ZFC等公理集合论可以回答「几个苹果是否构成个集合」吗？

在讨论这个问题之前，我们得先弄清楚“集合”在ZFC公理集合论中的精确含义。ZFC不是一套关于我们日常生活中“物体”如何归类的直觉性规则，而是一套形式化的、严谨的数学公理系统，它的目标是构建整个数学大厦的基石，确保数学推理的无懈可击。

所以，ZFC不会直接告诉你“三个苹果是否构成一个集合”。ZFC关心的不是苹果这种具体的物理实体，而是抽象的“对象”以及它们之间的“属于”关系。ZFC本身并不“认识”苹果，它也不关心你手里的苹果是红的还是绿的，是甜的还是酸的。

那么，ZFC是如何处理“构成一个集合”这个概念的呢？

ZFC中的“集合”是什么？

在ZFC里，“集合”是一个基础的、不可再分的（primitive）概念。它不是被定义出来的，而是通过一系列公理被确立其性质和存在的。简单来说，集合就是“对象的汇集”（collection of objects）。但这个“汇集”有非常严格的数学定义和约束。

ZFC的核心在于两点：

1. 外延公理 (Axiom of Extensionality): 这是定义集合身份的关键。外延公理规定，如果两个集合包含完全相同的元素，那么它们就是同一个集合。换句话说，一个集合的身份完全由它所包含的元素决定，元素的排列顺序、重复次数或者元素的“性质”本身（比如苹果的颜色）都不影响集合的身份。

如果集合 A 和集合 B 满足以下条件：
对于任意对象 x，如果 x 属于 A，则 x 属于 B；并且如果 x 属于 B，则 x 属于 A。
那么，A 就是 B。

2. 分离公理模式 (Axiom Schema of Separation) / 补集公理 (Axiom of Complement): 这个公理模式（因为它实际上是一系列公理，针对不同的性质 P）允许我们从一个已存在的集合中，根据某个性质 P，挑选出满足这个性质的所有元素，构成一个新的集合。

具体来说，对于任意集合 A 和任意一个性质 P（这个性质 P 可以用ZFC的语言来描述），存在一个集合 B，它的元素恰好是 A 中那些满足性质 P 的元素。

记作：${x in A mid P(x)}$

那么，回到“几个苹果是否构成一个集合”的问题：

ZFC本身不会直接回答这个问题，因为它处理的是抽象的对象，而不是具体的物理对象。但是，ZFC提供了一套框架，让我们能够定义和论证关于“苹果集合”的数学概念。

假设我们已经用ZFC可以处理的数学语言（例如，我们为每一个苹果分配一个唯一的、抽象的标识符，或者将它们建模为某些抽象的数学对象）来描述这些苹果。

我们可以这样进行：

1. 假设苹果是“对象”： 在ZFC的框架内，我们需要先假定你提到的“苹果”是可以被看作是ZFC所能够处理的“对象”的。数学家们通常会用一些抽象的符号或结构来代表现实世界的物体，例如，我们可以给每个苹果一个独一无二的标签（标签本身可以是集合或数字等）。
比如，假设我们有三个苹果，我们可以用三个不同的对象 $a_1, a_2, a_3$ 来代表它们。

2. 构造集合： 根据ZFC的公理，我们可以构造一个包含这三个对象的集合。最直接的公理就是配对公理 (Axiom of Pairing) 和并集公理 (Axiom of Union)。

配对公理：对于任意两个对象 x 和 y，存在一个集合，它恰好包含 x 和 y 这两个元素。这个集合通常记作 ${x, y}$。
我们可以先用配对公理构造 ${a_1, a_2}$。
然后，我们可以再次应用配对公理，将集合 ${a_1, a_2}$ 和对象 $a_3$ 配对，构造出 ${{a_1, a_2}, a_3}$。
但我们想要的是 ${a_1, a_2, a_3}$ 这个集合。更常用的方法是利用并集公理或并集公理模式。
并集公理：对于任意一个集合 S（这个集合 S 的元素本身也是集合），存在一个集合 U，它的元素恰好是 S 中所有集合的元素的总汇。
更直接地，我们可以使用并集公理模式的变种，或者通过单例集合和配对公理来构造。例如，先构造单例集合 ${a_1}$ 和 ${a_2}$，然后用配对公理构造 ${{a_1}, {a_2}}$，再用并集公理得到 ${a_1} cup {a_2} = {a_1, a_2}$。
另一种更简洁的构造方式是利用分离公理模式（或称外延公理模式）：如果我们有一个包含这三个苹果的“更大的”集合（比如包含所有你能想象到的事物的集合，如果存在的话），然后我们就可以分离出满足“是这三个苹果之一”这个性质的对象。

一个更基础和直接的构造方式是利用并集公理 (Axiom of Union) 和 配对公理 (Axiom of Pairing)。
首先，根据配对公理，我们可以构造集合 ${a_1, a_2}$。
然后，我们再用配对公理将集合 ${a_1, a_2}$ 和对象 $a_3$ 配对，得到 ${{a_1, a_2}, a_3}$。
接着，我们应用并集公理到集合 ${{a_1}, {a_2, a_3}}$（我们可以先用配对公理构造 ${a_2, a_3}$，然后用配对公理构造 ${{a_1}, {a_2, a_3}}$）。
并集公理告诉我们存在一个集合，它是 ${{a_1}, {a_2, a_3}}$ 的所有元素的并集。即 ${a_1} cup {a_2, a_3} = {a_1, a_2, a_3}$。

所以，一旦我们能够将“苹果”看作ZFC可以处理的“对象”（比如赋予它们唯一的标签或标识符），ZFC的公理允许且保证我们可以构造一个包含这几个苹果的集合。

3. ZFC回答“是否构成”： ZFC不会像常识那样回答“是”或“不是”是否“构成”一个集合。ZFC会说：“如果你将这几个苹果作为对象，并且根据ZFC的规则来处理它们，那么存在一个集合，其元素恰好是这几个苹果。”

关键在于，ZFC的公理不是用来判断现实世界中的物体能否归为一类，而是为了确保一旦我们开始讨论数学对象，我们就能有统一的、不产生矛盾的规则来操作它们，从而构建一个稳固的数学体系。

为什么需要公理系统？

直觉上，我们知道“几个苹果”可以组成一个集合。但数学需要超越直觉，去处理更抽象、更复杂的情况，并且要避免任何逻辑上的矛盾。例如：

罗素悖论： 如果允许任意描述来构成集合，就会出现“不包含自身的集合”，这个集合是否包含自身？这个问题会导致矛盾。ZFC通过分离公理模式等限制了集合的构造方式，避免了这类悖论。
空集： ZFC通过公理保证了空集的存在，即不包含任何元素的集合。
无限集合： ZFC的无穷公理允许我们构造无限集合，这是很多高等数学的基础。

总结：

ZFC公理集合论不会直接告诉你“几个苹果是否构成一个集合”，因为它讨论的是抽象的数学对象及其之间的关系，而非具体的物理实体。

但是，ZFC提供了一套严格的规则，让我们能够：

1. 将现实世界的对象（如苹果）抽象化，赋予它们可以被ZFC系统处理的数学形式（例如，分配唯一的标识符）。
2. 利用ZFC的公理（如配对公理、并集公理、分离公理模式等），构造出包含这些抽象化对象的集合。

所以，ZFC的回答是：如果我们将这几个苹果看作是可以被形式化为数学对象的实体，那么ZFC的公理系统保证了我们可以构造一个恰好包含这些对象的集合。 ZFC的存在性证明是逻辑上的，而不是物理上的观察。它确保了这种集合的存在性不会导致数学体系的矛盾。

可以额外加一个一元关系S作为语言。然后那些公理如有必要，都加上一个判断a是否属于S。比如并集公理可以写成：

∀x((∀y∈x(S (y))) →∃z(∀u(∃y∈x(u∈y)→u∈z)))

当然把所有满足S(x)的x收集成类V，那么在V里看就是原来正常的ZFC了。