如何求解微分方程 y"+（y'）²-y＝0？

求解微分方程 $y'' + (y')^2 y = 0$ 确实是个有趣的挑战。这并非一个标准的线性常系数微分方程，也没有简单的通解公式可以直接套用。我们需要运用一些技巧和策略来尝试找到它的解。

让我们一步一步来分析和求解。

1. 理解方程的性质

首先，我们观察这个方程：$y'' + (y')^2 y = 0$。

非线性: 方程中出现了 $(y')^2$ 这一项，这是 $y'$ 的平方，使得方程成为一个非线性微分方程。这意味着我们无法直接应用叠加原理等线性方程的工具。
二阶: 方程的最高阶导数是二阶导数 $y''$。
自治方程?: 这个方程不是自治方程。自治方程是指不显含自变量 $t$（或者这里的 $x$，如果我们假设 $y=y(x)$）。虽然方程中没有直接写出 $x$，但它通过 $y'$ 和 $y''$ 的形式隐式地依赖于 $x$。不过，一个更常见的技巧是尝试将其转化为自治方程。

2. 尝试降阶的方法

对于一些非线性方程，尤其是当方程不显含自变量时，我们可以尝试降阶。这里的方程虽然显含了 $y'$ 和 $y''$，但是可以通过一个巧妙的代换来解决。

核心思想：令 $p = y'$。

如果令 $p = y'$，那么 $y''$ 可以表示为 $p$ 关于 $y$ 的导数乘以 $y'$：
$y'' = frac{dp}{dx} = frac{dp}{dy} frac{dy}{dx} = frac{dp}{dy} p$

现在，我们将这个代换代入原方程：
$(frac{dp}{dy} p) + p^2 y = 0$

我们得到了一个关于 $p$ 和 $y$ 的一阶微分方程。这是一个巨大的进步！

3. 解关于 $p$ 和 $y$ 的一阶微分方程

我们的新方程是：
$p frac{dp}{dy} + p^2 y = 0$

我们可以将其写成更标准的一阶方程形式。注意，这里 $p$ 是 $y$ 的函数，即 $p(y)$。

$p frac{dp}{dy} = y p^2$

$frac{dp}{dy} = frac{y p^2}{p} = frac{y}{p} p$

$frac{dp}{dy} + p = frac{y}{p}$

这个方程看起来有点棘手，因为它不是线性的，也不是伯努利方程（伯努利方程的形式是 $y' + P(x)y = Q(x)y^n$）。

4. 重新审视代换和方程形式

让我们回到 $p frac{dp}{dy} + p^2 y = 0$。我们是否可以把它变成一个更容易处理的形式？

考虑一下方程 $p frac{dp}{dy} = y p^2$。
如果我们将其改写为：
$p frac{dp}{dy} + p^2 = y$

我们注意到，方程的左侧是 $p^2$ 关于 $y$ 的导数：
$frac{d}{dy}(p^2) = 2p frac{dp}{dy}$
所以，$frac{1}{2} frac{d}{dy}(p^2) = p frac{dp}{dy}$

代入原方程得到：
$frac{1}{2} frac{d}{dy}(p^2) + p^2 = y$

这是一个关于 $p^2$ 的线性一阶微分方程！让我们令 $u = p^2$。那么 $frac{du}{dy} = 2p frac{dp}{dy}$。
代入后得到：
$frac{1}{2} frac{du}{dy} + u = y$

$frac{du}{dy} + 2u = 2y$

这是一个标准的线性一阶微分方程，其形式为 $u' + P(y)u = Q(y)$，其中 $P(y) = 2$，$Q(y) = 2y$。

5. 解关于 $u$ 的线性一阶微分方程

我们可以使用积分因子法来解决它。积分因子是 $e^{int P(y) dy}$。
积分因子 $= e^{int 2 dy} = e^{2y}$。

将整个方程乘以积分因子：
$e^{2y} frac{du}{dy} + 2e^{2y} u = 2y e^{2y}$

方程的左侧现在是 $frac{d}{dy}(u e^{2y})$：
$frac{d}{dy}(u e^{2y}) = 2y e^{2y}$

现在，我们需要对右侧进行积分：
$u e^{2y} = int 2y e^{2y} dy$

让我们计算积分 $int y e^{2y} dy$。我们可以使用分部积分法，令 $w = y$，$dv = e^{2y} dy$。
那么 $dw = dy$，$v = int e^{2y} dy = frac{1}{2} e^{2y}$。

$int y e^{2y} dy = y (frac{1}{2} e^{2y}) int frac{1}{2} e^{2y} dy$
$= frac{1}{2} y e^{2y} frac{1}{2} int e^{2y} dy$
$= frac{1}{2} y e^{2y} frac{1}{2} (frac{1}{2} e^{2y})$
$= frac{1}{2} y e^{2y} frac{1}{4} e^{2y}$

所以，
$u e^{2y} = 2 (frac{1}{2} y e^{2y} frac{1}{4} e^{2y}) + C_1$
$u e^{2y} = y e^{2y} frac{1}{2} e^{2y} + C_1$

解出 $u$：
$u = y frac{1}{2} + C_1 e^{2y}$

6. 回代并求解原微分方程

我们知道 $u = p^2$ 且 $p = y'$。
所以，$p^2 = y frac{1}{2} + C_1 e^{2y}$。

现在，我们需要对 $p$ 进行积分来找到 $y(x)$：
$p = frac{dy}{dx} = pm sqrt{y frac{1}{2} + C_1 e^{2y}}$

$frac{dy}{dx} = pm sqrt{y frac{1}{2} + C_1 e^{2y}}$

这是一个可分离变量的微分方程。我们将 $y$ 的项移到一边，将 $dx$ 移到另一边：
$frac{dy}{sqrt{y frac{1}{2} + C_1 e^{2y}}} = pm dx$

现在，我们需要对左边进行积分：
$int frac{dy}{sqrt{y frac{1}{2} + C_1 e^{2y}}} = pm int dx$
$int frac{dy}{sqrt{y frac{1}{2} + C_1 e^{2y}}} = pm x + C_2$

这最后一个积分可能相当棘手，并且可能没有一个简单的初等函数形式的解。

这个积分的形式取决于常数 $C_1$ 的值。

情况 1: $C_1 = 0$
如果 $C_1 = 0$，则方程变为：
$int frac{dy}{sqrt{y frac{1}{2}}} = pm x + C_2$

计算积分：令 $v = y frac{1}{2}$，则 $dv = dy$。
$int frac{dv}{sqrt{v}} = int v^{1/2} dv = 2v^{1/2} = 2sqrt{y frac{1}{2}}$

所以， $2sqrt{y frac{1}{2}} = pm x + C_2$。
$sqrt{y frac{1}{2}} = pm frac{1}{2} x + frac{C_2}{2}$
令 $C'_2 = frac{C_2}{2}$：
$sqrt{y frac{1}{2}} = pm frac{1}{2} x + C'_2$

平方两边：
$y frac{1}{2} = (pm frac{1}{2} x + C'_2)^2$
$y frac{1}{2} = (frac{1}{2} x + C'_2)^2$ （因为 $(pm a)^2 = a^2$）
$y frac{1}{2} = frac{1}{4} x^2 + C'_2 x + (C'_2)^2$

$y = frac{1}{4} x^2 + C'_2 x + (C'_2)^2 + frac{1}{2}$
这是一个二次函数。我们可以将常数合并：
$y = frac{1}{4} x^2 + Ax + B$，其中 $A = C'_2$，$B = (C'_2)^2 + frac{1}{2}$。

让我们验证一下这个解。
如果 $y = frac{1}{4} x^2 + Ax + B$，那么：
$y' = frac{1}{2} x + A$
$y'' = frac{1}{2}$

代入原方程 $y'' + (y')^2 y = 0$：
$frac{1}{2} + (frac{1}{2} x + A)^2 (frac{1}{4} x^2 + Ax + B) = 0$
$frac{1}{2} + (frac{1}{4} x^2 + Ax + A^2) frac{1}{4} x^2 Ax B = 0$
$frac{1}{2} + frac{1}{4} x^2 + Ax + A^2 frac{1}{4} x^2 Ax B = 0$
$frac{1}{2} + A^2 B = 0$

这要求常数满足 $B = A^2 + frac{1}{2}$。
我们的解是 $y = frac{1}{4} x^2 + Ax + B$。
这里 $A = C'_2$，$B = (C'_2)^2 + frac{1}{2}$。
所以 $B = A^2 + frac{1}{2}$ 是满足的。

因此，当 $C_1 = 0$ 时，方程的一个解族是形如 $y = frac{1}{4} x^2 + Ax + B$ 的二次函数，其中 $B = A^2 + frac{1}{2}$。

情况 2: $C_1 eq 0$
如果 $C_1 eq 0$，积分 $int frac{dy}{sqrt{y frac{1}{2} + C_1 e^{2y}}}$ 通常没有简单的初等函数表达式。

这个积分可能涉及到椭圆积分，或者其他特殊函数。在实际应用中，如果无法解析地完成这个积分，我们可能需要数值方法来得到近似解。

让我们稍微分析一下积分的内容：
$frac{dy}{sqrt{y frac{1}{2} + C_1 e^{2y}}}$

如果 $C_1 > 0$，当 $y o infty$ 时，$e^{2y} o 0$，积分项变为 $frac{dy}{sqrt{y frac{1}{2}}}$，这我们已经处理过。
如果 $C_1 < 0$，这个积分会更加复杂，可能会涉及复数或者积分的收敛性问题。

另一种可能的代换（尝试寻找其他特解）：

有时，对于这类非线性方程，可以尝试寻找一些特殊的解。例如，如果解是指数函数的形式，或者其他简单的形式。然而，对于这个方程，$y''+(y')^2y=0$，直接猜测一个简单的指数解如 $y=e^{kx}$ 可能不会奏效。

总结一下求解过程：

1. 识别方程类型： 一个二阶非线性微分方程。
2. 降阶代换： 令 $p = y'$，将方程转化为关于 $p(y)$ 的一阶方程。
3. 整理代换后的方程： 通过巧妙的代换（令 $u=p^2$），将其转化为一个关于 $u(y)$ 的线性一阶微分方程。
4. 解线性一阶方程： 使用积分因子法求解 $u(y)$。
5. 回代并分离变量： 将 $u$ 代回到 $p^2$，再将 $p$ 代回到 $y'$，得到一个可分离变量的方程。
6. 积分求解： 尝试积分 $frac{dy}{sqrt{y frac{1}{2} + C_1 e^{2y}}}$。

特殊情况（$C_1 = 0$）的解：
当常数 $C_1=0$ 时，我们得到了一个完整的解析解族：
$y = frac{1}{4} x^2 + Ax + B$, 其中 $B = A^2 + frac{1}{2}$。
这表示一个抛物线族。

一般情况（$C_1 eq 0$）的解：
当 $C_1 eq 0$ 时，方程的解是最后一个积分的隐式形式：
$int frac{dy}{sqrt{y frac{1}{2} + C_1 e^{2y}}} = pm x + C_2$
这个积分通常无法用初等函数表示，可能需要特殊函数或数值方法来处理。

关键点回顾：

非线性方程的求解往往比线性方程困难得多。
降阶是解决许多非线性微分方程的有力工具，尤其是当方程不显含自变量时。
寻找方程的结构特性，并尝试将非线性项转化为已知的函数形式（如对某个量求导）是关键步骤。
即使降阶成功，最终积分的形式也可能非常复杂，甚至没有初等解析解。

希望这个详细的解释能帮助你理解如何处理这类微分方程！

用李群分析的角度讲一下怎样降阶

通过微分不变量，实现阶的约化

首先这个式子不显含 ，所以在平移群（也仅有该平移群）

的作用下保持不变，即

其中 ，

该群的无穷小变换为：

无穷小生成元为：

将 看作独立变量，令 ，寻找一阶延拓不变量 与

由延拓公式

得到

一阶延拓无穷小生成元为

令

方程 的首次积分函数就是我们要找的一阶延拓不变量

特征方程为

解得

则一阶延拓不变量为

通过一阶延拓不变量可构造二阶不变量

将(1)(2)代入方程 ，得到

令 就得到了一阶线性非齐次方程，且为常系数

解得

将变量全部替换回 ，得到