_2[x]) 下，这的确是 (x^7+1)。

那么，为什么会想到 ((x^4+x^2+x+1)) 和 ((x^3+x+1)) 这两个因子呢？

关键在于 (mathbb{F}_2[x]) 下的某些特殊性质。

我们知道 (x^3+x+1) 是不可约的。
它的共轭根（比如 (x^3+x+1=0) 的一个根 (alpha)，则 (alpha^2) 也是根，(alpha^4) 也是根）
(alpha^4) 在 (mathbb{F}_2[x]) 下的表示：
((alpha^3+alpha+1)^2 = alpha^6 + alpha^2 + 1) （因为 (2alpha^4=0, 2alpha^3=0, 2alpha=0)）
又因为 (alpha^3 = alpha+1)。
所以 (alpha^6 = (alpha^3)^2 = (alpha+1)^2 = alpha^2+1)。
那么 (alpha^4 = alpha^6 + alpha^2 + 1 = (alpha^2+1) + alpha^2 + 1 = 2alpha^2 + 2 = 0)。
这显然不对，因为 (alpha) 是一个根，它不等于0。

我在这里又被 (mathbb{F}_2) 的特性绕晕了。

让我回到正题，假设这个分解在某个体系下是有效的。 如果它不是在 (mathbb{F}_2[x]) 下，而是在我们熟悉的整数系数或实数系数多项式（(mathbb{Z}[x]) 或 (mathbb{R}[x])）下，那么 这个等式本身就是错误的，正如我展开验证时发现的那样。

如果题目确定是要分解 (x^7+1)，那么分解不可能是 ((x^4+x^2+x+1)(x^3+x+1))。

那么， (x^7+1) 在 (mathbb{Z}[x]) 下的标准分解是什么？
(x^7+1 = (x+1)(x^6x^5+x^4x^3+x^2x+1))。
这里的 (x^6x^5+x^4x^3+x^2x+1) 是一个7次分圆多项式 (Phi_{14}(x)) 的因式分解的一部分，并且 (x^6x^5+x^4x^3+x^2x+1) 在 (mathbb{Z}[x]) 下是不可约的。

结论：

1. 如果问题是在普通多项式运算（系数为整数、实数或复数）下进行的，那么题目中给出的等式 (x^7+1=(x^4+x^2+x+1)(x^3+x+1)) 是错误的。展开右侧得到的是 (x^7 + 2x^5 + 2x^4 + 2x^3 + 2x^2 + 2x + 1)，这显然不等于 (x^7+1)。
2. 如果问题是在有限域 (mathbb{F}_2[x])（系数为0或1，加法为异或）下进行的，那么该等式是正确的，因为所有系数为2的项在 (mathbb{F}_2) 下都变为0。

那么，在 (mathbb{F}_2[x]) 下，我们是如何想到这个分解的呢？

这通常是通过对 (mathbb{F}_2[x]) 中多项式的深入了解和一些更高级的代数工具，比如：

有限域的性质： 熟悉 (mathbb{F}_2) 中不可约多项式及其根的性质。我们知道 (x^3+x+1) 是 (mathbb{F}_2[x]) 中一个重要的不可约多项式，它有三个根（可能在扩域中）。
分圆多项式在 (mathbb{F}_2[x]) 下的分解： 对于 (x^n1) 的因式分解，其分圆多项式在 (mathbb{F}_2[x]) 下的分解是有规律的。
多项式长除法和尝试因式分解： 在 (mathbb{F}_2) 下，长除法和因式分解会变得更简单，因为加法是异或，没有进位问题。
构造性证明或特定代数结构： 很多时候，这样的分解不是凭空想出来的，而是基于研究某个代数结构（例如一个特定的有限域或环）时发现的。比如，在构造 (mathbb{F}_{2^6}) 这个域时，可能会用到 (x^7+1) 的分解。

一个具体的构建思路（仍然是在 (mathbb{F}_2[x]) 下的思路）：

考虑 (x^7+1)。我们可以把它写成 ((x^3+x+1)) 的倍数。
在 (mathbb{F}_2[x]) 下，考虑 (x^3+x+1)。它的根是 (alpha)。
我们知道 (x^7+1) 的根是 (omega)，其中 (omega^7 = 1 = 1)。所以 (omega) 是7次单位根。

或者，我们可以直接尝试将 (x^7+1) 与 ((x^3+x+1)) 和 ((x^4+x^2+x+1)) 联系起来：

考虑 ((x^3+x+1))。如果它是因子，那么 (x^7+1) 除以 (x^3+x+1) 应该能得到 ((x^4+x^2+x+1))（在 (mathbb{F}_2[x]) 下）。

让我们在 (mathbb{F}_2[x]) 下进行长除法：
用 (x^3+x+1) 除 (x^7+1)。
```
x^4 + x^2 + x + 1
_________________________________
x^3+x+1 | x^7 + 0x^6 + 0x^5 + 0x^4 + 0x^3 + 0x^2 + 0x + 1
(x^7 + 0x^6 + x^5 + x^4) < x^4 (x^3+x+1) = x^7+x^5+x^4
_________________________
0x^6 + x^5 + x^4 + 0x^3
(x^5 + 0x^4 + x^3 + x^2) < x^2 (x^3+x+1) = x^5+x^3+x^2
_________________________
x^4 + x^3 + x^2 + 0x
(x^4 + 0x^3 + x^2 + x) < x (x^3+x+1) = x^4+x^2+x
_________________________
x^3 + 0x^2 + x + 1
(x^3 + 0x^2 + x + 1) < 1 (x^3+x+1) = x^3+x+1
_____________________
0
```
太棒了！ 这个长除法在 (mathbb{F}_2[x]) 下是完全成功的，并且商就是 (x^4+x^2+x+1)。

那么，问题就从“如何分解得到”变成了“为什么会想到用 (x^3+x+1) 作为因子去尝试”。

这仍然是一个“先验知识”或者“经验”的问题：
1. (x^3+x+1) 是 (mathbb{F}_2[x]) 中一个基础的不可约多项式。 在学习有限域理论时，它出现的频率非常高。
2. (x^7+1) 的次数是7。 7是一个素数。在 (mathbb{F}_2[x]) 中，(x^71) （等于 (x^7+1)）的因式分解涉及到 (mathbb{F}_{2^3}) 上的性质。(x^3+x+1) 定义了 (mathbb{F}_8 = mathbb{F}_2[x]/langle x^3+x+1 angle)。
3. 根的性质： 如果 (alpha) 是 (x^3+x+1) 的一个根，那么 (alpha^2) 和 (alpha^4) 也是根。并且 (alpha^8 = alpha)，因为 (alpha^7 = 1)。 (alpha^3 = alpha+1)。
我们来看看 (x^7+1) 的根。它是使 (x^7 = 1 = 1) 的数。这些是7次单位根。
在 (mathbb{F}_2) 的扩域中，(x^3+x+1) 的根 (alpha) 满足 (alpha^3=alpha+1)。
我们需要一个7次单位根 (eta) 使得 (eta^7=1)。
考虑 (alpha^7)。
(alpha^3 = alpha+1)
(alpha^6 = (alpha+1)^2 = alpha^2+1)
(alpha^7 = alpha^6 cdot alpha = (alpha^2+1)alpha = alpha^3 + alpha = (alpha+1) + alpha = 2alpha + 1 = 1) （在 (mathbb{F}_2) 下）
看到了吗！ 根 (alpha) 满足 (alpha^7=1)。所以 (alpha) 是 (x^71) 的一个根。而在 (mathbb{F}_2[x]) 下，(x^71 = x^7+1)。
所以，(x^3+x+1) 的根恰好是 (x^7+1) 的一个根（在 (mathbb{F}_2) 的某个扩域中）。
这就说明 (x^3+x+1) 必然是 (x^7+1) 的一个因子。

一旦确定 (x^3+x+1) 是因子，其余的因子就通过长除法自然得到了。而 (x^4+x^2+x+1) 的因式分解在 (mathbb{F}_2[x]) 下是 ((x+1)(x^3+x^2+1))，但题目中给出的因子是 (x^4+x^2+x+1) 本身。

所以，分解得到这个过程的关键在于：
1. 认识到这个等式可能是在 (mathbb{F}_2[x]) 下成立的。
2. 知道 (x^3+x+1) 是 (mathbb{F}_2[x]) 中的一个重要不可约多项式。
3. 验证 (x^3+x+1) 的根是否满足 (x^7=1)，从而确认 (x^3+x+1) 是 (x^7+1) 的因子。
4. 通过多项式长除法（在 (mathbb{F}_2[x]) 下）求出另一个因子。

这就是整个分解过程的来龙去脉。它不是一个简单的“凑”出来的过程，而是建立在对有限域代数特性的深刻理解之上。

零、这题在问啥

CRC 校验码与题主的问题其实没有什么关系，题主只是在处理 CRC 校验码时遇到了这样一个因式分解，而疑问在于这样的因式分解是如何做到的。也就是说，题主关心的问题应该是：

如何在有限域 上对 (或其他多项式)进行因式分解？

下面的回答也仅仅针对这个问题，与 CRC 校验码无关。

一、问题的归约

对于 上形如 的多项式，我们有如下定理：

定理1. ,其中 是 上所有的 次首一不可约多项式之积。

就是说这样的多项式，恰好是次数整除 的所有首一不可约多项式的乘积。具体到题主的问题：因为

所以

.

注：因为在 中加法和减法是一样的，因此直接做了替换。 上的一次不可约多项式有 和 ,三次的有 和 。由于次数较小，可以通过简单的试除得到该结论。

而对于一般的 型多项式。我们假设多项式的根 被添加进了有限域，那么自然地， 也都是它的根，这些根构成了一个循环群。另外，因为这个多项式只有 个根，我们有

.

现在讨论较小的域。注意到 的阶 ,而对 的每个因子 ，有 个 以 为阶。那么我们有

其中

是分圆多项式。这样，我们就把 型的多项式分解问题转化成了分圆多项式 的问题。

二、分圆多项式

简单起见，这里不加证明地直接给出定理。

定理2.设 则在域 上 可以分解为 个 次不可约多项式之积。其中 是满足 的最小正整数。

我们拿题主的式子为例。对于 ，它应该等于 。其中 比较显然。我们来看看 ：由于 ，而 ,因此它可以分解为 个 次不可约多项式的乘积。这和我们的结论一致。

再比如对于 。由于 ，而 ，因此它可以分解为 个 次不可约多项式，也就是说它本身就是一个四次不可约多项式。

而对于 。由于 , ,因此它可以分解为 个 次不可约多项式的乘积。具体的求解可以通过待定系数法，这里不再赘述。

当然，待定系数法还是比较麻烦的，所以我们可以利用一个专门针对此问题的算法：Berlekamp 算法。

三、Berlekamp 算法

设 是 上 次首一多项式，若 满足

则有

当然上式有可能没有用，因为分解出来的式子可能是平凡的。但只要原式可以分解，就一定可以找到这样的 使得上式可以分解出非平凡因子。这样，算法的主要问题就变成了找到合适的 ，对此问题有如下定理：

定理3. 上的多项式满足上述要求的充要条件为： 对所有的 成立。

由于 是一个置换，因此其中可能会有循环，而每个循环都对应一个多项式。这些多项式都满足上述条件，可以进行分解。

四、总结

对于形如 或 的多项式，可以化为分圆多项式的乘积。分圆多项式的分解则先利用定理2确定其分解结果的形式，再通过待定系数法或 Berlekamp 算法求解。在使用后者时，可以通过定理3更好地选择 ，加快分解。

总地来说，有限域上任意多项式的分解并没有一个很好的算法去解决，而本文中的情形属于常用情形。