怎样测量天体的质量?

测量天体的质量，是天文学中最基本也最关键的任务之一。由于我们无法直接将天体“放在”秤上称重，天文学家们必须巧妙地利用物理定律和天文观测来推算出它们的质量。这个过程可以根据天体的类型（恒星、行星、星系等）以及我们所拥有的观测条件而有所不同，但核心原理都是基于引力作用。

下面我将详细介绍几种主要的测量天体质量的方法：

一、 基于牛顿万有引力定律

这是测量天体质量最普遍、最重要的方法。牛顿的万有引力定律指出，任何两个有质量的物体之间都存在引力，这个引力的大小与它们的质量乘积成正比，与它们之间距离的平方成反比。数学表达式为：

$F = G frac{m_1 m_2}{r^2}$

其中：
$F$ 是引力的大小。
$G$ 是万有引力常数（一个已知且非常小的数值）。
$m_1$ 和 $m_2$ 是两个物体的质量。
$r$ 是两个物体质心之间的距离。

测量天体质量的关键在于，我们需要有一个“已知”质量的参照物，或者能够测量出引力作用对天体造成的影响。

1. 测量恒星质量的方法

恒星的质量是它们最根本的属性，决定了它们的亮度、大小、温度、寿命以及最终的命运。测量恒星质量的方法主要依赖于观测其对其他天体（如行星、伴星或星际物质）的引力作用。

a) 双星系统（Binary Stars）

双星系统是指两颗恒星相互绕转的天体系统。这是测量恒星质量最直接和最精确的方法之一。

观测内容：
轨道周期 ($T$)： 测量两颗恒星相互绕转一周所需的时间。
轨道半长轴 ($a$)： 测量两颗恒星轨道椭圆的平均半径。这通常需要测量它们在天空中的角距离和它们相对于我们（地球）的距离（视差）。如果能测量到它们的径向速度（通过多普勒效应），还可以推算出真实的轨道大小，而不是仅限视平方。
视星等/亮度： 测量恒星的亮度，可以间接推断其质量（尤其是在已知恒星演化模型的情况下）。

测量原理：
我们假设这两颗星（质量为 $M_1$ 和 $M_2$）绕着它们的共同质心转动。根据开普勒第三定律的牛顿形式，我们可以得出：

$T^2 = frac{4pi^2}{G(M_1 + M_2)} a^3$

这个公式告诉我们，如果知道系统的总质量 ($M_1 + M_2$)、轨道周期 ($T$) 和轨道半长轴 ($a$)，我们就可以计算出总质量。

但是，我们想知道的是单颗恒星的质量 ($M_1$ 和 $M_2$)。为此，我们需要知道它们在轨道上的相对位置或运动。

可视化双星 (Visual Binaries):
我们能直接观测到两颗星的轨道运动。通过长期观测，我们可以描绘出它们在天空中的视运动轨道。根据质心运动的规律，我们可以推断出两颗星的质量比例：
$frac{M_1}{M_2} = frac{r_2}{r_1}$
其中 $r_1$ 和 $r_2$ 是它们各自相对于质心的轨道半径。
一旦知道了总质量 ($M_1 + M_2$) 和质量比例 ($frac{M_1}{M_2}$)，就可以分别计算出 $M_1$ 和 $M_2$。

光谱双星 (Spectroscopic Binaries):
我们看不到两颗星的轨道，但通过光谱分析，我们可以看到其中一颗或两颗星的谱线周期性地发生红移和蓝移。这是由于恒星在轨道上向我们靠近（蓝移）或远离（红移）所致。通过分析谱线位移的变化（多普勒效应），我们可以推断出恒星的径向速度。
如果只观测到一颗星的谱线变化（单光谱双星），我们只能得到 $M_1 sin^3 i$（其中 $i$ 是轨道倾角，是未知的），这被称为“质量函数”，一个下限。
如果观测到两颗星的谱线变化（双光谱双星），我们可以同时获得 $M_1 sin^3 i$ 和 $M_2 sin^3 i$，并且根据它们的速度曲线，可以计算出它们各自的轨道半径和周期的关系，从而推导出质量比例 $frac{M_1}{M_2}$。
最终，我们仍然需要轨道倾角 $i$ 来确定精确质量。如果双星系统同时是可视化双星，并且我们可以同时测量到视运动和光谱运动，那么就可以同时测量轨道大小和倾角，从而精确计算出两颗恒星的质量。

食双星 (Eclipsing Binaries):
在这种双星系统中，两颗恒星的轨道平面几乎正好在我们视线的方向上，导致它们会相互遮挡（食）。通过测量它们的亮度随时间的变化（光变曲线），我们可以确定食发生的时间、持续时间和深度。
从光变曲线中，我们可以推断出恒星的相对大小、轨道倾角、表面亮度甚至温度。结合其轨道周期和我们通常可以从光谱双星数据中获得的信息，我们可以更精确地确定它们的质量。例如，通过光变曲线可以确定轨道倾角 $i$，从而解决光谱双星的质量函数问题。

b) 恒星对行星的作用（仅限大质量恒星和探测器）

对于像太阳这样的恒星，其自身质量是巨大的，但要通过其对行星的引力来测量太阳的质量，需要知道行星的轨道信息。

观测内容：
行星的轨道周期 ($T$)： 测量行星绕恒星一周的时间。
行星的轨道半长轴 ($a$)： 测量行星轨道椭圆的平均半径。对于太阳系内的行星，这可以通过各种观测手段精确测量。

测量原理：
假设行星的质量 ($m_p$) 远小于恒星的质量 ($M_s$)，那么恒星可以近似看作是系统质心。行星绕恒星的轨道运动可以近似看作是围绕恒星做圆周运动（或者更准确地说是椭圆运动）。
根据牛顿万有引力定律和圆周运动公式：
恒星对行星的引力 $F = G frac{M_s m_p}{a^2}$
这个引力提供了行星做圆周运动所需的向心力 $F_c = m_p frac{v^2}{a}$。
将轨道速度 $v = frac{2pi a}{T}$ 代入：
$F_c = m_p frac{(2pi a/T)^2}{a} = m_p frac{4pi^2 a}{T^2}$
令 $F = F_c$：
$G frac{M_s m_p}{a^2} = m_p frac{4pi^2 a}{T^2}$
消去行星质量 $m_p$ 和 $a$ 的平方项，得到：
$G frac{M_s}{a^2} = frac{4pi^2 a}{T^2}$
整理后得到：
$M_s = frac{4pi^2 a^3}{G T^2}$
这就是牛顿开普勒第三定律，用来计算中心天体（如太阳）的质量。我们只需要知道行星的轨道半长轴和轨道周期，以及万有引力常数 $G$，就可以计算出恒星的质量。

例子： 测量太阳质量就是基于地球绕太阳的轨道周期（1年）和轨道半长轴（1天文单位）。

c) 质量光度关系 (MassLuminosity Relation)

对于主序星，存在一种经验性的关系：恒星的质量越大，其光度也越大。虽然这不是一种直接的测量方法，但可以用来估算质量，尤其是在无法获得双星数据时。

测量内容： 观测恒星的视星等（亮度）和距离，计算其绝对星等（真实光度）。
测量原理： 建立在大量双星系统中测得的质量和光度数据之上，总结出的经验公式，如 $L propto M^3.5$（这只是一个近似）。
一旦知道了恒星的光度，就可以通过这个关系式反推出它的质量。这种方法存在一定的不确定性，因为它只适用于主序星，并且关系本身也有离散性。

2. 测量行星质量的方法

测量行星质量比测量恒星质量要困难得多，因为行星的质量通常远小于其绕行恒星的质量，它们对恒星的引力作用非常微弱，难以直接测量。

a) 通过卫星的轨道参数

如果行星有卫星绕行，那么测量卫星的轨道参数就可以用来计算行星的质量。

观测内容：
卫星的轨道周期 ($T$)： 测量卫星绕行星一周的时间。
卫星的轨道半长轴 ($a$)： 测量卫星绕行星的轨道半径。

测量原理：
与测量恒星质量类似，根据牛顿万有引力定律和开普勒第三定律：
$M_{planet} = frac{4pi^2 a^3}{G T^2}$
这里 $M_{planet}$ 是行星的质量。
这种方法非常有效，例如，我们可以通过观测木星的四颗伽利略卫星来计算木星的质量。

b) 通过凌星法行星（Transit Method）的光度变化

当一颗系外行星从其恒星前方经过时，会造成恒星亮度的微小下降（凌星）。精确测量这个亮度下降的深度，可以得知行星相对于恒星的大小比例。结合其他方法（如径向速度法）获得的行星质量，可以计算行星的密度。

c) 通过径向速度法行星（Radial Velocity Method）的摆动

系外行星的引力会使恒星在其轨道附近发生微小的摆动（在视线上表现为径向速度的变化）。通过精确测量恒星光谱线的多普勒位移，可以推断出恒星的摆动速度。

测量内容： 恒星的径向速度随时间的变化。
测量原理：
这个摆动是由行星和恒星共同绕着它们的质心转动造成的。恒星的摆动速度与行星的质量、轨道半径和轨道倾角有关。
通过分析恒星的径向速度曲线，我们可以推断出行星的轨道周期、轨道半长轴（或至少其最小值）以及行星质量的最小值（通常表示为 $M_{planet} sin i$）。
如果再结合凌星法的数据，我们就能知道轨道倾角 $i$，从而得到行星的精确质量。

d) 通过引力透镜效应

当一个天体（包括行星）经过另一个遥远天体（如恒星）和我们的视线之间时，其引力会弯曲光线，产生类似透镜的效果，使背景光源的亮度增强或出现多个像。

测量内容： 背景光源（如恒星或遥远星系）的亮度变化或像的位移。
测量原理： 引力透镜效应的强度（放大倍数、像的偏移量）与透镜天体（行星）的质量成正比。通过精确测量引力透镜产生的效果，可以推算出行星的质量。这种方法常用于探测距离非常遥远或质量非常小的天体。

二、 测量行星、矮行星和卫星的质量（直接测量，不依赖引力轨道）

对于我们太阳系内的行星、矮行星和某些大卫星，我们可以利用航天器进行更直接的测量。

方法： 发射探测器飞往这些天体，或者让探测器进入其轨道。
测量内容：
探测器轨道： 精确跟踪探测器在这些天体引力场中的运动轨迹。
探测器速度变化： 在接近或环绕过程中，测量探测器的速度变化。
测量原理：
根据探测器的轨道参数和速度变化，可以应用牛顿万有引力定律（或者在更精确的情况下，考虑天体的形状和质量分布不均，使用更复杂的引力模型）来反推出该天体的总质量。
例如，航天器进入火星轨道后，可以通过高精度跟踪其轨道参数来确定火星的质量。甚至可以通过让探测器探测到火星的局部引力异常，来推断火星内部质量分布是否均匀。

三、 测量星系和星系团的质量

测量星系的质量是一个更复杂的问题，因为它们由数十亿甚至数万亿颗恒星、气体、尘埃以及暗物质组成。

a) 通过星系中恒星的速度（旋转曲线）

星系通常是旋转的。星系边缘的恒星或气体云的运动速度可以用来推算星系的质量。

观测内容：
恒星或气体的径向速度： 通过多普勒效应测量恒星或气体云相对于我们的运动速度。
恒星或气体的空间位置： 确定它们在星系盘上的位置。
测量原理：
根据牛顿万有引力定律，恒星或气体云在星系中心的引力作用下围绕星系中心运动。其轨道速度 $v$ 与星系中心到该点的距离 $r$ 以及星系中心聚集的质量 $M(r)$ 相关：
$v^2 = G frac{M(r)}{r}$
因此，$M(r) = frac{v^2 r}{G}$。
通过测量不同距离上的恒星或气体云的速度，可以绘制出星系的“旋转曲线”（速度随半径的变化图）。

暗物质的证据： 令人惊讶的是，大多数星系的旋转曲线都表明，在星系外围，恒星和气体的运动速度并没有随着距离增加而减慢，而是保持相对稳定，甚至略有上升。按照可见物质（恒星、气体、尘埃）的质量分布计算，速度应该会下降。这表明星系外围存在着大量我们看不见的“暗物质”，它们提供了额外的引力。因此，通过旋转曲线可以估算出星系的总质量，包括暗物质的贡献。

b) 通过星系团中星系的速度（维里定理）

星系团是宇宙中最大的结构之一，包含数百到数千个星系。

观测内容： 测量星系团中各个星系的径向速度。
测量原理：
使用维里定理（Virial Theorem）。维里定理描述了一个由引力束缚的系统的平均动能与平均势能之间的关系。
对于一个处于引力平衡状态的星系团，其总质量 $M_{cluster}$ 可以通过以下方式估算：
$M_{cluster} approx frac{3pi sigma_v^2 R}{G}$
其中：
$sigma_v$ 是星系速度的均方根（一个代表星系在团内运动快慢的量，可以通过测量各星系径向速度的方差得到）。
$R$ 是星系团的半径。
$G$ 是万有引力常数。
这个方法同样受到暗物质的影响，它估算的是包含暗物质在内的总质量。

c) 通过引力透镜效应（星系团）

星系团中的大量可见物质（包括暗物质）会产生强大的引力场，能够弯曲穿过它们的背景星系的光线，形成引力透镜效应。

观测内容： 背景星系的图像被扭曲、放大或复制。
测量原理：
引力透镜效应的强度与透镜（星系团）的总质量成正比。通过测量背景星系的形变程度，可以精确地计算出星系团的总质量。这是目前测量星系团质量最可靠的方法之一，它不受物质可见与否的影响，直接测量引力场的强度。

d) 通过X射线气体

在星系团中，存在高温的弥散X射线气体。这些气体的分布和温度可以提供关于星系团质量的信息。

观测内容： 探测星系团发出的X射线，分析其谱线和强度。
测量原理：
高温气体在星系团的引力场中达到热力学平衡。根据气体压力和引力之间的平衡关系（如热力学压强梯度与引力的平衡），可以推算出星系团的总质量。

四、 测量黑洞质量

黑洞本身不发光，测量其质量通常是通过观测其对周围物质的引力作用来间接进行的。

观测内容：
吸积盘的运动： 观测黑洞周围吸积盘中气体的速度。
恒星的轨道： 观测围绕黑洞运行的恒星的轨道。
喷流的速度和方向： 某些活动星系核的喷流可能与黑洞质量有关。
测量原理：
吸积盘： 如果能观测到吸积盘中气体运动的速度，并知道其距离黑洞的半径，就可以用 $M_{BH} = frac{v^2 r}{G}$ 来计算黑洞质量。这在高分辨率的射电望远镜（如事件视界望远镜）观测中得到应用。
恒星轨道： 对于银河系中心的超大质量黑洞（人马座A），天文学家们通过长期观测其周围恒星（如S2星）的轨道，精确计算出它们的轨道周期和大小。通过牛顿万有引力定律，就可以非常精确地测出中心黑洞的质量。

总结

测量天体质量是一个多学科、多方法的过程，核心都离不开牛顿的万有引力定律。不同的天体类型和观测条件，决定了我们选择何种方法。

双星系统 是测量恒星质量的黄金标准。
卫星轨道 是测量行星和矮行星质量的最有效方法。
恒星的旋转曲线和星系团的引力透镜效应 是目前估算星系和星系团总质量（包括暗物质）的最重要方法。
围绕黑洞的物质轨道 是测量黑洞质量的关键。

随着观测技术的不断进步，例如更灵敏的望远镜、更精确的光谱仪、以及新的观测方法（如引力波探测器），我们对天体质量的测量精度也在不断提高，对宇宙的理解也随之加深。

具体的，举个例子