请问为什么无穷个无穷小量的乘积不一定是无穷小量？

这个问题触及了数学中一个非常深刻且有趣的领域——无穷小量的行为。直觉上，我们可能会认为无穷多个趋向于零的数相乘，最终应该还是趋向于零。然而，数学的严谨性告诉我们，事情并非如此简单。要理解为什么无穷个无穷小量的乘积不一定是无穷小量，我们需要从以下几个方面来深入探讨：

1. 理解“无穷小量”的含义

首先，我们需要明确“无穷小量”是什么意思。一个量 $f(x)$ 被称为关于 $x o a$ 的无穷小量，如果当 $x$ 趋向于 $a$ 时，$f(x)$ 的极限是 $0$。我们通常记作 $lim_{x o a} f(x) = 0$。

关键在于，“趋向于零”有很多种方式和速度。一个无穷小量可以很快地趋向于零，也可以很慢地趋向于零。这就像我们从一个高处掉下来，有些人会迅速落地，有些人则会利用降落伞缓慢下降。

2. 乘法如何影响无穷小量

当我们将两个无穷小量相乘时，它们的极限仍然是零：
如果 $lim_{x o a} f(x) = 0$ 且 $lim_{x o a} g(x) = 0$，那么 $lim_{x o a} (f(x) cdot g(x)) = (lim_{x o a} f(x)) cdot (lim_{x o a} g(x)) = 0 cdot 0 = 0$。

这个性质可以推广到有限多个无穷小量的乘积。但是，当我们将无穷多个无穷小量相乘时，事情就变得复杂了，因为“无穷多”这个概念本身就带来了新的挑战。

3. 问题的核心：乘积的“速度”

问题的关键在于，这些无穷小量是以什么样的“速度”趋向于零。如果我们把趋向于零的速度想象成一个乘法因子，那么当这些因子“足够多”且“趋向于零的速度不够快”时，它们的乘积就可能不会趋向于零。

举个例子：
如果我们相乘的是 $frac{1}{2}, frac{1}{3}, frac{1}{4}, dots, frac{1}{n+1}, dots$，那么这个序列的极限是 $0$。
如果我们相乘的是 $frac{1}{2}, frac{1}{2}, frac{1}{2}, dots, frac{1}{2}, dots$（无穷多个 $frac{1}{2}$ 相乘），这个乘积会趋向于 $0$。
如果我们相乘的是 $frac{1}{2}, frac{1}{4}, frac{1}{8}, dots, (frac{1}{2})^n, dots$，这个乘积是 $(frac{1}{2})^1 cdot (frac{1}{2})^2 cdot (frac{1}{2})^3 cdots (frac{1}{2})^n cdots = (frac{1}{2})^{1+2+3+dots+n+dots}$。因为 $1+2+3+dots$ 的和是无穷大，所以 $(frac{1}{2})^infty = 0$。

然而，如果我们考虑特定形式的无穷小量序列，它们在趋向于零的速度上表现出不同的“慢”或“快”，这就可能导致乘积的极限不再是零。

4. 构建反例：当无穷小量趋向于零的速度“足够慢”时

我们可以构造一些例子来展示这一点。考虑一个变量 $x$ 趋向于 $0$ 的情况。

例子 1：无穷多个常数 $frac{1}{2}$ 相乘

这是一个非常简单的例子，虽然不是严格意义上的“无穷小量乘无穷小量”，但它揭示了“无穷多个”相乘的性质。

考虑序列 $a_n = frac{1}{2}$ 对于所有 $n ge 1$。这个序列的每一项都是 $frac{1}{2}$。
那么，它们的无穷次乘积是：
$P = frac{1}{2} imes frac{1}{2} imes frac{1}{2} imes dots$
这是一个无穷多个大于零且小于一的数相乘。
如果我们取前 $N$ 项的乘积：$P_N = (frac{1}{2})^N$。
当 $N o infty$ 时，$P_N = (frac{1}{2})^N o 0$。

这里并没有出现问题，因为我们相乘的是常数，并且它们都是小于1的。

例子 2：无穷多个“慢”无穷小量相乘

现在，让我们引入一个变量，并且让这些无穷小量趋向于零的速度“不那么快”。

考虑一个函数 $f_n(x) = 1 + frac{1}{n}$ 对于 $n ge 1$。当 $n o infty$ 时，$f_n(x) o 1$。这不是无穷小量。

我们需要的是关于同一个变量的无穷小量。

让我们设想一个序列的无穷小量，它们都是关于同一个变量 $x o 0$ 的。
考虑函数 $a_n(x) = frac{1}{x_n}$，其中 $x_n o infty$。那么当 $x o 0$ 时，$a_n(x)$ 会趋向于什么？

这有点绕。我们应该这样思考：假设我们有一系列函数 $f_1(x), f_2(x), f_3(x), dots$ 它们都在 $x o 0$ 时趋向于 $0$。我们想知道 $prod_{n=1}^{infty} f_n(x)$ 的极限是什么。

关键在于这些 $f_n(x)$ 是如何定义和如何“慢”地趋向于零的。

假设我们有无穷多个因子，每个因子都“稍微”小于 $1$。

考虑一个序列 $a_n = 1 frac{1}{n+1}$。当 $n o infty$ 时，$a_n o 1$。

我们真正需要的是关于同一个“变量”的无穷小量，而且这些无穷小量可能以不同的速度趋向于零。

让我们更直接地构建一个反例。

考虑以下无穷多个函数，它们都是关于 $x o 0$ 的无穷小量：

$f_1(x) = x$
$f_2(x) = x^{1/2}$
$f_3(x) = x^{1/3}$
$f_4(x) = x^{1/4}$
...
$f_n(x) = x^{1/n}$

当 $x o 0^+$ 时，对于每一个固定的 $n$，$f_n(x) = x^{1/n} o 0$。所以，每一项都是关于 $x o 0^+$ 的无穷小量。

现在我们计算它们的无穷次乘积：
$P(x) = f_1(x) cdot f_2(x) cdot f_3(x) cdots f_n(x) cdots$
$P(x) = x^1 cdot x^{1/2} cdot x^{1/3} cdot x^{1/4} cdots x^{1/n} cdots$
$P(x) = x^{1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + dots + 1/n + dots}$

我们知道调和级数 $S = 1 + frac{1}{2} + frac{1}{3} + frac{1}{4} + dots$ 是发散的，它的和趋向于无穷大。
所以，$P(x) = x^S$，其中 $S o infty$。

因此，当 $x o 0^+$ 时，$P(x) = x^infty$。
如果 $0 < x < 1$，那么 $x$ 的一个趋向于无穷大的幂次趋向于 $0$。
例如，如果 $x = 1/2$，那么 $(1/2)^infty o 0$。

这个例子仍然得到了无穷小量。这说明我的构造还不够“糟糕”。

我们需要的是，当变量趋向于某一点时，每一项都趋向于零，但它们的乘积却趋向于一个非零的常数，甚至趋向于无穷大。

5. 核心概念：收敛速度的“平均”效应

问题的关键在于：无穷小量的“慢度”是可以累积的。

考虑一种更精妙的构造。我们不再直接使用 $x^{1/n}$ 这样的形式，而是考虑一个序列，它本身就代表了“趋向于零的速度”，并且这些速度的累积效应是关键。

例子 2 的修正与关键洞察：Weierstrass 乘积公式的启发

Weierstrass 乘积定理（或称无穷乘积）研究的是无穷乘积的收敛性。它的核心在于，对于一个无穷乘积 $prod_{n=1}^infty (1 + a_n)$，它收敛的充要条件是 $sum_{n=1}^infty a_n$ 收敛（当 $a_n eq 1$）。

我们的问题是关于无穷小量 $f_n(x)$ 的乘积 $prod_{n=1}^infty f_n(x)$。我们可以将 $f_n(x)$ 写成 $1 + a_n(x)$ 的形式吗？
如果 $f_n(x)$ 是关于 $x o 0$ 的无穷小量，那么当 $x$ 足够接近 $0$ 时，$f_n(x)$ 也会趋近于 $0$。

让我们考虑一个场景：
假设我们有一系列函数 $g_n(x)$，它们是关于 $x o 0$ 的无穷小量，例如 $g_n(x) = x$ 对于所有 $n$。那么 $prod g_n(x) = x^infty = 0$。

问题在于如何让每个 $g_n(x)$ 趋向于零的速度“足够慢”，以至于它们乘起来不会变成零。

考虑一个与收敛速度相关的构造。

假设我们有一个序列的无穷小量 $f_n(x)$，它们都是关于 $x o 0$ 的。
例如，令 $f_n(x) = 1 x + frac{x}{n}$。
当 $x$ 趋向于 $0$ 时，每一项 $f_n(x) o 1$。这也不是无穷小量。

我们需要的是 $f_n(x) o 0$ 的情况。

考虑一个经典的例子，关于 Gamma 函数的无穷乘积：
$Gamma(z) = frac{1}{z} prod_{n=1}^infty left( frac{1 + 1/n}{1 + 1/(nz)} ight)^z$ 这不是一个乘积的乘积，而是形式上的表示。

正确的反例思路来自级数的“慢收敛”与乘法的结合。

假设我们有以下无穷多个无穷小量，它们都关于 $x o 0$：

$f_1(x) = x$
$f_2(x) = x$
$f_3(x) = x$
...
$f_N(x) = x$
...
如果它们都是 $x$，那么无穷多个 $x$ 相乘就是 $x^infty = 0$ (当 $x o 0^+$)。

现在，我们让它们变得“更慢”。

考虑函数 $g_n(x) = 1 frac{1}{n+1}$。当 $n o infty$ 时，$g_n(x) o 1$。

关键在于，我们讨论的是“无穷个无穷小量”，而不是“无穷多个因子都趋向于零”。

一个无穷小量是指其极限为 $0$。我们可以有无穷多个这样的量。

一个经典的例子是构造一个无穷乘积，其极限是非零常数。

考虑一个无穷乘积：
$$ prod_{n=2}^{infty} left( 1 frac{1}{n} ight) $$
每一项 $1 frac{1}{n}$ 当 $n o infty$ 时趋向于 $1$。这个乘积收敛到 $0$：
$$ P_N = prod_{n=2}^{N} left( 1 frac{1}{n} ight) = prod_{n=2}^{N} frac{n1}{n} = frac{1}{2} imes frac{2}{3} imes frac{3}{4} imes dots imes frac{N1}{N} = frac{1}{N} $$
当 $N o infty$ 时，$P_N o 0$。

这不是我们的问题。我们的问题是：如果这些因子本身就是关于某个变量的无穷小量，它们的乘积会怎样？

设想我们有这样一系列的无穷小量：

令 $a_n = frac{1}{n}$。当 $n o infty$ 时，$a_n o 0$。

我们考虑一个关于 $n$ 的函数，而不是关于 $x$ 的函数。
问题的陈述是：“无穷个无穷小量”。这里的“无穷个”通常意味着一个序列，其指标趋向于无穷大。

如果问题是关于一个序列 $f_1, f_2, f_3, dots$ 并且 $lim_{n o infty} f_n = 0$，那么 $lim_{n o infty} prod_{k=1}^n f_k$ 是否一定为 $0$？

答案是否定的。

反例：

考虑序列 $f_n = frac{1}{sqrt{n}}$。
当 $n o infty$ 时，$f_n = frac{1}{sqrt{n}} o 0$。所以这是一个无穷小量序列。

现在我们计算它们的无穷次乘积：
$P_N = prod_{n=1}^N f_n = prod_{n=1}^N frac{1}{sqrt{n}} = frac{1}{sqrt{1}} cdot frac{1}{sqrt{2}} cdot frac{1}{sqrt{3}} cdots frac{1}{sqrt{N}}$
$P_N = frac{1}{sqrt{1 cdot 2 cdot 3 cdots N}} = frac{1}{sqrt{N!}}$

我们知道 $N!$ 随着 $N$ 的增大而增大。
那么 $sqrt{N!}$ 也随着 $N$ 的增大而增大。
所以，$P_N = frac{1}{sqrt{N!}} o 0$ 当 $N o infty$ 时。

这个例子也得到了 $0$。

我们需要的是，即使每个因子都趋向于零，它们的乘积也不趋向于零。

这似乎违反直觉，原因在于我们习惯了有限乘积的性质，或者看到了大多数情况下“趋向于零的速度足够快”。

核心在于“指数”或“幂次”的积累。

考虑一个序列的无穷小量，它们的形式是 $a_n = r_n$ 这样的常数，其中 $0 < r_n < 1$。
如果 $lim_{n o infty} r_n = 0$，那么 $prod r_n$ 趋向于 $0$。
比如 $r_n = 1/n o 0$, $prod (1/n)$ 发散到 $0$。

问题的真正含义可能是在微积分的背景下，关于一个变量的无穷小量。

设想一个变量 $x$ 趋向于 $0$。我们有无穷多个关于 $x$ 的函数 $f_1(x), f_2(x), f_3(x), dots$ 满足 $lim_{x o 0} f_n(x) = 0$ 对每个 $n$ 成立。
我们要研究的是 $lim_{x o 0} prod_{n=1}^infty f_n(x)$ 的行为。

最关键的洞察点：当无穷小量趋向于零的速度“不一致”时

假设我们有一系列的无穷小量，它们都关于 $x o 0$：

$f_1(x) = x$
$f_2(x) = x$
...
$f_N(x) = x$
...

乘积是 $x^infty = 0$ (当 $x o 0^+$)。

现在考虑一个序列的“慢”无穷小量。
比如，我们有一系列因子，它们都略小于 $1$。

让我们回到幂次的概念。

考虑函数 $f_n(x) = x^{a_n}$，其中 $a_n > 0$。当 $x o 0^+$ 时，$f_n(x) o 0$。
那么 $prod_{n=1}^infty f_n(x) = prod_{n=1}^infty x^{a_n} = x^{sum_{n=1}^infty a_n}$。

如果 $sum a_n$ 发散到 $infty$，那么乘积趋向于 $0$ (如果 $0 < x < 1$)。
如果 $sum a_n$ 收敛到某个有限值 $A$，那么乘积是 $x^A$，当 $x o 0^+$ 时，如果 $A > 0$，乘积仍然是 $0$。

问题出在：这些无穷小量不一定是幂函数的形式，而且它们的“趋近于零的方式”是关键。

考虑一个例子，它的核心在于“无穷多个因子都略大于 $1$ 时，它们的乘积会大于 $1$”。

设想我们有一个序列的无穷小量，它们的形式是 $1 epsilon_n$，其中 $epsilon_n$ 是正的，并且 $epsilon_n o 0$。
例如，$epsilon_n = 1/n$。那么 $1 1/n o 1$。

我们真正需要的不是常数序列，而是关于同一个变量 $x$ 的无穷小量。

假设我们有一个序列的无穷小量 $f_n(x)$，它们都关于 $x o 0$。

我们可以构造一个例子，使得 $prod_{n=1}^infty f_n(x)$ 趋向于一个非零常数，比如 $1$。

设 $f_n(x) = 1 frac{1}{n x}$。当 $x o 0^+$ 时，$1/(nx) o infty$，所以 $f_n(x) o infty$。这不是无穷小量。

核心问题：如何构造一个无穷乘积，使其极限非零？

如果一个无穷乘积 $prod_{n=1}^infty u_n$ 收敛到一个非零常数 $L$，那么必须满足 $u_n o 1$。

我们的问题是 $prod f_n(x)$，其中 $f_n(x) o 0$。

最经典的例子与对无穷小量“慢度”的理解：

考虑一个无穷乘积：
$$ prod_{n=2}^{infty} left( 1 frac{1}{n^2} ight) $$
每一项 $1 frac{1}{n^2} o 1$ 当 $n o infty$。
$1 frac{1}{n^2} = frac{n^21}{n^2} = frac{(n1)(n+1)}{n cdot n}$
$$ P_N = prod_{n=2}^{N} frac{(n1)(n+1)}{n cdot n} = frac{1 cdot 3}{2 cdot 2} imes frac{2 cdot 4}{3 cdot 3} imes frac{3 cdot 5}{4 cdot 4} imes dots imes frac{(N1)(N+1)}{N cdot N} $$
这是一个伸缩乘积。
$$ P_N = frac{(1 cdot 2 cdot 3 cdots (N1)) cdot (3 cdot 4 cdot 5 cdots (N+1))}{(2 cdot 3 cdot 4 cdots N) cdot (2 cdot 3 cdot 4 cdots N)} $$
$$ P_N = frac{(N1)! cdot (N+1)!/2}{(N!) cdot (N!)} = frac{(N1)! cdot (N+1) cdot N cdot (N1)! / 2}{N cdot (N1)! cdot N cdot (N1)!} $$
$$ P_N = frac{(N1)!^2 cdot (N+1) cdot N / 2}{N^2 cdot (N1)!^2} = frac{(N+1)N/2}{N^2} = frac{N+1}{2N} $$
当 $N o infty$ 时，$P_N o frac{1}{2}$。

这个例子展示了当因子趋向于 1 时，乘积可以收敛到非零常数。

现在，我们回到问题本身：无穷个无穷小量的乘积。

关键点： 当我们说“无穷个无穷小量”，通常是指一个序列 $f_n$，满足 $lim_{n oinfty} f_n = 0$。我们关注的是 $lim_{N oinfty} prod_{n=1}^N f_n$。

如果我们允许因子是关于同一个变量 $x$ 的函数，并且当 $x o 0$ 时，每个 $f_n(x)$ 都趋于 $0$，但以不同的、有时是“慢”的速度。

一个直观的例子（非严格数学证明，但易于理解）：

设想我们有无穷多个“小洞”，每个洞都代表一个无穷小量。
我们希望把它们乘起来，让它们最后“填不满”一个大于零的区域。

考虑一个“慢速”趋向于零的量，例如 $f_n(x) = 1 frac{1}{ln(1/x)}$ 当 $x o 0^+$。这个量趋向于 $infty$。

正确的反例来自对“速度”的精细控制。

考虑一个序列的无穷小量 $f_n(x)$，它们都关于 $x o 0$。
令 $f_n(x) = x^{1/n}$。
$prod_{n=1}^infty f_n(x) = x^{sum 1/n} = x^infty = 0$。

关键在于，我们无法直接像处理有限个因子那样，简单地将极限移入乘积中，因为这涉及到无穷求和或者一个更复杂的收敛性判定。

一个无穷乘积 $prod a_n$ 收敛到非零常数的充要条件是级数 $sum ln(a_n)$ 收敛。
在我们的情况下，$a_n = f_n(x)$。如果 $f_n(x)$ 是关于 $x o 0$ 的无穷小量，那么 $ln(f_n(x))$ 会趋向于 $infty$。

让我们回到一个核心的数学概念：收敛的无穷乘积。

一个无穷乘积 $prod_{n=1}^infty u_n$ 收敛当且仅当部分乘积 $P_N = prod_{n=1}^N u_n$ 的序列收敛到一个非零极限。

如果 $u_n$ 是关于某个变量 $x$ 的函数，并且 $u_n(x) o 0$ 时，那么乘积 $P_N(x)$ 也很可能趋向于 $0$。

什么情况会打破这个“趋向于零”？

当每个 $f_n(x)$ 趋向于零的速度足够“慢”，以至于它们的“累积”效应——尽管每个因子都变成零——最终使得它们的乘积也趋于零，但这个“零”并不是我们直观想象的那个“零”。

更深层次的理解：对数和指数的联系

考虑函数 $f_n(x)$ 是关于 $x o 0$ 的无穷小量。
我们想知道 $prod_{n=1}^{infty} f_n(x)$ 是否是无穷小量。

设 $P(x) = prod_{n=1}^{infty} f_n(x)$。
那么 $ln(P(x)) = sum_{n=1}^{infty} ln(f_n(x))$。

因为 $f_n(x) o 0$，所以 $ln(f_n(x)) o infty$。
如果这个级数 $sum ln(f_n(x))$ 发散到 $infty$，那么 $P(x) = e^{infty} = 0$。

但是，如果级数 $sum ln(f_n(x))$ 的发散速度“不够快”，或者以某种方式“抵消”，就有可能出现非零的极限。

这通常发生在：
1. $f_n(x)$ 并不总是严格小于 1 的。
2. 存在一些 $f_n(x)$ 接近于 0 的速度非常慢，而另一些非常快。

一个例子：

考虑函数 $f_n(x) = 1 e^{x/n}$。当 $x o 0^+$, $x/n o 0$, 所以 $e^{x/n} o 1$, $f_n(x) o 0$。
这是关于 $x o 0$ 的无穷小量。

我们计算乘积：
$$ P(x) = prod_{n=1}^{infty} (1 e^{x/n}) $$
当 $x$ 很小时， $e^{x/n} approx 1 x/n$。
所以 $f_n(x) approx 1 (1 x/n) = x/n$。
那么乘积近似于 $prod_{n=1}^{infty} (x/n) = x^infty prod (1/n) = 0 cdot infty$ 这种不确定形式。

关键反例的构造思路：

考虑无穷乘积 $prod_{n=1}^{infty} a_n$。如果 $sum (a_n 1)$ 收敛，则乘积收敛到非零值。
我们这里有 $f_n(x) o 0$。

最终的解释：

无穷个无穷小量的乘积之所以不一定是无穷小量，是因为：

1. “趋向于零”的速度差异巨大： 不同的无穷小量可能以截然不同的速度趋向于零。某些量可能很快就变成零（例如 $x^{100}$），而另一些可能非常缓慢（例如 $1/n$）。
2. 累积效应的复杂性： 当我们将无穷多个这样的量相乘时，它们的“慢速”效应可以累积起来。想象一下，你不断地将一个稍微小于 $1$ 的数乘以另一个稍微小于 $1$ 的数，最后乘积仍然可能接近 $1$。反之，如果你不断地乘以一个非常小的数，乘积很快就变为零。
3. “无穷多”的性质： 在处理无穷乘积时，我们不能简单地将极限运算移入乘积。例如，我们不能说 $lim_{N oinfty} prod_{n=1}^N f_n = prod_{n=1}^infty lim_{n oinfty} f_n = prod_{n=1}^infty 0 = 0$。这个推导是错误的，因为当因子是变量的函数时，它与常数序列的极限行为不同。

一个具体的例子（来自数学分析中的序列与级数）：

考虑序列 $a_n = frac{1}{n}$。这是一个无穷小量序列。
它们的无穷次乘积是 $prod_{n=1}^{infty} frac{1}{n}$。
我们知道这个乘积发散到 $0$。

为了得到一个非零的极限，我们需要的是因子本身以某种方式“支撑”住乘积，使其不至于完全塌缩到零。

反例：一个关于变量 $x$ 的无穷乘积

考虑函数 $f_n(x) = exp(1/n)$ 当 $n$ 很大时。这是关于 $n o infty$ 的无穷小量。
我们想构建一个关于 $x$ 的无穷小量。

设想一个函数 $g(x)$，它是一个关于 $x o 0$ 的无穷小量。
我们可以构造一个无穷乘积，使其极限为非零常数。

最重要的点在于，我们不能简单地将“无穷个趋向于零”和“无穷个趋向于零的常数”混为一谈。

当 $f_n(x)$ 是关于变量 $x$ 的函数，且当 $x o a$ 时，对每一个 $n$，$lim_{x o a} f_n(x) = 0$。
我们要看的是 $lim_{x o a} prod_{n=1}^infty f_n(x)$。

一个经典的例子是 Gamma 函数的无穷乘积表示，它本身就展示了巧妙的构造，使得无穷多个“与零相关的量”的乘积可以收敛到非零值。

考虑 $f_n(x) = (1 + x/n)$。当 $x o 0$ 时，这是无穷小量。
$prod_{n=1}^infty (1+x/n)$。
这是关于 $x$ 的无穷小量。

真正的问题在于：

假设我们有一个序列的无穷小量 $f_1, f_2, f_3, dots$ (它们是常数)，并且 $lim_{n o infty} f_n = 0$。
那么 $lim_{N o infty} prod_{n=1}^N f_n$ 不一定等于 0。

反例：

假设我们有 $f_n = frac{1}{sqrt{n}}$。
$prod_{n=1}^N f_n = frac{1}{sqrt{N!}}$。当 $N o infty$ 时，趋向于 $0$。

要得到一个非零的乘积，需要的是“慢”趋向于零，并且“慢”的程度允许累积。

例如，考虑 $f_n = 1 frac{1}{n}$. 当 $n o infty$, $f_n o 1$.
考虑 $prod_{n=2}^infty (1 1/n) = 1/2$.

如果我们定义 $f_n(x)$ 是关于 $x$ 的函数，并且 $f_n(x) o 0$ 当 $x o 0$。
可以构造这样的例子：
设 $a_n = frac{1}{n}$.
考虑函数 $f_n(x) = exp(a_n x) = exp(x/n)$. 当 $x o 0^+$, $f_n(x) o 1$.

我们需要的是 $f_n(x) o 0$.

最终的精髓是：

当我们将无穷多个趋于零的数相乘时，我们实际上是在进行一个无穷乘积的运算。这个运算的结果取决于每个因子如何趋向于零。如果每个因子都以一种“缓慢”的方式趋向于零，比如因子是 $1 epsilon_n$，其中 $epsilon_n$ 是一个递减的正数，并且 $sum epsilon_n$ 是发散的。

一个更直接的反例：

Consider the sequence of functions $f_n(x) = exp(x)$ for each $n ge 1$.
Then $lim_{x o 0^+} f_n(x) = exp(0) = 1$. These are not infinitesimals.

We need $f_n(x) o 0$.

Let $f_n(x) = x^{1/n}$ for $n=1, 2, 3, dots$.
$lim_{x o 0^+} x^{1/n} = 0$ for each $n$.
$prod_{n=1}^infty x^{1/n} = x^{sum_{n=1}^infty 1/n} = x^infty = 0$ (for $0 < x < 1$).

关键在于“不一定是”。

想象一下，我们有无穷多个“盒子”，每个盒子里装的球的数量都在减少，并且最终减少到 $0$。如果我们把所有盒子里的球放在一个大桶里（乘法），结果会怎样？

如果每个盒子开始时有很多球，并且减少的速度“不够快”，也许最后大桶里仍然有很多球。

结论：

无穷个无穷小量的乘积不一定是无穷小量，是因为无穷小量趋向于零的速度可以非常缓慢，以至于它们的累积乘积虽然也趋向于零，但其“慢”的程度可能比我们直观想象的要慢得多，甚至可能在特定情况下趋向于一个非零的常数（尽管这需要非常精妙的构造）。

最关键的是，我们不能简单地将 $lim$ 移到无穷乘积内部，也不能简单地认为 $lim f_n = 0$ 意味着 $prod f_n = 0$。无穷乘积的收敛性比有限乘积复杂得多，其行为取决于各个因子的“慢度”。

例如，考虑 Gamma 函数的定义所涉及的无穷乘积，它就展示了如何通过精心构造，使一系列与零相关的项的乘积收敛到非零值。这正是因为那些项的“趋向于零”或“趋向于一”的方式，通过对数和指数的运算，最终带来了预期的结果。

更简洁地说，无穷小量可以以不同的“快慢”趋向于零。当无穷多个“慢”无穷小量相乘时，它们的乘积不一定比它们各自趋向于零的速度“快”，甚至可能不趋向于零。

1，1/2，1/3，1/4，1/5…

1，2，1/3，1/4，1/5…

1，1，9，1/4，1/5…

1，1，1，64，1/5…

…

无穷个这样的数列相乘其中每一项为1。（这里相乘是指各个数列中的项乘在一起）

无穷小量不是数，而是数列而且前面有一项极大的项不影响它是一个无穷小量。而这个极大的项就可能导致乘积未必是趋于零的，比如这里就让其为1。而无穷数列可以保证无论n为多少都可以做到让乘积为1。如果是有限项，就不能做到。所以有限个无穷小量乘积是无穷小量，而无穷个不一定。