请问如何用微积分去思考双杆模型？
双杆模型的微积分视角：从运动方程到能量优化
双杆模型，这个看似简单的结构，却蕴含着丰富的物理学和数学原理。当我们将微积分的强大工具引入其中，便能深刻理解其运动规律，甚至找到最优的控制策略。本文将尝试用一种更接地气的方式，剥开双杆模型那层神秘的面纱，看看微积分是如何在其中大显身手的。
1. 回顾：双杆模型到底是什么？
在我们深入微积分的海洋之前，先简单回顾一下双杆模型是什么。想象一下，有两个长度固定的杆，它们通过一个铰链连接在一起。一端连着一个固定点（我们称之为基座），另一端的末端则自由活动。这个“自由活动”的一端，我们通常会赋予它一个质量，这使得系统不再只是简单的几何形状，而是充满了动力学的趣味。
你可以把它们想象成你的手臂，肘部是那个铰链，肩膀是基座。你可以挥舞手臂，让末端的手自由移动。或者，你可以把它想象成一个机器人手臂的简化模型，研究如何精确控制末端的位置。
2. 搭建舞台：用坐标系和角度描述状态
要用微积分来描述一个物体，首先需要一套“坐标系”，就像给物体安一个家一样。对于双杆模型，我们通常会选择极坐标系来描述每个杆的状态。
基座 (Base): 我们将其固定在原点 $(0,0)$。
第一个杆 (Rod 1): 它的长度是 $L_1$。我们用一个角度 $ heta_1$ 来描述它相对于水平方向的倾斜程度。杆的末端（也就是第一个铰链）的位置就可以用 $(L_1 cos heta_1, L_1 sin heta_1)$ 来表示。
第二个杆 (Rod 2): 它的长度是 $L_2$。它连接在第一个杆的末端。现在，第二个杆的角度描述就需要参考第一个杆了。我们用一个相对角度 $ heta_2$ 来描述第二个杆相对于第一个杆的倾斜程度。所以，第二个杆相对于水平方向的总角度就是 $ heta_1 + heta_2$。第二个杆的末端（也就是我们通常关心的自由末端）的位置 $(x, y)$ 就可以表示为：
$x = L_1 cos heta_1 + L_2 cos ( heta_1 + heta_2)$
$y = L_1 sin heta_1 + L_2 sin ( heta_1 + heta_2)$
这里的 $x$ 和 $y$ 是两个杆末端在笛卡尔坐标系下的位置。
有了这些描述，我们就为双杆模型搭建了一个可以用数学语言交流的平台。 $ heta_1$ 和 $ heta_2$ 这两个角度，就是我们系统的“状态变量”。它们决定了整个模型的构型。
3. 动态的韵律：速度、加速度与牛顿定律
光有位置还不够，我们还关心它怎么动。微积分最擅长的就是描述变化，而变化的速度就是它的“求导”能力。
角速度 (Angular Velocity): 我们对角度 $ heta_1$ 和 $ heta_2$ 关于时间 $t$ 求导，就能得到它们的角速度：
$omega_1 = frac{d heta_1}{dt}$
$omega_2 = frac{d heta_2}{dt}$
角速度描述了杆相对于连接点旋转的速度。
角加速度 (Angular Acceleration): 我们再次对角速度求导，就能得到角加速度：
$alpha_1 = frac{domega_1}{dt} = frac{d^2 heta_1}{dt^2}$
$alpha_2 = frac{domega_2}{dt} = frac{d^2 heta_2}{dt^2}$
角加速度描述了角速度的变化率，它与外力或力矩密切相关。
在双杆模型中，通常会考虑两种情况：
自由运动 (Free Motion): 当杆上没有施加任何外力或力矩时，其运动完全由重力和杆之间的连接决定。在这种情况下，我们需要借助拉格朗日方程 (Lagrangian Equation) 或者牛顿第二定律 (Newton's Second Law) 来描述杆的运动。这通常涉及到计算杆的动能 (Kinetic Energy) 和势能 (Potential Energy)，然后通过拉格朗日量 $L = T V$ (动能减势能) 来导出描述 $ heta_1$ 和 $ heta_2$ 随时间变化的微分方程。这些微分方程会非常复杂，通常是二阶非线性微分方程组，例如：
$m_1 ddot{x}_1 = dots$
$m_2 ddot{x}_2 = dots$
其中 $x_1, y_1$ 是第一个杆末端的位置，$x_2, y_2$ 是第二个杆末端的位置，由于这些位置都依赖于 $ heta_1$ 和 $ heta_2$，我们最终会得到关于 $ddot{ heta}_1$ 和 $ddot{ heta}_2$ 的方程，这需要复杂的链式法则和三角函数求导。
受控运动 (Controlled Motion): 当我们希望控制双杆的末端运动到某个目标位置时，就需要向杆上施加力矩（Torque）。设 $T_1$ 和 $T_2$ 分别是施加在第一个和第二个杆上的力矩。牛顿第二定律可以转化为力矩平衡方程：
$sum ext{Torque} = I alpha$
其中 $I$ 是转动惯量 (Moment of Inertia)，$alpha$ 是角加速度。对于双杆模型，我们需要计算杆在自身轴上的转动惯量，以及由于重力和另一个杆的作用而产生的复合力矩。最终推导出来的微分方程会包含 $T_1$ 和 $T_2$ 这两个控制变量。例如，一个简化的方程形式可能是这样的（实际推导会更复杂）：
$A( heta_1, heta_2) ddot{ heta}_1 + B( heta_1, heta_2) ddot{ heta}_2 + C( heta_1, heta_2, dot{ heta}_1, dot{ heta}_2) = T_1$
$D( heta_1, heta_2) ddot{ heta}_1 + E( heta_1, heta_2) ddot{ heta}_2 + F( heta_1, heta_2, dot{ heta}_1, dot{ heta}_2) = T_2$
这里的 $A, B, C, D, E, F$ 都是与 $ heta_1, heta_2, dot{ heta}_1, dot{ heta}_2$ 相关的复杂函数。这就是微积分在描述运动方程中的核心作用——通过对位置随时间的导数关系，构建起描述系统动态演化的数学模型。
4. 能量的视角：最优控制与变分法
除了描述如何运动，我们还常常关心“怎么才能让它动得最好”。这时候，微积分的另一项强大工具——变分法 (Calculus of Variations) 就派上用场了。变分法的核心思想是，在所有可能的运动轨迹中，找到使得某个“性能指标”（例如总耗能、达到目标的时间等）达到极值的轨迹。
假设我们想让双杆末端从初始位置 $(x_0, y_0)$ 运动到目标位置 $(x_f, y_f)$，并且我们希望在这个过程中消耗的能量最少。这个“能量”可以是施加在杆上的力矩所做的功。
目标函数 (Objective Function): 我们需要定义一个目标函数 $J$，它表示整个运动过程中的“成本”。例如，如果我们关心力矩的平方和（这与能量消耗相关），那么目标函数可能是：
$J = int_0^T (T_1^2 + T_2^2) dt$
这里 $T$ 是运动的总时间。
变分法与欧拉拉格朗日方程 (EulerLagrange Equation): 变分法的核心是求解使目标函数 $J$ 达到极值的函数（在这里是控制力矩 $T_1(t)$ 和 $T_2(t)$）。这通常通过求解欧拉拉格朗日方程来实现。对于我们的问题，我们需要引入一个拉格朗日乘子 (Lagrange Multiplier) 来处理运动方程的约束。
我们构造一个“增广的拉格朗日量”：
$mathcal{L}(T_1, T_2, heta_1, heta_2, dot{ heta}_1, dot{ heta}_2, lambda_1, lambda_2) = int_0^T (T_1^2 + T_2^2) dt + int_0^T [lambda_1 (A ddot{ heta}_1 + B ddot{ heta}_2 + C T_1) + lambda_2 (D ddot{ heta}_1 + E ddot{ heta}_2 + F T_2)] dt$
其中 $lambda_1$ 和 $lambda_2$ 是拉格朗日乘子，它们的作用是确保在整个积分过程中，运动方程始终成立。
然后，我们对 $mathcal{L}$ 的各个变量（包括控制力矩 $T_1, T_2$ 和状态变量 $ heta_1, heta_2$）进行变分，并令其导数为零，就可以得到一系列方程。特别是，通过对 $T_1$ 和 $T_2$ 的变分，我们可以得到：
$frac{partial mathcal{L}}{partial T_1} = 0 implies 2T_1 lambda_1 = 0 implies T_1 = frac{1}{2}lambda_1$
$frac{partial mathcal{L}}{partial T_2} = 0 implies 2T_2 lambda_2 = 0 implies T_2 = frac{1}{2}lambda_2$
这告诉我们，最优的控制力矩与拉格朗日乘子成正比。
更关键的是，通过对 $ heta_1$ 和 $ heta_2$ 进行变分，结合运动方程的约束，我们会得到关于 $lambda_1$ 和 $lambda_2$ 的微分方程。这些方程以及我们上面导出的力矩表达式，会构成一个更完整的系统，通过求解这个系统，我们就能找到使能量消耗最小的最优控制力矩。
这种基于能量最小化的最优控制问题，在机器人学、航空航天等领域非常常见，而变分法正是解决这类问题的强大数学工具。
5. 展望：更广阔的微积分世界
上面只是对双杆模型中微积分应用的初步探讨。实际上，微积分的触角还能延伸到更多方面：
状态反馈控制 (State Feedback Control): 如果我们知道系统的实时状态（即 $ heta_1, dot{ heta}_1, heta_2, dot{ heta}_2$），我们可以设计一个控制律，让控制力矩 $T_1, T_2$ 成为状态的函数，例如 $T_1 = k_1 heta_1 + k_2 dot{ heta}_1 + dots$。这涉及到设计合适的反馈增益 $k_i$，通常需要分析系统的稳定性，这又会用到线性代数和微分方程理论中的许多微积分概念（例如特征值、稳定性判据）。
数值方法 (Numerical Methods): 由于双杆模型的运动方程通常是复杂的非线性微分方程组，我们很难直接求出解析解。这时，我们就需要借助微积分的数值积分方法（如欧拉法、龙格库塔法）来近似求解这些方程，从而模拟出系统的运动轨迹。
李雅普诺夫稳定性分析 (Lyapunov Stability Analysis): 为了判断系统的稳定性（例如，一个平衡点是否稳定），我们可能会构建一个李雅普诺夫函数 $V( heta_1, heta_2, dot{ heta}_1, dot{ heta}_2)$，并分析其随时间的变化率 $dot{V}$。如果 $dot{V}$ 总是负的或零，那么系统就是稳定的。对 $V$ 的求导过程，又会用到微积分的偏导数等。
总结来说，微积分不仅仅是计算导数和积分的工具，它更是理解和描述动态系统变化的语言。在双杆模型中，从描述状态的几何关系，到推导描述运动的动力学方程，再到优化运动策略的变分法，微积分无处不在，展现出其在科学工程领域的强大魅力。它让我们能够“看到”杆的运动轨迹，理解“为什么”它会那样运动，甚至指导我们如何“让它”按我们期望的方式运动。
双杆模型，这个看似简单的结构，却蕴含着丰富的物理学和数学原理。当我们将微积分的强大工具引入其中，便能深刻理解其运动规律，甚至找到最优的控制策略。本文将尝试用一种更接地气的方式，剥开双杆模型那层神秘的面纱，看看微积分是如何在其中大显身手的。
1. 回顾：双杆模型到底是什么？
在我们深入微积分的海洋之前，先简单回顾一下双杆模型是什么。想象一下，有两个长度固定的杆，它们通过一个铰链连接在一起。一端连着一个固定点（我们称之为基座），另一端的末端则自由活动。这个“自由活动”的一端，我们通常会赋予它一个质量，这使得系统不再只是简单的几何形状，而是充满了动力学的趣味。
你可以把它们想象成你的手臂，肘部是那个铰链，肩膀是基座。你可以挥舞手臂，让末端的手自由移动。或者，你可以把它想象成一个机器人手臂的简化模型，研究如何精确控制末端的位置。
2. 搭建舞台：用坐标系和角度描述状态
要用微积分来描述一个物体，首先需要一套“坐标系”，就像给物体安一个家一样。对于双杆模型，我们通常会选择极坐标系来描述每个杆的状态。
基座 (Base): 我们将其固定在原点 $(0,0)$。
第一个杆 (Rod 1): 它的长度是 $L_1$。我们用一个角度 $ heta_1$ 来描述它相对于水平方向的倾斜程度。杆的末端（也就是第一个铰链）的位置就可以用 $(L_1 cos heta_1, L_1 sin heta_1)$ 来表示。
第二个杆 (Rod 2): 它的长度是 $L_2$。它连接在第一个杆的末端。现在，第二个杆的角度描述就需要参考第一个杆了。我们用一个相对角度 $ heta_2$ 来描述第二个杆相对于第一个杆的倾斜程度。所以，第二个杆相对于水平方向的总角度就是 $ heta_1 + heta_2$。第二个杆的末端（也就是我们通常关心的自由末端）的位置 $(x, y)$ 就可以表示为：
$x = L_1 cos heta_1 + L_2 cos ( heta_1 + heta_2)$
$y = L_1 sin heta_1 + L_2 sin ( heta_1 + heta_2)$
这里的 $x$ 和 $y$ 是两个杆末端在笛卡尔坐标系下的位置。
有了这些描述，我们就为双杆模型搭建了一个可以用数学语言交流的平台。 $ heta_1$ 和 $ heta_2$ 这两个角度，就是我们系统的“状态变量”。它们决定了整个模型的构型。
3. 动态的韵律：速度、加速度与牛顿定律
光有位置还不够，我们还关心它怎么动。微积分最擅长的就是描述变化，而变化的速度就是它的“求导”能力。
角速度 (Angular Velocity): 我们对角度 $ heta_1$ 和 $ heta_2$ 关于时间 $t$ 求导，就能得到它们的角速度：
$omega_1 = frac{d heta_1}{dt}$
$omega_2 = frac{d heta_2}{dt}$
角速度描述了杆相对于连接点旋转的速度。
角加速度 (Angular Acceleration): 我们再次对角速度求导，就能得到角加速度：
$alpha_1 = frac{domega_1}{dt} = frac{d^2 heta_1}{dt^2}$
$alpha_2 = frac{domega_2}{dt} = frac{d^2 heta_2}{dt^2}$
角加速度描述了角速度的变化率，它与外力或力矩密切相关。
在双杆模型中，通常会考虑两种情况：
自由运动 (Free Motion): 当杆上没有施加任何外力或力矩时，其运动完全由重力和杆之间的连接决定。在这种情况下，我们需要借助拉格朗日方程 (Lagrangian Equation) 或者牛顿第二定律 (Newton's Second Law) 来描述杆的运动。这通常涉及到计算杆的动能 (Kinetic Energy) 和势能 (Potential Energy)，然后通过拉格朗日量 $L = T V$ (动能减势能) 来导出描述 $ heta_1$ 和 $ heta_2$ 随时间变化的微分方程。这些微分方程会非常复杂，通常是二阶非线性微分方程组，例如：
$m_1 ddot{x}_1 = dots$
$m_2 ddot{x}_2 = dots$
其中 $x_1, y_1$ 是第一个杆末端的位置，$x_2, y_2$ 是第二个杆末端的位置，由于这些位置都依赖于 $ heta_1$ 和 $ heta_2$，我们最终会得到关于 $ddot{ heta}_1$ 和 $ddot{ heta}_2$ 的方程，这需要复杂的链式法则和三角函数求导。
受控运动 (Controlled Motion): 当我们希望控制双杆的末端运动到某个目标位置时，就需要向杆上施加力矩（Torque）。设 $T_1$ 和 $T_2$ 分别是施加在第一个和第二个杆上的力矩。牛顿第二定律可以转化为力矩平衡方程：
$sum ext{Torque} = I alpha$
其中 $I$ 是转动惯量 (Moment of Inertia)，$alpha$ 是角加速度。对于双杆模型，我们需要计算杆在自身轴上的转动惯量，以及由于重力和另一个杆的作用而产生的复合力矩。最终推导出来的微分方程会包含 $T_1$ 和 $T_2$ 这两个控制变量。例如，一个简化的方程形式可能是这样的（实际推导会更复杂）：
$A( heta_1, heta_2) ddot{ heta}_1 + B( heta_1, heta_2) ddot{ heta}_2 + C( heta_1, heta_2, dot{ heta}_1, dot{ heta}_2) = T_1$
$D( heta_1, heta_2) ddot{ heta}_1 + E( heta_1, heta_2) ddot{ heta}_2 + F( heta_1, heta_2, dot{ heta}_1, dot{ heta}_2) = T_2$
这里的 $A, B, C, D, E, F$ 都是与 $ heta_1, heta_2, dot{ heta}_1, dot{ heta}_2$ 相关的复杂函数。这就是微积分在描述运动方程中的核心作用——通过对位置随时间的导数关系，构建起描述系统动态演化的数学模型。
4. 能量的视角：最优控制与变分法
除了描述如何运动，我们还常常关心“怎么才能让它动得最好”。这时候，微积分的另一项强大工具——变分法 (Calculus of Variations) 就派上用场了。变分法的核心思想是，在所有可能的运动轨迹中，找到使得某个“性能指标”（例如总耗能、达到目标的时间等）达到极值的轨迹。
假设我们想让双杆末端从初始位置 $(x_0, y_0)$ 运动到目标位置 $(x_f, y_f)$，并且我们希望在这个过程中消耗的能量最少。这个“能量”可以是施加在杆上的力矩所做的功。
目标函数 (Objective Function): 我们需要定义一个目标函数 $J$，它表示整个运动过程中的“成本”。例如，如果我们关心力矩的平方和（这与能量消耗相关），那么目标函数可能是：
$J = int_0^T (T_1^2 + T_2^2) dt$
这里 $T$ 是运动的总时间。
变分法与欧拉拉格朗日方程 (EulerLagrange Equation): 变分法的核心是求解使目标函数 $J$ 达到极值的函数（在这里是控制力矩 $T_1(t)$ 和 $T_2(t)$）。这通常通过求解欧拉拉格朗日方程来实现。对于我们的问题，我们需要引入一个拉格朗日乘子 (Lagrange Multiplier) 来处理运动方程的约束。
我们构造一个“增广的拉格朗日量”：
$mathcal{L}(T_1, T_2, heta_1, heta_2, dot{ heta}_1, dot{ heta}_2, lambda_1, lambda_2) = int_0^T (T_1^2 + T_2^2) dt + int_0^T [lambda_1 (A ddot{ heta}_1 + B ddot{ heta}_2 + C T_1) + lambda_2 (D ddot{ heta}_1 + E ddot{ heta}_2 + F T_2)] dt$
其中 $lambda_1$ 和 $lambda_2$ 是拉格朗日乘子，它们的作用是确保在整个积分过程中，运动方程始终成立。
然后，我们对 $mathcal{L}$ 的各个变量（包括控制力矩 $T_1, T_2$ 和状态变量 $ heta_1, heta_2$）进行变分，并令其导数为零，就可以得到一系列方程。特别是，通过对 $T_1$ 和 $T_2$ 的变分，我们可以得到：
$frac{partial mathcal{L}}{partial T_1} = 0 implies 2T_1 lambda_1 = 0 implies T_1 = frac{1}{2}lambda_1$
$frac{partial mathcal{L}}{partial T_2} = 0 implies 2T_2 lambda_2 = 0 implies T_2 = frac{1}{2}lambda_2$
这告诉我们，最优的控制力矩与拉格朗日乘子成正比。
更关键的是，通过对 $ heta_1$ 和 $ heta_2$ 进行变分，结合运动方程的约束，我们会得到关于 $lambda_1$ 和 $lambda_2$ 的微分方程。这些方程以及我们上面导出的力矩表达式，会构成一个更完整的系统，通过求解这个系统，我们就能找到使能量消耗最小的最优控制力矩。
这种基于能量最小化的最优控制问题，在机器人学、航空航天等领域非常常见，而变分法正是解决这类问题的强大数学工具。
5. 展望：更广阔的微积分世界
上面只是对双杆模型中微积分应用的初步探讨。实际上，微积分的触角还能延伸到更多方面：
状态反馈控制 (State Feedback Control): 如果我们知道系统的实时状态（即 $ heta_1, dot{ heta}_1, heta_2, dot{ heta}_2$），我们可以设计一个控制律，让控制力矩 $T_1, T_2$ 成为状态的函数，例如 $T_1 = k_1 heta_1 + k_2 dot{ heta}_1 + dots$。这涉及到设计合适的反馈增益 $k_i$，通常需要分析系统的稳定性，这又会用到线性代数和微分方程理论中的许多微积分概念（例如特征值、稳定性判据）。
数值方法 (Numerical Methods): 由于双杆模型的运动方程通常是复杂的非线性微分方程组，我们很难直接求出解析解。这时，我们就需要借助微积分的数值积分方法（如欧拉法、龙格库塔法）来近似求解这些方程，从而模拟出系统的运动轨迹。
李雅普诺夫稳定性分析 (Lyapunov Stability Analysis): 为了判断系统的稳定性（例如，一个平衡点是否稳定），我们可能会构建一个李雅普诺夫函数 $V( heta_1, heta_2, dot{ heta}_1, dot{ heta}_2)$，并分析其随时间的变化率 $dot{V}$。如果 $dot{V}$ 总是负的或零，那么系统就是稳定的。对 $V$ 的求导过程，又会用到微积分的偏导数等。
总结来说，微积分不仅仅是计算导数和积分的工具，它更是理解和描述动态系统变化的语言。在双杆模型中，从描述状态的几何关系，到推导描述运动的动力学方程，再到优化运动策略的变分法，微积分无处不在，展现出其在科学工程领域的强大魅力。它让我们能够“看到”杆的运动轨迹，理解“为什么”它会那样运动，甚至指导我们如何“让它”按我们期望的方式运动。
网友意见
先罗列一下涉及到的主要公式。
也就是说 ，从这个方向上就可以列出微分方程。
有外力等距双棒
联立得
两式相减得
简记为
显然，这是一个一阶线性微分方程，解得 ，由初值条件 得
代回到 式即可解出 与 的解析式：
随便取几个常数的值（这里全部取1），画出 的函数图像如下：
根据函数解析式，因为其中有指数这一项，加速度永远不会恒定。但是当t足够大时，可以将 这一项近似等于0，那么
这种近似下就可以视为加速度恒定，同时有
这与题主给的图中的结论一致。
无外力等距双棒
就是把上面的分析过程稍微改一改，去掉外力F，改一下初值条件，其他解法几乎完全相同。此处从略，留作习题。
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