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问题

某个家庭中有 2 个小孩，已知其中一个是女孩，则另一个是男孩的概率是多少？

回答
这个问题是一个经典的概率问题，被称为“小孩问题”或“哪个小孩是女孩”问题。乍一看似乎很简单，但其实包含了对条件概率和样本空间理解的微妙之处。

问题的核心：

问题问的是：在一个有两个小孩的家庭中，已知其中一个是女孩，那么另一个孩子是男孩的概率是多少？

这里的关键在于“已知其中一个是女孩”。这个信息改变了我们观察的样本空间。

分析步骤：

1. 确定所有可能的孩子性别组合（样本空间）：
在一个有两个小孩的家庭里，每个小孩的性别都有两种可能：男孩（B）或女孩（G）。我们可以列出所有可能的组合，通常我们按照孩子出生的先后顺序来排列。

第一个孩子是男孩，第二个孩子是男孩 (BB)
第一个孩子是男孩，第二个孩子是女孩 (BG)
第一个孩子是女孩，第二个孩子是男孩 (GB)
第一个孩子是女孩，第二个孩子是女孩 (GG)

我们假设生男生女的概率是相等的，都是 1/2。因此，这四种组合出现的概率是相等的：
P(BB) = 1/2 1/2 = 1/4
P(BG) = 1/2 1/2 = 1/4
P(GB) = 1/2 1/2 = 1/4
P(GG) = 1/2 1/2 = 1/4

总样本空间是 {BB, BG, GB, GG}，共有 4 种可能性。

2. 引入已知条件：“其中一个是女孩”。
这个信息排除了那些“两个孩子都不是女孩”的组合。在我们的样本空间 {BB, BG, GB, GG} 中，只有 BB 这个组合不包含任何女孩。所以，BB 这个组合被排除了。

我们现在考虑的新的、缩小了的样本空间只包含那些至少有一个女孩的组合：
BG (第一个是男孩，第二个是女孩)
GB (第一个是女孩，第二个是男孩)
GG (第一个是女孩，第二个是女孩)

这个新的样本空间是 {BG, GB, GG}，共有 3 种可能性。

3. 计算“另一个是男孩”的概率。
在我们缩小了的样本空间 {BG, GB, GG} 中，我们想知道“另一个孩子是男孩”的概率。这意味着我们寻找那些除了已知是女孩之外，另一个孩子是男孩的组合。

BG： 其中一个是女孩（第二个），另一个是男孩（第一个）。符合条件。
GB： 其中一个是女孩（第一个），另一个是男孩（第二个）。符合条件。
GG： 其中一个是女孩（第一个），另一个也是女孩（第二个）。不符合“另一个是男孩”的条件。

所以，在 {BG, GB, GG} 这个样本空间里，满足“另一个是男孩”的组合是 BG 和 GB。

4. 计算概率：
在新的样本空间 {BG, GB, GG} 中，有 3 个等可能的结果。其中有 2 个结果是“另一个孩子是男孩”。

因此，另一个孩子是男孩的概率是：
有利结果的数量 / 总的可能结果的数量 = 2 / 3

更严谨的条件概率解释：

我们可以使用条件概率的公式来计算：
P(A|B) = P(A and B) / P(B)

让事件 B 为：“家庭中有两个小孩，其中一个是女孩”。
让事件 A 为：“家庭中有两个小孩，其中一个是男孩”。

我们要计算的是 P(A|B)，即在事件 B 发生的条件下，事件 A 发生的概率。

事件 B 的集合： {BG, GB, GG} (至少一个女孩)
P(B) = P(BG) + P(GB) + P(GG) = 1/4 + 1/4 + 1/4 = 3/4

事件 A 和事件 B 同时发生的集合： “家庭中有两个小孩，其中一个女孩，并且其中一个是男孩”。 这意味着家庭的组成是“一男一女”。
这个集合是 {BG, GB}。
P(A and B) = P(BG) + P(GB) = 1/4 + 1/4 = 2/4 = 1/2

计算 P(A|B)：
P(A|B) = P(A and B) / P(B) = (1/2) / (3/4) = (1/2) (4/3) = 4/6 = 2/3

为什么直觉可能出错？

很多人会直觉地认为答案是 1/2。他们的推理可能是这样的：
“既然我已知其中一个是女孩了，那么另一个孩子就好像是独立事件一样，生男生女的概率都是 1/2。”

这种直觉出错的原因在于，它没有正确地重新定义样本空间。当你得知“其中一个是女孩”时，你并不知道是“第一个孩子”是女孩，还是“第二个孩子”是女孩，还是“某一个孩子”是女孩。这个信息的作用是排除“两个都是男孩”的情况，而不是仅仅固定住其中一个孩子的性别。

举个例子来类比：

想象你有三扇门，背后分别藏着：
门 1：一个女孩，一个男孩 (GB)
门 2：一个男孩，一个女孩 (BG)
门 3：两个女孩 (GG)

你被告知“至少有一个女孩”。这意味着门 1 和门 2（以及门 3）都是可能的。 现在问你，你选择的门后面是“一个男孩”的概率是多少？

门 1：有一个男孩 (是)
门 2：有一个男孩 (是)
门 3：没有男孩 (否)

有 2/3 的概率是正确的。

关键点总结：

样本空间： 首先要列出所有可能的组合。
条件信息： 已知条件会缩小样本空间。
精确的条件： 问题中的“已知其中一个是女孩”指的是“至少有一个女孩”，而不是特指第一个或第二个是女孩。

所以，在一个有两个小孩的家庭中，已知其中一个是女孩，则另一个是男孩的概率是 2/3。

网友意见

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2/3

这是条件概率问题，不是独立事件。因为没有说“老大是女儿”或“老二是女儿”。

如果说了“老大是女儿”或“老二是女儿”，则另外一个孩子是男是女自然是独立事件。但没有说，那说的这个女孩既可能是老大也可能是老二。那么另一个小孩的情况就不再是独立事件了。实际上原题准确的描述是：“双子女且至少有一个女儿的家庭之中，子女为一男一女的概率有多大。”

我们来看个简单分析吧

本来100个双子女家庭，应该是平均分布的，也就是（前一个是老大，后一个是老二）

25个女女、25个女男、25个男女、25个男男

被已知条件干掉了“男男”

于是剩下

25个女女、25个女男、25个男女

在这样的情况下，另一个孩子是男孩的概率是（25+25）/（25+25+25）=2/3

类似的问题还有，“已知一个双子女家庭有一个孩子出生在星期二，问另一个孩子也出生在星期二的概率是多少。”

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这个问题是很基本的概率问题，我不想再多解释了。

很多人犯错误的原因是没有搞清楚“其中一个”的含义。

“其中一个是……，那么另一个……”

与

“这个是……，那么另一个”

是截然不同的概念。

“这个……”、“那个/另一个……”是把两个事件分立开了，两个事件各自带上了独特的属性。而“其中一个……”、“另一个……”并没有把两个事件分立开。“这个”描述的是一个特定的事件，而“其中一个”是一次性针对所有事件说的。这种语意上的差异是非常明显的。不能混淆。

所以“其中一个……”、“另一个……”，用更明确的语言讲就是“双子女且至少有一个女儿的家庭之中，子女为一男一女的概率有多大。”

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