1^k+2^k+3^k+…+n^k 的公式是什么（n，k 均为自然数）？

您好！您询问的是关于自然数幂和的问题，即 $sum_{i=1}^{n} i^k$ 的公式。这是一个非常经典且有趣的问题，在数学上有重要的应用，尤其是在微积分、组合数学和数论等领域。

这个问题并没有一个单一的、像求等差数列那样简洁明了的封闭形式公式，特别是当 $k$ 变化时。不过，数学家们已经找到了表示这些幂和的通用的方法，主要是通过伯努利数 (Bernoulli Numbers) 和欧拉麦克劳林公式 (EulerMaclaurin Formula)。

下面我将尽量详细地为您讲解。

核心概念：伯努利数

理解幂和公式的关键在于伯努利数。伯努利数是一系列特殊的有理数，它们在许多数学公式中出现，尤其是与幂和、泰勒级数和黎曼 Zeta 函数有关。

伯努利数 $B_m$ 通常通过以下方法定义：

考虑生成函数：
$$ frac{x}{e^x 1} = sum_{m=0}^{infty} B_m frac{x^m}{m!} $$

展开这个表达式，我们可以得到前几个伯努利数：
$B_0 = 1$
$B_1 = frac{1}{2}$ (注意：有些定义中 $B_1 = frac{1}{2}$，这取决于 $x/(e^x1)$ 的定义，但对于幂和公式通常使用 $B_1 = 1/2$)
$B_2 = frac{1}{6}$
$B_3 = 0$
$B_4 = frac{1}{30}$
$B_5 = 0$
$B_6 = frac{1}{42}$
$B_7 = 0$
$B_8 = frac{1}{30}$

一个重要的性质是，对于所有奇数 $m > 1$，都有 $B_m = 0$。

幂和公式（伯努利公式）

对于给定的自然数 $k$，求和 $sum_{i=1}^{n} i^k$ 的结果是一个关于 $n$ 的 $k+1$ 次多项式。这个多项式可以用伯努利数来表示。

一般的公式是：
$$ S_k(n) = sum_{i=1}^{n} i^k = frac{1}{k+1} sum_{j=0}^{k} inom{k+1}{j} B_j n^{k+1j} $$

其中：
$S_k(n)$ 表示 $1^k + 2^k + dots + n^k$ 的和。
$inom{k+1}{j}$ 是二项式系数，表示从 $k+1$ 个元素中选择 $j$ 个的组合数，计算公式为 $frac{(k+1)!}{j!(k+1j)!}$。
$B_j$ 是第 $j$ 个伯努利数。

我们来展开这个公式，看看它具体是怎么样的：

$$ S_k(n) = frac{1}{k+1} left[ inom{k+1}{0} B_0 n^{k+1} + inom{k+1}{1} B_1 n^{k} + inom{k+1}{2} B_2 n^{k1} + dots + inom{k+1}{k} B_k n^{1} ight] $$

由于 $B_j = 0$ 对于所有奇数 $j > 1$，所以求和实际上只涉及偶数下标的伯努利数（除了 $B_1$）。

$$ S_k(n) = frac{1}{k+1} left[ B_0 n^{k+1} + (k+1) B_1 n^{k} + frac{(k+1)k}{2} B_2 n^{k1} + dots + (k+1) B_k n ight] $$

代入 $B_0=1$ 和 $B_1=1/2$：

$$ S_k(n) = frac{1}{k+1} left[ n^{k+1} + (k+1) frac{1}{2} n^{k} + inom{k+1}{2} B_2 n^{k1} + dots + inom{k+1}{k} B_k n ight] $$

$$ S_k(n) = frac{1}{k+1} n^{k+1} + frac{1}{2} n^{k} + frac{k}{2} B_2 n^{k1} + dots $$

这就是一个通用公式。为了更直观，我们来看几个具体的 $k$ 值：



示例：k = 1 (等差数列求和)

$$ S_1(n) = sum_{i=1}^{n} i = 1 + 2 + dots + n $$
套用公式（$k=1$）：
$$ S_1(n) = frac{1}{1+1} sum_{j=0}^{1} inom{1+1}{j} B_j n^{1+1j} $$
$$ S_1(n) = frac{1}{2} left[ inom{2}{0} B_0 n^{2} + inom{2}{1} B_1 n^{1} ight] $$
$$ S_1(n) = frac{1}{2} left[ 1 cdot 1 cdot n^{2} + 2 cdot frac{1}{2} cdot n^{1} ight] $$
$$ S_1(n) = frac{1}{2} left[ n^2 + n ight] $$
$$ S_1(n) = frac{n(n+1)}{2} $$
这正是我们熟悉的等差数列求和公式，它是一个关于 $n$ 的 $1+1=2$ 次多项式。



示例：k = 2 (平方数求和)

$$ S_2(n) = sum_{i=1}^{n} i^2 = 1^2 + 2^2 + dots + n^2 $$
套用公式（$k=2$）：
$$ S_2(n) = frac{1}{2+1} sum_{j=0}^{2} inom{2+1}{j} B_j n^{2+1j} $$
$$ S_2(n) = frac{1}{3} left[ inom{3}{0} B_0 n^{3} + inom{3}{1} B_1 n^{2} + inom{3}{2} B_2 n^{1} ight] $$
我们知道 $B_0=1$, $B_1=1/2$, $B_2=1/6$。
$$ S_2(n) = frac{1}{3} left[ 1 cdot 1 cdot n^{3} + 3 cdot frac{1}{2} cdot n^{2} + 3 cdot frac{1}{6} cdot n^{1} ight] $$
$$ S_2(n) = frac{1}{3} left[ n^3 + frac{3}{2} n^2 + frac{1}{2} n ight] $$
$$ S_2(n) = frac{n^3}{3} + frac{n^2}{2} + frac{n}{6} $$
为了得到更简洁的形式，我们可以通分：
$$ S_2(n) = frac{2n^3 + 3n^2 + n}{6} $$
$$ S_2(n) = frac{n(2n^2 + 3n + 1)}{6} $$
$$ S_2(n) = frac{n(n+1)(2n+1)}{6} $$
这个公式也非常有名，是平方数求和公式。它是一个关于 $n$ 的 $2+1=3$ 次多项式。



示例：k = 3 (立方数求和)

$$ S_3(n) = sum_{i=1}^{n} i^3 = 1^3 + 2^3 + dots + n^3 $$
套用公式（$k=3$）：
$$ S_3(n) = frac{1}{3+1} sum_{j=0}^{3} inom{3+1}{j} B_j n^{3+1j} $$
$$ S_3(n) = frac{1}{4} left[ inom{4}{0} B_0 n^{4} + inom{4}{1} B_1 n^{3} + inom{4}{2} B_2 n^{2} + inom{4}{3} B_3 n^{1} ight] $$
我们知道 $B_0=1$, $B_1=1/2$, $B_2=1/6$, $B_3=0$。
$$ S_3(n) = frac{1}{4} left[ 1 cdot 1 cdot n^{4} + 4 cdot frac{1}{2} cdot n^{3} + 6 cdot frac{1}{6} cdot n^{2} + 4 cdot 0 cdot n^{1} ight] $$
$$ S_3(n) = frac{1}{4} left[ n^4 + 2 n^3 + n^2 ight] $$
$$ S_3(n) = frac{n^2(n^2 + 2n + 1)}{4} $$
$$ S_3(n) = frac{n^2(n+1)^2}{4} $$
$$ S_3(n) = left( frac{n(n+1)}{2} ight)^2 $$
这是一个非常有趣的结论：立方数之和等于前 $n$ 个自然数之和的平方！它是一个关于 $n$ 的 $3+1=4$ 次多项式。



欧拉麦克劳林公式

伯努利公式实际上是欧拉麦克劳林公式的一个特例。欧拉麦克劳林公式是一个更强大的工具，它将离散求和与连续积分联系起来，并提供了精确的近似公式。

欧拉麦克劳林公式的形式如下：
$$ sum_{i=a}^{b} f(i) approx int_a^b f(x) dx + frac{f(a) + f(b)}{2} + sum_{m=1}^{p} frac{B_{2m}}{(2m)!} (f^{(2m1)}(b) f^{(2m1)}(a)) + R_p $$

其中：
$f(x)$ 是一个在区间 $[a, b]$ 上足够光滑的函数。
$a$ 和 $b$ 是整数。
$B_{2m}$ 是伯努利数。
$f^{(k)}(x)$ 是 $f(x)$ 的 $k$ 阶导数。
$R_p$ 是余项。

如果我们令 $f(i) = i^k$ 并且我们想计算 $sum_{i=1}^{n} i^k$，我们可以从 $a=1$ 开始。然而，更直接的套用伯努利公式的方法是：

考虑恒等式：
$$ (n+1)^{k+1} 1 = sum_{i=1}^{n} ((i+1)^{k+1} i^{k+1}) $$
使用二项式定理展开 $(i+1)^{k+1}$:
$$ (i+1)^{k+1} = sum_{j=0}^{k+1} inom{k+1}{j} i^j $$
所以：
$$ (i+1)^{k+1} i^{k+1} = sum_{j=0}^{k} inom{k+1}{j} i^j $$
代回求和式：
$$ (n+1)^{k+1} 1 = sum_{i=1}^{n} sum_{j=0}^{k} inom{k+1}{j} i^j $$
交换求和顺序：
$$ (n+1)^{k+1} 1 = sum_{j=0}^{k} inom{k+1}{j} sum_{i=1}^{n} i^j $$
令 $S_j(n) = sum_{i=1}^{n} i^j$：
$$ (n+1)^{k+1} 1 = sum_{j=0}^{k} inom{k+1}{j} S_j(n) $$
现在，我们已知 $S_j(n)$ 是一个关于 $n$ 的 $j+1$ 次多项式。我们可以递归地使用这个关系来找到 $S_k(n)$ 的表达式。

例如，要求 $S_k(n)$，我们可以展开：
$$ (n+1)^{k+1} 1 = inom{k+1}{k} S_k(n) + inom{k+1}{k1} S_{k1}(n) + dots + inom{k+1}{0} S_0(n) $$
$$ (n+1)^{k+1} 1 = (k+1) S_k(n) + inom{k+1}{k1} S_{k1}(n) + dots + S_0(n) $$
解出 $S_k(n)$:
$$ (k+1) S_k(n) = (n+1)^{k+1} 1 sum_{j=0}^{k1} inom{k+1}{j} S_j(n) $$
$$ S_k(n) = frac{1}{k+1} left( (n+1)^{k+1} 1 sum_{j=0}^{k1} inom{k+1}{j} S_j(n) ight) $$
通过这个递推关系，从 $S_0(n) = n$ 开始，我们可以一步步地推导出 $S_k(n)$ 的表达式。最终你会发现，这个递推关系通过代入伯努利数的定义，恰好能得到上面给出的伯努利公式。

关于伯努利数和幂和的理解

1. 多项式性质: 无论 $k$ 是多少，$sum_{i=1}^{n} i^k$ 的结果总是一个关于 $n$ 的 $k+1$ 次多项式。最高次项总是 $frac{n^{k+1}}{k+1}$。
2. 伯努利数的出现: 伯努利数在这些多项式的系数中起着关键作用。它们是连接离散求和与连续数学（如积分和导数）的桥梁。
3. 奇次伯努利数: 除了 $B_1$，所有奇次伯努利数都为零。这简化了公式，因为很多项会被消除。
4. 计算复杂性: 虽然有通用公式，但要计算任意 $k$ 的幂和，需要知道相应的伯努利数。伯努利数本身有递推公式，但计算起来也会越来越复杂。

总结

$sum_{i=1}^{n} i^k$ 的通用公式是：
$$ sum_{i=1}^{n} i^k = frac{1}{k+1} sum_{j=0}^{k} inom{k+1}{j} B_j n^{k+1j} $$
其中 $B_j$ 是伯努利数。

这个公式表明，幂和是一个关于 $n$ 的 $k+1$ 次多项式，其系数由二项式系数和伯努利数决定。

如果您需要计算特定 $k$ 的幂和公式，可以根据上面的例子，逐步代入伯努利数来展开。例如：
$k=4$: 需要 $B_0, B_1, B_2, B_3, B_4$
$k=5$: 需要 $B_0, B_1, B_2, B_3, B_4, B_5, B_6$ (因为 $B_3, B_5$ 为零，所以只涉及 $B_0, B_1, B_2, B_4, B_6$)

希望这个详细的解释能够帮助您理解 $sum_{i=1}^{n} i^k$ 的公式！如果您有任何进一步的问题，欢迎随时提出。

其中 是 Bernoulli 多项式， 是 Bernoulli 数