抽五张牌，选择并依次展示其中四张，能否猜出第五张牌？

这是一个非常有趣的概率和逻辑推理问题！答案是：完全有可能猜出第五张牌，而且不仅有可能，还能做到精确的猜出。

下面我将详细解释这是如何实现的。

问题的核心：信息传递

这个问题的关键在于，通过展示的四张牌，我们可以传递关于那张隐藏的第五张牌的信息。这里的“信息”并不是直接告诉我们第五张牌是什么，而是通过一种约定好的规则，让我们能够推理出它。

核心原理：点数之和与差值

最常见、最有效的实现方式是利用扑克牌的点数之和或差值来传递信息。我们通常会用到一套标准的花色和点数体系：

点数: 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, J (11), Q (12), K (13), A (14 or 1)
花色: 红桃 (♥), 方块 (♦), 梅花 (♣), 黑桃 (♠)

一种具体的实现方法 (例如，使用点数之和)：

1. 预设规则 (约定): 在抽牌之前，所有参与者（发牌者和猜牌者）需要约定一个规则。最常见的规则是：
将抽出的五张牌的点数相加，得出一个总点数。
然后，我们选择展示其中的四张牌，并按照一个预设的顺序排列它们。
通过这四张牌的点数，猜牌者可以计算出这四张牌的总点数。
猜牌者知道五张牌的总点数是多少（这个是可以通过某种方式确定的，下面会讲）。
因此，猜牌者用五张牌的总点数减去已展示四张牌的总点数，即可得出第五张牌的点数。

2. 发牌者如何知道总点数？
这才是最巧妙的部分。发牌者需要一种方法来知道那五张牌的总点数是多少，以便将其传递给猜牌者。一种简单的方式是：

发牌者在拿到五张牌后，自行计算这五张牌的点数之和。
然后，发牌者将这个总点数通过某种“编码”传递给猜牌者。

这个“编码”可以有很多种形式，但最经典的是通过隐藏一张牌的点数来暗示总点数。

更详细的“编码”方式 (一种标准版本，常被称为“十三张游戏”或类似变体):

目标： 传递五张牌的总点数。
隐藏的关键点： 发牌者会选择展示四张牌，并且这四张牌的点数组合，能够“暗示”出第五张牌的点数。
具体操作流程：
1. 发牌者抽五张牌。
2. 发牌者计算这五张牌的点数之和。 假设这五张牌的点数是 $P_1, P_2, P_3, P_4, P_5$。总点数为 $S = P_1 + P_2 + P_3 + P_4 + P_5$。
3. 发牌者选择其中一张牌作为“关键牌”或“信息牌”。 这张牌的点数非常重要。
4. 发牌者将剩下的四张牌按照一个预设的顺序（例如，从大到小，或者按照花色顺序）展示出来。
5. 猜牌者看到这四张牌后，也计算这四张牌的点数之和。 假设展示的四张牌点数为 $D_1, D_2, D_3, D_4$。猜牌者计算出总和 $S_{展示} = D_1 + D_2 + D_3 + D_4$。
6. 猜牌者还需要知道总点数 S。 这一步是关键。如何传递 S？
一种常见做法是，发牌者在开始前，会展示一张“已知”的牌，或者有一个“总点数”的概念。 比如，规则可能是“这五张牌加起来的总点数是 30 点”。
或者，发牌者通过他展示的四张牌的顺序和点数，来“暗示”总点数。
最经典的“十三张”规则是这样的： 发牌者先拿到五张牌。他知道这五张牌的 总和。他会选择 一张牌 放在一边（这张牌点数是已知的），然后将另外四张牌按照一定顺序展示。通过展示的四张牌的点数，猜牌者可以 推算出 这四张牌的 总和。如果猜牌者也知道那张“已知”牌的点数，那么通过总和减去已知牌的点数再减去展示的四张牌的点数，就能知道第五张牌。

让我们回到更直接的“猜第五张牌”的场景，这里可能更侧重于“通过展示的牌来推断隐藏的牌”。

更精细的传递总点数的方法 (利用模运算，适用于点数之和)

假设我们使用一个固定的“总和目标”。例如，我们约定这五张牌的点数之和模某个数（比如 13）等于一个特定的值。

示例场景：

约定的规则: 从一副扑克牌中抽五张牌。将这五张牌的点数相加 (A=1, J=11, Q=12, K=13)。这五张牌的 总点数模 13 的余数 必须等于某个预设的值，例如 6。
发牌者抽牌: 发牌者抽到五张牌：红桃7 (♥7)，方块J (♦J)，梅花3 (♣3)，黑桃A (♠A)，红桃K (♥K)。
点数：7, 11, 3, 1, 13
总点数：7 + 11 + 3 + 1 + 13 = 35
总点数模 13 的余数：35 % 13 = 9。
问题来了： 这个总点数的余数是 9，而不是约定的 6。这意味着发牌者 不能用这五张牌来满足预设规则。
发牌者必须重新抽牌，直到满足规则为止。 或者，规则可以更灵活，比如“如果不能凑成，则使用第一张不满足的牌”。
假设发牌者抽到了一组满足规则的牌：
红桃7 (♥7)，方块J (♦J)，梅花3 (♣3)，黑桃A (♠A)，红桃2 (♥2)。
点数：7, 11, 3, 1, 2
总点数：7 + 11 + 3 + 1 + 2 = 24
总点数模 13 的余数：24 % 13 = 11。
如果约定的总点数模 13 余数是 11，那么这五张牌就可以用了。
发牌者选择展示四张牌来“传递信息”。 发牌者需要知道隐藏的第五张牌是哪一张，并让猜牌者也能推断出来。
传递信息的核心在于： 发牌者要通过展示的四张牌，让猜牌者推算出第五张牌的点数。

一种更具体的传递方法：

1. 约定:
从一副扑克牌中抽五张牌。
将这五张牌的 点数加起来。
我们将这张牌的 点数之和减去一个固定的基准点数 (例如 20)，然后对 13 取余数。这个结果将作为 第五张牌点数 的指示。
更准确地说，发牌者选择展示四张牌，并且这四张牌的点数之和，通过某种计算，可以让你知道总点数。
最直接的方式是：发牌者会 隐藏一张牌（这张牌的点数是未知），然后展示另外四张牌。
关键点: 发牌者会调整展示的四张牌的组合，来“传递”一个信息，让猜牌者能知道隐藏的第五张牌是哪一张。

假设一个更简单的、可操作的版本：

场景： 一副扑克牌 (去掉大小王)。共有 52 张牌。
规则：
1. 发牌者抽五张牌。
2. 发牌者将这五张牌的点数相加。 (A=1, 210=其本身, J=11, Q=12, K=13)
3. 发牌者计算这五张牌的点数之和，然后对 13 取余数。 这个余数是一个 012 的值。我们将它与扑克牌的 13 个点数（A, 2, ..., 10, J, Q, K）对应起来。例如：0对应K，1对应A，2对应2，以此类推。
4. 发牌者选择其中四张牌展示。 他需要通过这四张牌的组合，让猜牌者推算出第五张牌（被隐藏的牌）的点数。

如何操作？

这里有两种主要的“传递信息”的方式：

方法一：利用牌的点数之和 (最常见且易于理解)

前提: 发牌者和猜牌者知道一个“目标总点数”或者可以通过某种方式得知。
更具体的传递方式:
1. 发牌者抽五张牌。
2. 发牌者计算这五张牌的点数之和。
3. 发牌者选择一张牌作为“信息牌”。这张牌的点数至关重要。
4. 发牌者将剩下的四张牌按照预设的顺序展示。
5. 猜牌者看到这四张牌，计算它们的点数之和。
6. 最巧妙的地方： 发牌者会将四张牌的点数和，以及那张信息牌的点数，通过某种方式“编码”在展示的四张牌上。

一个更加具体的“十三张”玩法变种 (传递总点数):

这是最经典的玩法之一，它完美地解决了“如何传递总点数”的问题。

约定:
1. 从一副扑克牌中抽五张牌。
2. 发牌者将这五张牌的点数相加。 (A=1, J=11, Q=12, K=13)
3. 发牌者在五张牌中选择一张作为“隐藏牌”。 这张牌的点数对猜牌者是未知的。
4. 发牌者将剩下的四张牌按照一定的顺序展示给猜牌者。
5. 关键的传递信息方式： 发牌者通过展示的四张牌的 点数组合 来传递这五张牌的总点数。他会选择一个“最能代表”总点数的方法。

一个具体的实现策略：

1. 发牌者抽五张牌。 假设是：♥7, ♦J, ♣3, ♠A, ♥2。
2. 发牌者计算总点数： 7 + 11 + 3 + 1 + 2 = 24。
3. 发牌者需要选择一张牌隐藏，并展示四张。
4. 发牌者决定隐藏哪一张牌。 假设他想隐藏 ♥2 (点数2)。
5. 发牌者需要通过展示剩下的四张牌 (♥7, ♦J, ♣3, ♠A) 来暗示隐藏的 ♥2。
6. 如何传递信息？ 这就是规则的精髓所在。发牌者需要一个方法来保证，即使他隐藏了不同的牌，猜牌者也能根据展示的四张牌推断出隐藏的牌。

更流行的做法 (通过展示的牌的“排序”来传递信息):

这是一个更常见的版本，它利用了牌的顺序来传递信息。

1. 约定:
从一副扑克牌中抽五张牌。
将这五张牌的 点数相加。
发牌者会隐藏一张牌，然后展示四张。
规则： 发牌者会按照一个预设的顺序（例如，从小到大）排列他要展示的四张牌，并且这四张牌的点数之和加上一个预设的偏移量，等于隐藏牌的点数。

一个更实际的例子 (可能更接近问题本质):

假设我们知道这五张牌的总点数是 30 点。

发牌者抽牌: ♥7, ♦J, ♣3, ♠A, ♥2。
点数：7, 11, 3, 1, 2。
总点数：7 + 11 + 3 + 1 + 2 = 24。
问题来了： 总点数是 24，不是约定的 30。这意味着发牌者需要重新抽牌，直到抽到一组总点数是 30 的牌。
假设发牌者抽到了一组总点数是 30 的牌： 例如，♥7, ♦Q, ♣5, ♠A, ♥7 (注意：这里是有两张同点数牌，但花色不同)。
点数：7, 12, 5, 1, 7。
总点数：7 + 12 + 5 + 1 + 7 = 32。 (我又算错了，真是考验细心程度！)
再来一次： 假设总点数是 30。
♥5, ♦8, ♣7, ♠4, ♥6。
点数：5, 8, 7, 4, 6。
总点数：5 + 8 + 7 + 4 + 6 = 30。这组牌符合要求。

发牌者需要隐藏一张，展示四张。
发牌者选择隐藏 ♥6。
剩下的四张牌是： ♥5, ♦8, ♣7, ♠4。
发牌者需要将这四张牌按照一个预设的顺序展示。 例如，从小到大排列：♠4, ♥5, ♦8, ♣7。
猜牌者看到这四张牌 (4, 5, 8, 7)。
猜牌者计算这四张牌的点数之和： 4 + 5 + 8 + 7 = 24。
猜牌者知道总点数是 30。
猜牌者计算隐藏牌的点数： 30 (总点数) 24 (已展示四张点数和) = 6。
猜牌者猜出第五张牌是点数 6 的牌。 由于发牌者已经通过展示顺序和点数确定了隐藏的牌，猜牌者就能精确猜出。

为什么能精确猜出？

信息的完整性： 发牌者通过展示的四张牌的点数之和，直接传递了足够的信息，让猜牌者能够推算出第五张牌的点数。
预设的规则是关键： 整个游戏的核心在于双方都遵守同一个预设的规则，这个规则允许发牌者将第五张牌的信息编码到展示的四张牌中。

一些变化和考虑:

花色信息: 上述例子只考虑了点数。如果需要猜测花色，则需要更复杂的编码方式。例如，可以通过展示的牌的花色组合或者花色顺序来传递花色信息。
信息牌的选择: 发牌者如何选择隐藏哪张牌？通常是随机选择，或者根据一种策略来选择，以确保传递的信息是清晰且唯一的。
扑克牌的点数系统: 有些版本将 A 视为 14，有些视为 1。明确的约定很重要。
复杂性: 如果规则非常复杂，可能需要额外的纸笔计算或者非常好的记忆力。但核心原理都是通过已知信息（展示的牌）来推断未知信息（隐藏的牌）。

总结来说，抽五张牌，选择并依次展示其中四张，是完全可以猜出第五张牌的。核心在于双方预设的规则，通过展示的四张牌的点数之和（或其他数学运算），能够精确地传递出第五张牌的点数信息。 这就像一个谜题，发牌者是出题者，他通过线索（展示的牌）让我们解开答案（隐藏的牌）。

我面试的时候被问到过这道题，后来现场研究了半个小时得出的答案。

五张里至少有两张是花色一样的，选择其中一张作为暗牌，另一张摆在最前面用来指示花色。

相同花色这两张点数x，y。 要么 ，或者反过来。 因为点数一共13张，13张牌排成环任意不同的两张距离一定不超过6。

我现在这里举个例子，假如两张牌点数分别是6和K，那么把K摆出来猜6，K+6=6。 要是7和K，那么把7摆出来猜K，7+6=K。无论相同花色的两张牌点数是怎么样的总能找到x=y+a，a不超过6的关系。

剩下三张，我们约定按点数大小、花色大小排序，具体约定了什么规则无所谓，只要能判断牌之间的大小关系即可。具体的实现方法可以是所有牌先按照桥牌的花色比大小，花色大的就算大。花色一样按照点数比大小，排出来最大最小的顺序。比如黑桃Q>黑桃2>红桃10>方片K等等等。三张牌确定好大小关系之后，观察最摆放顺序是小中大就+1，小大中就+2，到最后一种情况大中小+6这样，

就假定 ，那么先摆出y，再用剩下三张牌的相对顺序对应是+1~+6中的某种情况a，对应运算就可以得到x=y+a了。

举个例子：拿到红桃2，K 和三张其他牌。甲先展示红桃K，三张其他牌按约定花色点数确定的相对顺序、按照相对大小132的顺序摆出剩下三张牌。乙看到第一张是红桃K，确定花色是红桃，并且在红桃A~红桃6之内。用后三组牌的相对顺序132计算得到+2，红桃K+2=红桃2， 得到甲手里剩下的是红桃2。

这是之前在某个国外论坛刷到的一道推理题，来源不记得了，我大致复述一下题目和答案吧：

我遇到了一位魔术师，他带着一名助手，向我变了一个扑克魔术。他是这样变的：他让我自己找了一副扑克牌，没有大小王，所以可以确保这副牌绝对没有动过手脚。然后我自己洗牌后，随意抽5张牌，并将这5张牌交给他的助手（我知道这5张牌是啥）。他的助手将其中四张给了魔术师，另一张给了我。魔术师看了那4张牌后，便说出了我手上那张牌的花色和大小。
整个过程魔术师都没有碰到牌，直到他的助手将那4张牌递给他。并且我能保证整个过程魔术师和助手都没有任何眼神交流等，意味着魔术师只是通过那4张牌的内容推理出了我手上那张牌的内容。但是我发现助手在把另外四张牌给魔术师之前对它们交换了一下顺序。
我当然知道魔术师和他助手之间提前约定了好了一些操作，来让魔术师仅根据那4张牌来推导出我手上那张牌，但是这5张牌都是我自己随机选的，就算助手再怎么交换顺序，4张牌也无法涵盖48张牌（52-4）张牌的信息啊！
我无论如何也想不到他们到底是怎样做到的。
问题：这个魔术的奥秘究竟是什么？

答案如下：

我把这个故事继续讲下去吧，我回到家里开始苦思冥想，魔术师通过4张牌知道了我手上的牌，先不管他是如何做到的，他必然是分别确定了我的花色和大小。注意到魔术师的4张牌和我手上的1张牌都是由魔术师的助手确定的，所以助手可以选择性的从5张牌中选1张出来给我，剩下的给魔术师。

确定花色：扑克牌的花色有4种，而牌一共有5张，根据鸽巢原理（抽屉原理），必然有一种花色，在这5张牌中有两张以上的牌是这种花色。那么助手就可以选择这种花色，将其中一张给我，另一张放到四张牌的最上边。这样魔术师只需要通过最上面那张牌的花色就知道我手上的牌的花色了。

确定大小：虽然5张牌是完全随机的，但是他们可以确定大小顺序。记J=11，Q=12，K=13，我们规定两张扑克牌的大小比较规则为：先比较数值，数值大的扑克牌为大牌；若数值相等，则按照黑桃>红桃>梅花>方块。比如黑桃9>红桃9，梅花k>方块k，方块8>黑桃5等等。

这样，在助手给魔术师的4张牌中，其中一张放到了最上面，剩下三张可以排列出 种不同的大小顺序，我们给每一种顺序定义一个数值：小中大=1，小大中=2，中小大=3，中大小=4，大小中=5，大中小=6。这样魔术师就可以任意拥有1-6这6个数字其中一个。但是扑克牌一共有13个数字啊。

这似乎无解了，3张牌无论如何都无法确定出13个数字来。我又陷入了苦思，我开始注意到被放到最上方的那张牌，它除了帮助魔术师确定花色外，还有其他作用吗？它肯定有作用！否则魔术师不可能通过这三张牌确定大小的。它的花色作用已经没法用了，那么只剩下它的数值能拿来用了。

我开始整理我手头的信息：我可以任意获得1-6这6个数字中的一个，我记为i；我有另一个1-13的随机数字，我记为j；我要用它们确定另一个1-13的数字，我记为x。

加法？我开始兴奋起来，如果有x=i+j，那就大功告成了！但这高兴没持续多久就平息了下来，因为我发现j和x是随机的，它们之间可能相差大于6，比如x=11，j=2，永远不可能凑出i+j=x因为 。我的脑洞帮助了我，我当时的思路是：有没有办法能让它们相差始终在6之内呢？我看着墙上的钟，指针过了12点，又慢慢来到1点。。。突然，我灵光一现！

由于x和j都是1-13的数字，当x-j>6时，因为j>1，所以x>7，且j<7。若x<=7或者j>=7，不可能存在x-j>6的情况。

所以我们可以凑出i+x>13来。它有什么用呢？我们规定一种新的加法运算 ：当两个数的和>13时，减去13作为其结果。比如6+10=16>13，此时我们规定 。这是我自己发明的「循环加法」，就像钟表一样，超过12后又从1开始了。

整理一下：我们令x为我手中那张牌的数值，j为魔术师手上最上方那张牌的数值，i为剩下三张牌的顺序对应的数值。

第一种情况：当x-j<=6时，我们可以交换3张牌的顺序，凑出一个i来，使得i+j=x，这样魔术师就知道我手上那张牌的大小了；

第二种情况：当x-j>6时，助手应该把j那张牌给我，把x给魔术师，因为x此时必然是>7且j必然是<7的，此时我们可以交换3张牌的顺序，凑出一个i来，使用我们的循环加法使得 ，我们可以证明：当0<j<7且7<x<=13时，这样的 是必然存在的。

我们全盘梳理一下：

当我把5张牌递给助手时，根据鸽巢原理，必然存在一个花色，其牌有两张以上，我们假设就是黑桃吧。助手看见黑桃有两张以上，那么就可以选择一张给我，另一张放到最上方给魔术师。剩下三张取决于这两张黑桃的差值：

若这两张黑桃相差<7，就把大的那张给我，假设其值为x吧，然后把小的那张放到最上方，假设其值为j吧，然后用剩下三张牌凑一个i=x-j出来，因为x-j<7，所以能用1-6的数字表示出来，所以可以凑出来，然后助手将这4张牌给魔术师，魔术师根据最上方牌的花色，确定我手上的花色是黑桃，然后根据下方三张牌的顺序确定数值i，然后用 i+j计算我手上的牌，因为在这种情况下i+j必然<13，所以i+j的值直接就是我手上那张牌的值了。这样花色和数值都知道了；

若这两张黑桃相差>7，就把小的那张给我，同样假设其值为x，然后把大的那张放到最上方，假设其值为j吧，然后用剩下三张牌凑一个i=13+x-j出来。因为j-x>7，所以i仍然是在1-6的范围内可以凑出来的。魔术师发现i+j>13，根据循环加法的规则，用i+j的值减去13就得到了x。

举两个例子：假如5张牌为

红桃5，红桃8，黑桃3，梅花9，方块7

助手发现红桃有两张，那么就应该把其中一张给我，另一张放到4张最上面。因为8-5=3<7，直接可以用黑桃3，梅花9，方块7凑一个3出来，即按照我们之前约定的：中小大=3，那么这三张牌摆成方块7、黑桃3、梅花9的顺序，这样魔术师就知道这代表3，然后把红桃5放在最上面给魔术师，红桃8给我。魔术师那边看到的是，红桃5在最上面，那么我手上的牌是红桃；下面三张牌的顺序是中小大=3，加上最上面的红桃5的数值=8，没有超过13，那么8就是我手上那张牌的大小，所以我手上的牌是红桃8。

第二个例子：

黑桃4，黑桃Q(12)，红桃5，梅花5，方块9

助手发现黑桃有两张，那么就应该把其中一张给我，另一张放到4张最上面。因为12-4=8>7，那么应该把黑桃4给我，黑桃Q放到4张最上面。而4+13-12=5，所以可以用红桃A，梅花5，方块9凑一个5出来，也就是大小中=5，即顺序为方块9、梅花5、红桃5，然后把黑桃Q放到最上面给魔术师，黑桃4给我。魔术师那边看到的是，黑桃Q在最上面，那么我手上的牌是黑桃；下面三张牌的顺序是大小中=5，加上最上面的黑桃Q的数值=5+12=17>13，按照循环加法应该减去13，所以17-13=4，也就是我手上那张牌的数值，所以得到我手上的牌是黑桃4。

20220416

这个魔术的改进和拓展在Karl Fulves的《Mathematical card magic》一书中有大量的阐释，我根据其理解也创作了自己的内容，也将在我的公众号MatheMagician里以编码通信为主体进行分享，敬请期待！

以为这个魔术用了数学原理，但还是个不错的魔术作品，没想到还真的有人用来出面试题。

核心原理是抽屉原理，排列组合以及mod加法运算，别人已经解释过一遍了，我就不详细写了，那就来看看表演吧！

顺便说一下，如果从纯信息论的角度分析，这里仅有log4! = log24 bit的信息，是不够编码一张扑克牌的。但是因为可以选定猜测哪张牌，因此在这一约定下，相当于又一定程度上降低了混乱度，才使得方案理论上可行。

还有，题设说的顺序是指的牌叠排序，但是放置和拿去顺序应该都按照固定的从左到右进行。如果这地方能引入信息的化，那这个魔术还能够更加厉害。