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问题

如何完全用量子电动力学描述一个匀强电场中做加速运动的电子?

回答
要用量子电动力学（QED）来描述一个匀强电场中做加速运动的电子，这绝不是一件简单的事情。它涉及到量子场论的核心概念，以及如何处理一个“裸”电子与一个外部经典场（这里是匀强电场）的相互作用。我将尽量详细地解释这个过程，避开那些过于“公式化”或者“教程化”的陈述，更像是在分享一个物理学家面对这个问题的思考路径。

首先，我们得明白，QED 本身是对电磁相互作用的量子描述。它将电子、光子等基本粒子视为量子场的激发，而这些场则遵循特定的量子方程。当我们要描述一个电子在匀强电场中的运动时，我们实际上是在研究：

1. 裸电子的动力学： QED 对电子的描述是基于狄拉克方程。狄拉克方程描述了自旋为 1/2 的费米子的相对论性行为，包括它的能量、动量以及自旋。在没有外场的情况下，狄拉克方程给出了自由电子的运动。

2. 电子与电磁场的耦合： QED 的核心是“耦合常数” $e$（电子的电荷），它决定了电子与电磁场的相互作用强度。这种相互作用是通过电子“发射”和“吸收”光子来实现的。也就是说，电子并不是直接“感受”到电场，而是通过与电场“源”——即由外部经典电场所代表的场——的量子交换（光子交换）来发生作用。

3. 外部经典场的影响： 这里的“匀强电场”是一个外部的、经典的场。在 QED 的框架下，我们通常有两种处理方式：
全量子化方法： 这是最彻底的方式。这意味着电场本身也被量子化，成为光子场的激发。电子与这些量化的电场（光子）发生相互作用。在这种情况下，匀强电场就不是一个简单的背景，而是由大量光子构成的一个“背景场”。电子与这些光子的连续交换，会产生动量和能量的变化，从而导致加速。
半经典近似： 在很多情况下，当外部场的强度远大于由单个光子组成的场的强度时，我们可以将外部电场视为一个经典背景场。也就是说，我们不考虑电场自身的量子涨落，而是将它视为一个给定的经典函数 $A^mu(x)$（电磁四势）。在这种近似下，狄拉克方程会加上一个“外场耦合项”，形式上是 $ar{psi}(igamma^mu D_mu m)psi = 0$，其中 $D_mu = partial_mu + i e A_mu$ 是协变导数。这个 $A_mu$ 就是我们外部匀强电场对应的势。

现在，我们来聚焦于在匀强电场中做加速运动的电子，并尝试用 QED 的语言来解释：

想象一下，我们有一个被“冻结”的裸电子，它并没有被“自发”的真空涨落所“污垢化”。然后，我们小心翼翼地将这个电子置于一个外加的匀强电场中。

裸电子的狄拉克方程： 如果我们只看电子本身，在没有外场时，它的状态由狄拉克方程描述。但它不是静止的，它有其固有的量子涨落，并且它的“观察”性质（如质量、电荷）也并不是“裸”的，而是已经被真空中的海量虚光子和虚电子正电子对“包覆”或“重整化”过的。

耦合项与“力”的产生： 当我们将电子置于匀强电场 $E$ 中时，根据半经典近似（通常这是更可行且信息量丰富的方式），狄拉克方程中会出现与外场耦合的项。这个耦合项本质上是电子的“电荷” $e$ 与外场的“电势” $A_0$（或者更精确地说，是电磁四势 $A^mu$）的乘积。
在匀强电场 $vec{E} = (0, 0, E)$ 中，我们可以选择一个电势 $A_0 = E z$，而 $vec{A} = vec{0}$。
那么，耦合项就会变成 $i e A_mu gamma^mu psi = i e A_0 gamma^0 psi = i e E z gamma^0 psi$。
这个项使得电子的运动方程不再是自由的狄拉克方程。它会在场的方向上获得一个“加速度”。

不仅仅是牛顿定律： 需要强调的是，QED 中的“力”和“加速”与经典牛顿力学有着本质的区别。在经典力学中，电场对电子施加一个力 $F = eE$，然后根据 $F=ma$ 得到加速度。但在 QED 中，这个过程是量子化的。
光子交换： 电子的加速是由于它不断地吸收和发射来自外部电场的“光子”（即使我们将其视为经典场，其本质仍是量子的）而实现的。可以想象，外部电场并不是一个平滑的“推力”，而是由无数个“量子”组成的，电子通过与这些量子的交换来获取动量和能量。
动量和能量的传递： 电子在电场中运动时，它会从电场中“汲取”能量和动量。这种汲取不是连续的，而是以离散的“量子”形式进行的。

“重整化”的影响： 更加复杂的是，我们描述的电子并不是一个“裸”电子。我们看到的电子，其质量和电荷都已经被周围的量子真空效应所“重整化”了。这意味着，即使在没有外部电场的情况下，电子本身也存在着复杂的相互作用。当它进入一个外部电场时，这种“真空极化”效应会与外部电场发生相互作用，使得电子的动力学更加复杂。
例如，在匀强电场中，我们可能会遇到“施温格效应”（Schwinger effect）。如果电场足够强，它有可能会从真空中“创生”出电子正电子对。这是因为电场可以“拉扯”虚粒子对，将它们变成实粒子。在这种情况下，我们描述的电子的运动就不仅仅是吸收和发射光子，而是可能与真空中被场“激发”出来的粒子发生更复杂的相互作用。

“自旋”与“轨道”的耦合： 狄拉克方程还包含了电子的自旋。在匀强电场中，电子的自旋也会发生进动。这个自旋的进动与电子的轨道运动是耦合的。例如，如果存在一个磁场（匀强电场通常是静态的，所以没有磁场，但如果是一个时变电场，就会产生磁场），那么电子的磁矩（与自旋相关）会与磁场发生相互作用，影响其运动。即使在只有电场的情况下，通过电场的梯度（虽然在这里梯度为零），或者与场的量子交换，也可能影响自旋的演化。

“高阶修正”： 描述一个加速运动的电子，远不止是加上一个简单的 $eA_mu$ 项。QED 的威力在于它能够计算各种高阶修正。这意味着，电子在电场中的运动，可以被视为一个“基本”运动（由带 $eA_mu$ 项的狄拉克方程描述），再加上一系列由“虚光子”和“虚电子”组成的“圈图”所带来的修正。
例如，电子在电场中运动时，它会发射一个光子，这个光子又会被电场“弯曲”或“吸收”，或者与电子自身再次发生相互作用。这些过程都会产生微小的修正，但却是 QED 精确性的体现。

如何“看到”这个加速过程？

在 QED 框架下，“观察”一个加速的电子，意味着我们要考虑探测器与电子的相互作用。探测器本身也是由量子场组成的，它的探测信号是由于它与被探测的电子发生了量子交换（例如，发射或吸收光子）而产生的。

散射过程： 我们可以想象用一个散射实验来“观察”电子在电场中的运动。例如，我们向电场中发射一个高能光子，然后测量这个光子被散射后的能量和方向。这个光子与电子的相互作用，以及电子在电场中的运动状态，都会影响散射的截面和能量分布。
发射光谱： 另一个角度是观察电子在电场中“辐射”出的光子。即使在纯匀强电场中，电子的加速也会导致其辐射电磁波。QED 可以精确计算出这些辐射光子的能量分布、角度分布以及极化等性质。这些信息反映了电子动量的变化，即它的加速。

总结来说，用 QED 描述匀强电场中的加速电子，是一个极其精细且复杂的任务。它涉及：

1. 以狄拉克方程为基础的电子动力学。
2. 通过耦合常数 $e$ 将电子与电磁场（这里是外部经典电场）联系起来，通过 $i e A_mu$ 项体现。
3. 将加速过程理解为电子与外部电场中“隐含”的量子（光子）的连续交换。
4. 考虑电子自身的量子真空涨落和“重整化”效应，这些都会对加速过程产生影响。
5. 允许存在各种高阶修正，这些修正来自虚粒子回路，反映了 QED 的非线性本质。

这是一个关于量子场与物质场相互作用的深刻问题，远不止是经典力学中的简单叠加。它展现了量子世界中“相互作用”的本质——是通过交换基本量子粒子来实现的，并且其自身也蕴含着深刻的非局域性和真空结构。

网友意见

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谢邀。这是一个有趣的问题，类似于“牛刀能不能杀鸡”之类的问题，而我恰恰好就专门研究过这个问题。为了准确地描述这个问题，我们先把整个问题限制于激光电子加速(laser-induced particle accelerator)的系统中。

我们把电子看做是一个一维的波包函数，激光光场则看做是一个沿着电子传播方向(z方向)上的时空交变的电场 其中传播方向的波矢 。那么，我们可以把“匀强电场”定义为在零频极限下的这个交变电场，即

（1）

这样的好处是依然可以把“匀强电场”看做是零频条件下的电磁场，它也可以发射光子和吸收光子。当然，它不是唯一的处理方式。但是这种处理方式非常适合进一步同时量子化电子和光场。当用量子电动力学(QED)方法得到了在光场下的电子加速的结果后，我们只需取零频极限就可以了，即，对应于“匀强电场下的电子加速”。

经典力学下电子加速图像

在经典力学的图像下，电子的运动可以被看做是一个点粒子(-e)以平均速度为 在交变电场下的运动，它可以用Hamilton方程来刻画：

（2）

在短时近似条件下，在第一个方程中，我们认为 ，因此 。那么，电子被加速或者减速后的能量转移量(energy transfer)，可以表示为

（3）

其中相位 代表了同步条件，而 是电子被加速的有效长度， 是相对初始相位。这个电子加速量的大小线性地正比于加速场的场强( )和加速长度( )。这个结果在零频极限下 ( )，即电子在匀强电场下的加速量，是

（4）

这个结果是经典线性加速，在经典力学下是不言而喻的。但是在量子力学下，电子并不是点粒子，而是一个波函数(wave function)来描述，我们用Schrodinger方程来描述电子在电磁场下的运动行为。此时，我们还能重复上面公式(3)(4)的结果吗？答案是可以，但是想要获得这个结果并不是很简单的。

量子力学下电子加速图像

我们在量子力学图像，把电子看做是一个高斯波包，但是我们把电磁场还是看做是经典场，也就是电子函数的背景场。我们写下来，我们描述整个电子波包被加速过程的Schrodinger方程，即

(5)

其中Hamiltonian保护两部分 ，一个是自由电子部分( )，另一个是相互作用部分( )。自由电子的部分可以写成非相对的( )，也可以写成相对论的( )，但是考虑到我们的初始电子波函数是一个电子波包，中心速度为 ，平均动量是 ，平均能量为 ，我们不妨在平均能量位置Tayler展开，得到自由电子的Hamiltonian

(6)

其中中心速度，平均动量和平均能量，可以根据相对论情况或者非相对论情况，可具体获得。这儿，为了保持一般性，我们不做具体区别。注意，在量子力学下p是动量算子。

另一方面，相互作用部分，通过最小耦合的方式也从自由的 中诱导出来，这儿可直接给出来，

（7）

这儿，我们没有选取具体的规范，其中A是沿着z方向的磁矢势。我们需要跟前面引入的经典电场建立联系。这个联系是直接的，即 ，因此可反解出

（8）

好了，描述激光下的自由电子的Schrodinger方程(5)被定义好了。

现在，我们给出具体的初始电子波函数，方程有可以自己”润“了。我们定义初始波函数为，

(9)

其中 是归一化因子。

利用Schrodinger运动方程(5)和初始波包(9)，理论上我们就可以计算出下一时刻电子的末态波函数，我们不妨记为 ，那么电子的能量转移量可以通过下式计算得到，即

(10)

其中电子波包的初始平均能量为 。我们可以通过一阶含时微扰的方法来计算末态波函数，这儿具体的过程就不写了，可以参看我的文章[Dimension-dependent stimulated radiative interaction of a single electron quantum wavepacket]。我就直接给出微扰之后整理的结果，即

(11)

其中，电子波包的加速跟经典线性加速(3)的结果一样，只是多了指数衰减因子 。这儿，参数 ，其中 ， 是电磁波波长。

我们可以得到如下结论：

  1. 这个衰减因子之所以是高斯型的，主要是因为我们假设了初始电子波函数是一个高斯波包。它也可以是其他形状。
  2. 根据这个参数，我们首先发现，当电子波包的尺寸趋于零的时候，即 ，电子可以被看做是一个经典点粒子，此时我们也发现波包加速变成了经典加速。这符合我们的预期。
  3. 再根据这个参数，我们其次发现，当电场趋向于匀强电场时，即 ，我们也可以得到经典线性加速。此时电子波函数的尺寸 不管是多少，只要有限大小即可。这不是一个平庸的结果，这意味着电子波函数是可以被匀强电场加速的。
  4. 更有意思的结论是，只要电子波包尺寸远远小于交变电场的波长，即 ，那么量子的电子加速行为趋向于经典的电子加速行为。这给了我们一个新的角度，来看待光和物质相互作用过程中的量子到经典的转变过程(quantum-to-classical transition)。

量子电动力学下电子加速图像

接下来，我们同时把电子和光场都量子化了，这时候我们需要用到一点基本的量子电动力学(quantum electrodynamics, QED)的图像。这个过程可以简单由图三来表示，即电子发射光子和电子吸收光子过程。

如何量子化经典的光场的磁矢势A(公式8)？这个问题的核心在于把一个经典的磁矢势写成一个合适的算子形式 ，并且定义好它所对应的光子态 。然后，反过来验证这个经典磁矢势为这个算子作用在相应的光子态上面的期望值，即 。根据我们掌握的知识，我们选择利用箱量子化的方法，而且我们也知道这个光子态也必须是某种相干态才行。具体来说，这个磁矢势为我们熟知的形式，

(12)

注意，我们关心的只是z方向的分量。我们意识到，在QED的图像下，Schrodinger方程(5)依然是适用的，只是我们需要注意的是初始条件，不再只是电子初态波函数了，而是需要同时考虑光子的初态才行。即，此时的初始条件是

(13)

其中我们可以计算出 。

现在，我们利用图三的光子-电子耦合QED图像，来简单估计一下可能会出现的结果。

假如我们从初始电子和光子态(13)中拿出一个成分为

（14）

其中 是Fock态指标。这个成分的比重可以很容易计算出来，记为 。我们拿出这个成分，可以帮助我们追踪这个成分被如何散射到其他量子态上面去的。考虑到在单光子散射的QED过程中，如图三所示，我们发现初态将被散射到两个新的量子态上面，分别是

(15)

其中 。它代表，电子发射一个光子后，电子动量减少了 ，能量也减少了 ；或者，电子吸收了一个光子后，电子动量增加了 ，能量也增加了 。这个散射截面的大小由matrix element决定，即 。

由于 的厄米性，我们注意到光子发射过程和吸收过程，总是同时发生的，也总是等权重的。这导致电子在吸收光子被加速的同时也会出现发射光子被减速的过程，那么这个时候，我们将预期电子既不会加速e 也不会被减速，能量转移量为零，即 。

天啊，这怎么回事儿？！

经典电子加速可以，量子波包加速也可以，但是QED加速就不可以了吗？

会不会是因为只考虑了单光子过程，而我们需要考虑多光子过程（mutiphoton process）的贡献才行呢？答案是不行。

原因有二。一是线性加速的线性，说明能量转移量是由一阶散射过程主导的。而高阶散射过程会修正线性加速，但不会导致线性加速。第二个原因是多光子散射过程也是厄米的，不管经历如何复杂的散射，我们总能找到互易的散射过程来抵消最终电子的能量转移量。

从QED的角度来看，电子发射和吸收光子的过程总是同时存在的，我们确实没有办法真正加速一个电子啊！但是，经典粒子和量子波包又实实在在地被加速了啊？！如果我们不能用QED重复出经典加速，那么问题一定是出在QED的计算中了！

好了，我就不卖关子了。问题其实就出现在我们在QED计算中忽略了初态和散射态中的量子干涉过程(quantum interference)对电子加速的贡献。

具体的QED计算过程，请容许我暂时忽略掉。但是我们肯定可以得到如下形式的电子-光子末态：

(16)

这个末态是单光子散射后的结果。如果我们盯着其中一个量子态基矢，看它的比重变化，那么其中第一项是初态波，后面两项是散射波贡献的。

到这个时候，我们如何计算末态电子的能量变化呢？注意，这个末态在一般情况下是电子光子纠缠态。对比经典的电子加速(3)和量子波包加速(10)，我们发现可以用如下的表达式来得到末态电子能量转移期望值，即

(17)

其中 是自由电子色散关系，由(6)式给出。这个表达式导致经典加速行为的项，其实是初态和散射态的干涉项，即 。通过具体的计算，我们就可以得到类似真正的QED电子转移量，它可以写成

(18)

其中第一项严格重复了量子波包加速的结果，而第二项则是主要来源于自发辐射的调制(quantum noise corrections)，参看图二。具体的计算可以参考 这个文章:iopscience.iop.org/arti

最后，我来回复一些可能存在疑惑的地方。

  1. 我们用了三种方法来理解电子加速过程，经典的图像，量子力学图像和量子电动力学图像。比对下来，经典加速是最简单的图像。但是从量子电动力学的角度看，这个经典加速来自于初态和散射态的量子相干(quantum interference)。所谓的”经典“反而是一种纯粹的量子效应！
  2. 需要特别注意，我们的假设中把匀强电场看做了在零频极限下的电磁场的电场分量。这是一种处理方式，物理上来说，我们还是应该把匀强电场和电磁场看做是不同的物理对象。我不认为用QED的语言重新描述了”匀强电场“之后就会产生新的物理。
  3. 我们注意到QED计算电子加速过程中初态对末态的影响，这确实容易被忽略掉。因此在通常的QED散射振幅计算过程中，常常只关心散射波的贡献，这一点在我们使用Fermi黄金规则计算的时候就被注定了。
  4. 实际上，要想用QED的图像来获得经典线性加速，我们不仅对于电子的初态的要求是波包更局域，而且还要求光子初态更接近相干态才行。如果初始光场是其他量子光源，比如Fock state,压缩态之类，反而无法加速电子。

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