Shamir秘密共享门限方案当模数为多项式大时，为什么不安全？

许多人误以为模数足够大，Shamir秘密共享就能保证绝对安全，这是一种常见的误解。恰恰相反，当模数（我们称之为 $p$）变得异常巨大时，Shamir秘密共享的安全性反而会受到挑战，并且在某些特定情况下，甚至可能比模数较小的方案更容易被破解。

要理解这一点，我们得先回顾一下Shamir秘密共享的核心思想。它基于一个多项式的性质：知道多项式上的 $k$ 个点，就可以唯一地确定这个 $k1$ 次多项式；而知道少于 $k$ 个点，则无法确定这个多项式，也就无法还原出秘密。这里的“点”就是我们共享的秘密碎片，而多项式的系数则与秘密值有关。

秘密共享的过程是这样的：
1. 选择一个素数模数 $p$。
2. 确定一个 $k1$ 次多项式 $P(x) = a_0 + a_1x + dots + a_{k1}x^{k1} pmod{p}$，其中 $a_0$ 就是要分享的秘密。
3. 随机生成 $a_1, dots, a_{k1}$。
4. 生成 $n$ 个秘密碎片（点）：$S_i = (i, P(i) pmod{p})$，其中 $i$ 从 1 到 $n$。
5. 将这 $n$ 个碎片分发给 $n$ 个参与者。

当 $t$ 个（$t ge k$）参与者将他们的碎片 $S_{i_1}, dots, S_{i_t}$ 传递给一个重建者时，重建者就可以使用拉格朗日插值法（或其他多项式插值方法）来重构出多项式 $P(x)$，然后通过计算 $P(0) pmod{p}$ 来获得秘密 $a_0$。

那么，当模数 $p$ 变得非常大时，问题出在哪里呢？

主要有以下几个关键点：

1. “模数大”背后的真正含义：域的扩大

当我们谈论“模数大”时，我们实际上是在说我们使用的有限域（Galois Field，记作 $GF(p)$）的规模变得非常大。选择一个素数模数 $p$ 意味着我们在模 $p$ 意义下进行所有的加法、减法和乘法运算。

一个巨大的 $p$ 意味着这个有限域包含了极其庞大的数字。在加密学中，我们常常希望操作的数域足够大，以便暴力破解变得不可能。然而，Shamir秘密共享方案的安全性并不是直接依赖于 $p$ 的大小，而是依赖于无法通过少于 $k$ 个点来确定一个 $k1$ 次多项式这一几何/代数性质。

2. Shamir方案的安全性基础：离散对数问题的难度（间接）

Shamir秘密共享方案本身并不直接依赖于诸如RSA中的大整数因子分解问题或ElGamal中的离散对数问题。它在数学上的安全性更多地来自于有限域上的多项式插值问题。

然而，在实际应用中，为了防止攻击者“猜出”或“推断”出秘密，我们常常会将秘密值 $a_0$ 与一个随机数（或密钥）进行某种运算，例如异或（XOR），然后将运算结果作为多项式的常数项 $a_0$。

比如，一个常见的做法是：
生成一个随机的、长度为 $l$ 位的密钥 $K$。
将秘密 $S$ 与 $K$ 进行异或：$S' = S oplus K$。
使用Shamir秘密共享来分享 $S'$。

在这种情况下，攻击者即使成功重构出 $S'$，也无法得知原始秘密 $S$，除非他们也知道了密钥 $K$。

3. 问题出现在“不知道 $K$”以及“ $p$ 的选择”上：

当模数 $p$ 变得异常巨大时，我们可能就无法再简单地进行 $S oplus K$ 这样的操作了。为什么？因为 Shami 秘密共享是在 $GF(p)$ 上工作的，所有的操作都必须在模 $p$ 的范围内。

如果秘密 $S$ 和密钥 $K$ 的长度（比特数）远远小于 $p$ 的比特数：
那么，在 $GF(p)$ 中， $S'$ 实际上就是 $S oplus K$ 这个值。攻击者可以重构出 $S'$。但是，因为 $p$ 很大， $S'$ 这个值在 $0$ 到 $p1$ 之间。攻击者可以尝试猜测 $K$ 的值（如果 $K$ 的长度已知）。然而，更普遍的情况是，我们希望 $K$ 的长度与秘密 $S$ 的长度相同，这样 $S oplus K$ 的结果的长度与 $S$ 相同。

当 $p$ 变得足够大，比如 $p$ 的位数超过了我们想要的秘密长度的许多倍时：
这就可能导致一些问题。例如，如果我们要分享一个 128 位的 AES 密钥 $K$。我们将 $K$ 作为 $a_0$。那么，在 $GF(p)$ 中， $a_0$ 就是 $K$ 的值。

如果我们使用的 Shamir 方案，它的模数 $p$ 大得离谱，远超 128 位，比如 $p$ 是一个几千位的素数。那么，在 $GF(p)$ 中，$a_0$ 的值就是 128 位的密钥 $K$。

问题并非出在 $p$ 的大小本身，而是出在如果我们不小心，可能会引入其他弱点，或者说，大模数并不能解决所有问题。

4. 更深层次的理解：为什么“大模数”会被误解为“更安全”？

在像 RSA 这样的公钥密码系统中，模数 $N=pq$ 的大小直接决定了其安全性。因为 RSA 的安全性依赖于对 $N$ 进行因子分解的难度。$N$ 越大，因子分解越难。

然而，Shamir秘密共享的安全性基础是“过拟合”的反常性：
给定 $k1$ 个点，可以唯一确定一个 $k1$ 次多项式。
给定少于 $k1$ 个点，存在无穷多个 $k1$ 次多项式。

这个性质与模数 $p$ 的大小关系不大，它只要求 $p$ 足够大，能够容纳我们使用的所有系数和秘密值。

真正的风险，或者说“不安全”的来源，往往不是直接来自 $p$ 的大小，而是当我们尝试将“大模数”与“共享方案”结合时，可能引入了不当的操作或者忽视了其他安全假设。

举一个可能导致问题的场景：
选择了一个过大的 $p$，使得 $p$ 的比特长度远大于需要共享的秘密（例如一个对称密钥）的比特长度。
例如，我们要分享一个 128 位的 AES 密钥。我们选择了一个 2048 位的素数 $p$。
我们将这个 128 位的密钥 $K$ 作为 $a_0$。
那么，在 $GF(p)$ 中， $a_0$ 就是 $K$ 的值。

在这里， $p$ 的巨大并没有直接带来问题，因为 $K$ 的值在 $0$ 到 $p1$ 之间。但是，如果我们想利用 $p$ 的“大”来做些什么，比如试图将 $K$“嵌入”到 $p$ 的某个特定范围，或者进行某些操作，就可能引入问题。

一个更实际的担忧是：当模数 $p$ 变得异常巨大，以至于一个多项式在该模数下的计算量也变得非常庞大时，其实现起来的复杂度也会增加，增加了引入错误的风险。

更关键的是，有时人们会将 Shamir 方案与一些其他的（可能是安全的）密码学构建块混合使用，而这些混合的安全性取决于所有部分的安全性。如果某个部分因为 $p$ 的选择不当（即使它本身是大的）而变得脆弱，那么整个系统就可能崩溃。

5. 一个更直接的“不安全”的例子（虽然不是直接由“大模数”引起，但与理解相关）：

Shamir秘密共享的安全性依赖于“知道少于 $k$ 个点无法确定多项式”。如果一个攻击者能够获得大量的（但少于 $k$ 个）碎片，并且同时能够推断出一些关于多项式系数的约束（例如，某个系数的范围，或者某个系数不是零），那么即便 $p$ 很大，也可能影响安全性。

但，这仍然不是直接由“模数大”引起的。

那么，为什么会有人认为“模数大”在 Shamir 方案中“不安全”呢？

可能是因为以下几个原因的混淆：

误将 Shamir 方案的安全机制与 RSA 等其他方案混淆。 RSA 的安全性直接与模数大小成正比，但 Shamir 的不是。
考虑了实现中的实际问题。 极大的模数意味着系数和计算结果会非常大，处理起来需要高精度算术库，这本身就增加了实现难度，可能引入 bug。
可能是在一些特定的、不太标准的应用场景下，模数大小的选取不当（并非越大越好），导致了其他安全属性的弱化。 例如，如果 $p$ 远大于实际需要的秘密值范围，那么虽然理论上安全，但在实际密钥生成和管理上可能存在冗余和效率问题。
一种可能的（但罕见）攻击： 如果 $p$ 很大，但参与者选择的“点”的 $x$ 坐标（例如 $1, 2, 3, dots$）相对较小，攻击者可能能够推断出多项式在小 $x$ 上的值。如果秘密值 $a_0$ 本身有某种结构（例如，它不是一个完全随机的数），并且 $p$ 远大于秘密的表示范围，那么可能存在一些利用 $p$ 的“余量”来推断信息的方式，尽管这种情况比较牵强，需要攻击者有关于秘密的先验知识。

总结一下， Shami 秘密共享方案本身在数学原理上，其安全性并不直接“因为模数大而不安全”。相反，模数 $p$ 必须足够大，以确保：

1. 能够容纳所有可能的秘密值和多项式系数。
2. 在 $GF(p)$ 中执行的运算（如加法、乘法）不会因为取模而丢失信息，并且 $p$ 是一个素数，保证了域的性质。

真正使 Shamir 方案“不安全”的，不是模数 $p$ 的大小本身，而是：

弱密码学假设： 如果将 Shamir 方案用于保护一个本身就不安全的密钥（例如，使用弱伪随机数生成器生成的密钥）。
实现错误： 在生成多项式、分发碎片或重构秘密的过程中出现错误。
协议设计缺陷： 在将 Shamir 方案与其他密码学原语结合使用时，整个协议的设计存在漏洞。
侧信道攻击： 攻击者通过分析计算过程的 side channel information（如时间、功耗）来获取信息。

因此，“当模数为多项式大时，为什么不安全？”这个说法更可能源于对不同密码学方案安全机制的混淆，或者是在某些特定（非标准）的实现场景下出现的安全问题，而不是 Shamir 秘密共享方案本身的内在数学缺陷。

一个合适的、足够大的素数模数 $p$ 是 Shamir 秘密共享方案安全工作的基础。 如果 $p$ 太小，它可能无法容纳秘密，或者容易被一些代数攻击（例如，通过对多项式方程组的求解）攻破。但“太大”本身并不会直接导致不安全，除非它被不当使用，或者与其他安全脆弱的组件结合。

经人点拨想到，因为多项式模p，所以a=0~p-1，一共t项，所以系数a有p^t种可能性，p为多项式大，则p^t也为多项式大，则系数可以被穷举。