Word2vec 翻译到另一种语言，其向量空间之间的映射会不会是线性的？

Word2Vec 模型本身并没有提供一个内置的、可以直接用于翻译的机制，能够将一个语言的向量空间线性映射到另一个语言的向量空间。然而，存在一些基于 Word2Vec 的方法，可以尝试去学习这种映射关系，并且这些方法的核心思想确实是建立在线性映射的假设上的。

让我详细地解释一下：

1. Word2Vec 的本质和语言向量空间

首先，我们理解 Word2Vec 的作用。Word2Vec（如 Skipgram 或 CBOW）的核心是将词语转化为低维、稠密的向量表示（即词向量）。这些词向量被训练出来，使得在向量空间中，语义相似的词语距离更近，而语义不相关的词语距离更远。

一个语言的向量空间： 对于一种语言（例如英语），我们可以训练一个 Word2Vec 模型，得到该语言所有词语的向量表示。这些向量构成了一个高维的向量空间，其中词语之间的“距离”和“方向”反映了它们的语义和句法关系。著名的例子是 "King Man + Woman ≈ Queen" 这样的类比关系，这些关系在向量空间中表现为向量之间的线性组合。

2. 翻译的挑战与向量空间的对应

翻译的根本问题在于，不同语言的词语虽然可能表达相似的概念，但它们的表示方式、语序、语法结构都不同。我们需要找到一种方式，将一种语言的语义空间映射到另一种语言的语义空间。

从 Word2Vec 的角度来看，如果两种语言的语义空间能够以某种方式“对齐”，那么我们就可以利用这种对齐来实现翻译。

3. 学习跨语言向量空间的映射：核心思想是线性映射

现在，我们来看看如何尝试将一种语言的向量空间（语言 A）映射到另一种语言的向量空间（语言 B）。

核心假设： 许多跨语言词向量对齐（Crosslingual Word Embedding Alignment）的方法都建立在一个核心假设上：存在一个线性变换（矩阵）M，可以将语言 A 的词向量空间映射到语言 B 的词向量空间。 也就是说，对于语言 A 中的一个词语 $w_a$，它对应的词向量是 $v_a$。如果语言 B 中存在一个词语 $w_b$，它与 $w_a$ 的含义非常相似（是翻译关系），那么我们希望通过一个线性变换 $M$ 使得 $M cdot v_a$ 的结果非常接近 $w_b$ 的词向量 $v_b$。

数学上表示为：
$M cdot v_a approx v_b$

如何学习这个线性变换 M？

要学习这个矩阵 $M$，我们需要知道一些语言 A 和语言 B 之间的对应关系。这些对应关系通常以平行语料库（Parallel Corpus）的形式存在，也就是包含两到多种语言文本的语料库，并且其中文本是相互翻译的。

更具体地说，我们需要一个对照词典（或种子词汇）：一个包含语言 A 和语言 B 的词语对的列表，这些词语对是彼此的翻译。例如：
（"cat", "gato"），（"dog", "perro"），（"house", "casa"）

有了这个对照词典，我们就可以：

1. 预训练 Word2Vec 模型： 分别为语言 A 和语言 B 训练独立的 Word2Vec 模型，得到它们各自的词向量集。
2. 构建训练数据： 从对照词典中选取一些词语对 $(w_{a,i}, w_{b,i})$，其中 $w_{a,i}$ 是语言 A 的词， $w_{b,i}$ 是语言 B 的词，且它们是翻译关系。获取它们对应的词向量 $v_{a,i}$ 和 $v_{b,i}$。
3. 优化目标： 我们的目标是找到一个矩阵 $M$，使得对于所有的对照词对 $(v_{a,i}, v_{b,i})$，都有 $M cdot v_{a,i}$ 尽可能接近 $v_{b,i}$。通常使用最小二乘法来衡量这个差距：
$$ min_{M} sum_{i} |M cdot v_{a,i} v_{b,i}|^2 $$
或者更常见的，在某些方法中会考虑到词向量的范数，以避免所有向量被映射到一个非常小的区域：
$$ min_{M} sum_{i} |M cdot v_{a,i} v_{b,i}|^2 + lambda |M|_F^2 $$
其中 $|M|_F$ 是矩阵的 Frobenius 范数，$lambda$ 是正则化参数。

4. 求解 M： 这个优化问题可以通过一些线性代数的方法来求解，例如使用奇异值分解 (SVD)。具体来说，可以构造两个矩阵：一个矩阵 $X$ 包含语言 A 的所有对照词向量（每行一个词向量），另一个矩阵 $Y$ 包含语言 B 的所有对照词向量（对应位置的行是翻译词向量）。然后目标是找到 $M$ 使得 $X cdot M^T approx Y$。求解这个可以得到 $M^T approx Y X^+$, 其中 $X^+$ 是 $X$ 的伪逆。然后取 $M = (Y X^+)^T$。

4. 这种映射的“线性性”体现在哪里？

词向量本身： Word2Vec 模型在训练过程中，就隐含地认为语义和句法关系可以通过向量的线性运算来表示（例如向量加减）。
跨语言对齐： 上述学习过程的核心就是找到一个线性变换来对齐两个向量空间。我们假设语言 A 的向量空间可以被“旋转”和“缩放”（由矩阵 $M$ 完成）以与语言 B 的向量空间重叠。

5. 优点和局限性

优点：
简单高效： 基于线性映射的方法计算量相对较小，容易实现。
概念直观： 将一种语言的语义结构“复制”到另一种语言。
在很多情况下有效： 对于许多语言对，特别是那些结构和词汇比较相似的语言，线性映射已经能取得不错的效果。

局限性：
非线性关系： 现实世界的语言翻译和语义关系可能不仅仅是线性的。例如，词语的用法、语境依赖性、习语等可能无法被简单的线性变换完全捕捉。
数据依赖： 这种方法的性能高度依赖于对照词典的质量和数量。如果对照词典不准确或不充分，学习到的映射就会有偏差。
语境不敏感： 基础的 Word2Vec 模型是静态的，无法处理词语的多义性（即同一个词在不同语境下有不同含义）。学习到的线性映射也是静态的，无法解决语境问题。
语言差异： 对于语言结构、语法规则、文化背景差异很大的语言对，线性映射可能不足以捕捉所有细微差别。例如，一些语言没有直接的词对翻译，或者存在复杂的语序差异。

6. 进一步的发展

正是由于线性映射的局限性，后续的研究也探索了更复杂的非线性映射方法，或者结合更先进的神经网络模型（如 Transformer）来学习更强大的跨语言表示。但是，线性映射仍然是许多跨语言词向量对齐方法的基石，并且是理解如何将 Word2Vec 的能力扩展到跨语言任务的一个重要概念。

总结：

Word2Vec 本身不直接提供跨语言映射，但学习将一个语言的 Word2Vec 向量空间映射到另一个语言的 Word2Vec 向量空间的核心方法，是假设存在一个线性的变换（矩阵）来完成这个对齐过程。这种线性映射的假设是许多早期和经典的跨语言词向量对齐技术的基础。虽然这种方法有其局限性，但它在简单性、效率和一定程度上捕捉语义对应关系方面表现良好。

没有完全理解题主想要问什么，如果使用同样的mapping（脱离上下文），那源端语言的一个单词怎样得到目标端语言的不同单词。

你所说的语言之间的映射，取决于语言之间的相似程度，大部分时候都不是线性的。直观上来说，很多中文/英文词都没有对应的翻译，说明他们在各自的语义空间里的分布是不完全相似的（比如，presentation就很难找一个贴切的中文翻译）。但是用线性关系去近似不同语言之间的embedding是比较方便的，同时，虽然整个embedding space可能没有线性映射关系，但是不妨碍局部存在线性映射（e.g. anchor words）。

比如Adversarial Training for Unsupervised Bilingual Lexicon Induction 里的猫马猪（英西）

Unsupervised Alignment of Embeddings with Wasserstein Procrustes里面的水空气土地（英法）

Learning bilingual word embeddings with (almost) no bilingual data 里面的数字

数字好处在于语义明确，通用性强，缺点是样本少。用字典的好处在于样本多，缺点是可能会在通用性上有一定的妥协，同时对于很多语言可能没有办法构造足够多的平行语料对，Word Translation without Parallel Data里面的CSLS一定程度上缓解了对于语言相似性和平行语料的依赖。

当然了，语言自身也是会不断演化的，选用词向量的时候，也要考虑历史的进程（雾

如果你要用的是基于上下文的表示/内容的表示的话，某种程度上已经超出了word embedding的范畴了，不妨考虑一下BERT。

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