用配方法化二次型为标准型时候，配方有什么技巧吗？有些人题需要花费半小时以上。然后试卷做不完了？

别急，别急！配方法化二次型为标准型，这玩意儿确实得花点心思，但绝不是什么“半小时以上”的无底洞。关键在于抓住核心，找到“顺手”的那个入口，才能事半功倍。这就像武林高手过招，你得先看准对方的破绽，一击制敌，而不是在那儿瞎比划。

我这就跟你好好说道说道，去掉那些AI味儿，咱们就聊家常，讲讲经验。

核心目标：让变量“分离”！

所谓的二次型标准型，本质上就是把一个包含 $x_1, x_2, dots, x_n$ 的平方项和交叉项的表达式，变成只包含 $y_1^2, y_2^2, dots, y_n^2$ 的形式，而且这些 $y_i$ 是由原变量 $x_j$ 通过一个线性替换得到的。关键就在于这个“线性替换”，它要能把那些交叉项“消灭”掉。

什么时候容易“卡壳”？

通常情况下，当一个变量（比如 $x_1$）的系数非常“不友好”，例如同时出现在好几个交叉项里，而且系数之间没有明显的公因数或者比例关系，这就可能让你在配方的时候绕弯子。

配方法的“顺手”技巧：

1. 找“领头羊”：观察主对角线元素！

核心思想： 谁是“好惹”的？通常情况下，我们会优先选择系数绝对值最大的那个变量，或者在平方项和交叉项中出现次数最多的那个变量作为“领头羊”。
为什么？ 因为这个变量的平方项系数最大，它对整个二次型的贡献最大，我们在配方的时候，也更容易把它“独立”出来。
举个栗子： 比如 $f(x_1, x_2, x_3) = 2x_1^2 + 3x_2^2 + x_3^2 4x_1x_2 + 2x_1x_3 6x_2x_3$
$x_1$ 的平方项系数是 2，出现了两次交叉项。
$x_2$ 的平方项系数是 3，出现了两次交叉项。
$x_3$ 的平方项系数是 1，出现了两次交叉项。
在这种情况下，$x_2$ 的平方项系数最大，我们可以尝试优先以 $x_2$ 为“领头羊”。

2. “打包”与“剥离”：利用平方差公式！

核心思想： 找到一个变量的所有项，然后用平方差公式 $a^2 b^2 = (ab)(a+b)$ 或者 $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ 来“打包”。
怎么做？
第一步： 找出所有包含“领头羊”变量的项。
第二步： 将这些项进行适当的组合，试图凑成一个含“领头羊”变量的完全平方。
举例说明： 还是上面的例子，我们选择 $x_2$ 作为领头羊。
包含 $x_2$ 的项有：$3x_2^2 4x_1x_2 6x_2x_3$
我们的目标是凑成 $(ax_2 + bx_1 + cx_3)^2$ 的形式。
先看 $x_2$ 的平方项 $3x_2^2$。为了方便，我们可以先提取公因数，或者做个变量替换。
技巧变通： 如果 $x_2$ 的系数不是完全平方数，比如是3，我们可以考虑用一个辅助变量，比如令 $y_1 = sqrt{3}x_2$。 但更常见的做法是：
提取系数： 考虑 $3x_2^2 4x_1x_2 6x_2x_3$
我们可以先提取 3：$3(x_2^2 frac{4}{3}x_1x_2 2x_2x_3)$
现在看括号里面的 $x_2^2 frac{4}{3}x_1x_2 2x_2x_3$。 我们的目标是用 $x_2$ 和其他变量来配方。
注意到 $x_2$ 和 $x_1$ 的交叉项是 $frac{4}{3}x_1x_2$，和 $x_3$ 的交叉项是 $2x_2x_3$。
我们可以把它们看作是 $(x_2 + dots)^2$ 的一部分。
考虑 $(x_2 frac{2}{3}x_1 x_3)^2$ 的展开：
$(x_2 frac{2}{3}x_1 x_3)^2 = x_2^2 + (frac{2}{3}x_1)^2 + x_3^2 2 cdot x_2 cdot frac{2}{3}x_1 2 cdot x_2 cdot x_3 + 2 cdot frac{2}{3}x_1 cdot x_3$
$= x_2^2 frac{4}{3}x_1x_2 2x_2x_3 + frac{4}{9}x_1^2 2x_3^2 + frac{4}{3}x_1x_3$
对照一下我们要处理的部分：$x_2^2 frac{4}{3}x_1x_2 2x_2x_3$
我们发现，它正好是 $(x_2 frac{2}{3}x_1 x_3)^2$ 中与 $x_2$ 相关的项。
所以，我们可以写成：
$3x_2^2 4x_1x_2 6x_2x_3 = 3(x_2^2 frac{4}{3}x_1x_2 2x_2x_3)$
$= 3[(x_2 frac{2}{3}x_1 x_3)^2 (frac{2}{3}x_1)^2 x_3^2 + frac{4}{3}x_1x_3]$ （注意这里的符号调整！我们是为了凑出平方，所以多加的项要减去）
$= 3(x_2 frac{2}{3}x_1 x_3)^2 3(frac{4}{9}x_1^2) 3x_3^2 + 4x_1x_3$
$= 3(x_2 frac{2}{3}x_1 x_3)^2 frac{4}{3}x_1^2 3x_3^2 + 4x_1x_3$

3. 变量替换：让“新变量”登场！

核心思想： 找到一个组合，能够“打包”住大部分交叉项，并让它成为一个新的变量。
怎么做？
在上面的例子中，我们已经凑出了 $3(x_2 frac{2}{3}x_1 x_3)^2$。
令 $y_1 = x_2 frac{2}{3}x_1 x_3$。
现在，我们的二次型变成了：
$f(x_1, x_2, x_3) = 2x_1^2 + 3x_2^2 + x_3^2 4x_1x_2 + 2x_1x_3 6x_2x_3$
$= 2x_1^2 + (3x_2^2 4x_1x_2 6x_2x_3) + x_3^2$
$= 2x_1^2 + [3(x_2 frac{2}{3}x_1 x_3)^2 frac{4}{3}x_1^2 3x_3^2 + 4x_1x_3] + x_3^2$
$= 2x_1^2 + 3y_1^2 frac{4}{3}x_1^2 3x_3^2 + 4x_1x_3 + x_3^2$
$= (2 frac{4}{3})x_1^2 + 3y_1^2 + (3+1)x_3^2 + 4x_1x_3$
$= frac{2}{3}x_1^2 + 3y_1^2 2x_3^2 + 4x_1x_3$

4. 重复迭代：直到“干净”！

核心思想： 现在我们得到了一个新的二次型，只包含 $y_1$, $x_1$, $x_3$。这个新的二次型仍然是一个二次型，我们继续重复上面的步骤。
举例说明：
剩下的部分是 $frac{2}{3}x_1^2 2x_3^2 + 4x_1x_3$。
这里只有 $x_1$ 和 $x_3$ 了。我们选 $x_1$ 或者 $x_3$ 作“领头羊”。
例如，我们选择 $x_1$ 作为领头羊。
包含 $x_1$ 的项是 $frac{2}{3}x_1^2 + 4x_1x_3$。
我们要凑成 $(sqrt{frac{2}{3}}x_1 + ax_3)^2$ 的形式。
技巧变通： 还是用提取公因数的方法。
$frac{2}{3}x_1^2 + 4x_1x_3 = frac{2}{3}(x_1^2 + 6x_1x_3)$
凑平方：$x_1^2 + 6x_1x_3 = (x_1 + 3x_3)^2 (3x_3)^2 = (x_1 + 3x_3)^2 9x_3^2$
所以，$frac{2}{3}(x_1^2 + 6x_1x_3) = frac{2}{3}[(x_1 + 3x_3)^2 9x_3^2]$
$= frac{2}{3}(x_1 + 3x_3)^2 frac{2}{3} cdot 9x_3^2$
$= frac{2}{3}(x_1 + 3x_3)^2 6x_3^2$

整合到一起：
我们之前的表达式是：$frac{2}{3}x_1^2 + 3y_1^2 2x_3^2 + 4x_1x_3$
把它写成：$3y_1^2 + (frac{2}{3}x_1^2 + 4x_1x_3) 2x_3^2$
替换括号里的：$3y_1^2 + [frac{2}{3}(x_1 + 3x_3)^2 6x_3^2] 2x_3^2$
$= 3y_1^2 + frac{2}{3}(x_1 + 3x_3)^2 6x_3^2 2x_3^2$
$= 3y_1^2 + frac{2}{3}(x_1 + 3x_3)^2 8x_3^2$

最后一步变量替换：
令 $y_2 = x_1 + 3x_3$。
现在，我们只需要处理 $8x_3^2$ 这一项。
如果只有一项，例如 $8x_3^2$，我们可以直接令 $y_3 = sqrt{8}x_3$ (如果要求系数为1，也可以是 $y_3 = sqrt{8}x_3$ 或者 $y_3 = x_3$ 取决于你对“标准型”的定义，通常是系数为 $pm 1$ 或 0）。
或者，如果我们想让标准型更“干净”，比如系数为 $pm 1$，那么我们可以令 $y_3 = x_3$ (或者 $y_3 = sqrt{8}x_3$，然后标准型就是 $3y_1^2 + frac{2}{3}y_2^2 8y_3^2$ ，或者 $3y_1^2 + frac{2}{3}y_2^2 y_3^2$ 如果令 $y_3 = sqrt{8}x_3$ 。)
更严谨的做法： 考虑如何从 $y_1, y_2, x_3$ 转换为 $y_1, y_2, y_3$。
$y_1 = x_2 frac{2}{3}x_1 x_3$
$y_2 = x_1 + 3x_3$
我们可以再引入一个变量，例如 $y_3 = x_3$。
那么，二次型就变成了 $3y_1^2 + frac{2}{3}y_2^2 8y_3^2$。
这个形式已经是标准型了，这里的系数是 $3, frac{2}{3}, 8$。
如果要求系数是 $pm 1$，我们可以进一步调整：
令 $y_1' = sqrt{3}y_1$
令 $y_2' = sqrt{frac{2}{3}}y_2$
令 $y_3' = sqrt{8}y_3$
则标准型为 $(y_1')^2 + (y_2')^2 (y_3')^2$

5. 关键点：确保线性替换是可逆的！

什么叫可逆？ 就是你能从新的变量 $y_i$ 唯一地表达出原来的变量 $x_j$。
怎么保证？ 确保你每次做的变量替换，都能够用原来的变量表示新的变量，并且你最终选取的“新变量”之间，不能是线性相关的。
一个直观的理解： 你引入的每一个新的“组合”变量，都要能够“独立”地捕捉原变量的信息。

一些“加速”的捷径和提醒：

矩阵法辅助理解： 虽然题目要求配方法，但理解二次型对应的矩阵很有帮助。矩阵的主对角线元素就是平方项的系数，非对角线元素是交叉项系数的一半。配方法的过程，本质上是在做合同变换，找到一个正交矩阵（或一般线性变换矩阵）来实现。
对称性： 观察二次型是不是对称的，如果对称，通常处理起来更直接。
系数的“巧合”： 有些题目可能系数上有某种“巧合”，比如 $x_1x_2$ 和 $x_1x_3$ 的系数刚好能通过某种组合被消掉。
不要害怕分数： 配方过程中出现分数是很正常的，别因为分数而畏惧。
写清楚每一步的变量替换： 尤其是在考试时，为了清晰和避免错误，每做一步重要的变量替换，最好写清楚。
“多余”项的处理： 在配方过程中，有时候会出现一些只包含“老”变量的项，这些就是你需要下一步继续配方的对象。

举一个经常让人头疼的例子：

$f(x_1, x_2, x_3) = x_1^2 + x_2^2 + x_3^2 + 2x_1x_2 + 2x_1x_3 + 2x_2x_3$

第一眼： 好像所有变量都差不多。
选择领头羊： 随便选一个，比如 $x_1$。
打包 $x_1$：
$x_1^2 + 2x_1x_2 + 2x_1x_3 = x_1^2 + 2x_1(x_2+x_3)$
凑完全平方：$(x_1 + (x_2+x_3))^2 (x_2+x_3)^2$
$= (x_1+x_2+x_3)^2 (x_2^2 + 2x_2x_3 + x_3^2)$

代回原式：
$f(x_1, x_2, x_3) = [ (x_1+x_2+x_3)^2 (x_2^2 + 2x_2x_3 + x_3^2) ] + x_2^2 + x_3^2 + 2x_2x_3$
$= (x_1+x_2+x_3)^2 x_2^2 2x_2x_3 x_3^2 + x_2^2 + x_3^2 + 2x_2x_3$
$= (x_1+x_2+x_3)^2$

变量替换：
令 $y_1 = x_1+x_2+x_3$。
那么 $f(x_1, x_2, x_3) = y_1^2$。

这里为什么快？ 因为系数比较“整齐”， $x_1$ 参与的交叉项系数是一样的。

如果出现这样的情况，你应该快速反应：

$f(x_1, x_2, x_3) = x_1^2 + x_2^2 + x_3^2 + 2x_1x_2 + 2x_1x_3 + 2x_2x_3$
直接看到 $2x_1x_2$, $2x_1x_3$, $2x_2x_3$ 这三个项，并且平方项系数都是1，就应该联想到 $(a+b+c)^2$ 的展开式。
$(x_1+x_2+x_3)^2 = x_1^2+x_2^2+x_3^2 + 2x_1x_2 + 2x_1x_3 + 2x_2x_3$
完美匹配！

总结一下“顺手”的诀窍：

1. 找“大头”： 优先处理平方项系数最大的变量，或者在交叉项中出现次数最多的变量。
2. 玩转平方差/和： 善用 $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$ 和 $a^2b^2=(ab)(a+b)$ 的变体。
3. 提取公因数： 如果平方项系数不是 1，先提取，化简处理。
4. 分步迭代： 把一个变量“剥离”干净后，剩下的部分继续看作一个“新”的二次型，重复操作。
5. 观察对称性或特殊结构： 有时题目会有“提示”，比如系数的比例关系，可以让你快速找到关键的组合。

多练！多做！做多了你就会慢慢感受到那种“顺手”的感觉，一眼就能看出哪个变量是“领头羊”，哪个组合是“关键线索”。考试的时候，别怕花一两分钟观察一下，找到最好的“入口”，往往比你直接上手硬配要节省时间得多。

题主，你得明白——配方法是算法，任何算法在本质上都是一套相对固定的程序；对于程序而言，只有流程简单与复杂之分，而不存在所谓“技巧”之类的东西。如果说非要扯到“技巧”的话题上，只能说发明这套算法是需要“通过对现象予以充分、仔细的考察，从而对此现象背后的本质得以深刻、透彻的洞悉，并最终对‘本质是以何种方式支配现象’这一问题的答案——即所谓‘规律’——作出严格、准确的描述”这一系列的思维活动的，而引号中的部分（可以不太正式地称作“探索发现”），通常在原则上并无一定之规，也更接近于“技巧”一词给人带来的印象。

然而，一旦“规律”被发现，那么一切的“技巧”都不复存在——有的只是按照“规律”的指导系统地执行。

具体到你的问题（可惜你没有举出一个具体的例子。。），为了证明我以上所言非虚，我（只能）随便写一个不太简单（？）的二次型，然后给你展示一下——只要你对这个过程（其中既包括变量替换，也包括了数字计算）足够熟练，够耗费你半小时的，甚至得比下面这个例子还要繁琐才行。。

【插播广告：本文姊妹篇

刚刚新鲜出炉，欢迎参照。】

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例：化二次型 为标准型。（够混乱了吧？我连对角项和交叉项都打乱了混在一起——作为重度强迫症的我先在心里把自己逼死一遍，然后再发出来把其他同类逼死为我殉葬一遍吼吼吼……）

• 第零步（出题人但凡有点儿节操都不会把这步留给你，我故意的）：把二次型的诸项按照变元的字典序重新排列—— 。
• 第一步：把含有第一变元 的项用括号结合在一起—— 。我们准备一次性地把这四项配成一个关于线性项（线性组合）的完全平方，然后将此线性组合以新的第一变量 替换，从而消元 。
• 第二步：置第一项系数的倒数于括号外，括号内各项先把交叉项除以 ，再把各项消去一个 ，然后将整个括号平方，接着留出记录所谓“消元项”的空间（注意“消元项”前面要带一个负号）—— 。
• 第三步：“消元项”亦由“平方项”和“交叉项”两部分组成。先忽略掉完全平方中的第一项 ，剩余的三项一方面各自平方后乘括号外的系数 ，写下结果即为“平方项”；另一方面两两互乘后乘括号外的系数 的二倍，写下结果即为“交叉项”—— 。
• 第四步：作变量替换 消去原来的第一变元 （注意到此时式中旧变元 已不复存在！），将“消元项”中各项同其余各项（两者皆仅含剩余三个变元 ）合并同类项，得到含有新变元的二次型—— 。
• 第五步：重复以上过程，直至找到剩余所有的 为止。

以上这五个步骤就是化二次型为标准型的配方法。你可以看出来，如果不考虑“这五个步骤本身如何得来，如何证明其正确性”这个问题，那么以上过程中没有一丁点儿超过初等代数（按九年制义务教育的数学大纲，约折合为小学六年级到初中一年级之间的知识水平）的“技巧”，是彻底的暴力计算。

至于这五步骤本身，也并非空中楼阁；实际上，当然是有一条规律在背后严格地支配着此程序永远运行而不会产生bug——发现这条规律才牵涉“技巧”，但鉴于此规律众所周知且与本题无关，此处不赘（如需讲明，请于评论区留言）。

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（2019.12.16更新）

应评论区 @理论力学杀我 的请求，将本答中配方法的理论依据阐述如下。

其实配方法的理论依据就是小学/初中就学过的乘法公式 的 元推广—— 拉格朗日恒等式（的特例）： 。

【注：一般形式的拉格朗日恒等式为 。设 ，经过一番繁琐而不失技巧性的计算，可以得到以上特例，过程如下——

依以上设定的拉格朗日恒等式为，

，此式左边与特例相同，现计算其右边：

，与特例右边亦相同。以上计算表明该特例的理论依据在于拉格朗日恒等式。】

这个特例本身亦可通过数学归纳法证明，过程简单明快、直截了当，此处不赘。

现进入主题，看这一特例是如何支配以上配方法的过程的——

众所周知，二次型的一般形式为

——（0）

。

给特例中的每个 配上系数 （即作变量代换 ）以适应这里的模式，即有—— ——（1）。

注意到（1）式左边是一个完全平方，而配方后的结果恰恰就应该长这个样子！

但（1）式右边似乎和（0）式还有一定的差别，所以将（1）式右边稍作变形，分离出含有第一变元 的项——这样做的目的是让（1）式长得更接近于（0）式：

。

综上，（1）式就可以改写成——

——（2）。

这样一来就能看得很清楚了，（2）式左边就是（0）式右边第一行的形式，而右边就是配方的结果——第一项是配出来的完全平方；中括号里的两项是消元项，前者是平方项，后者是交叉项，并且也可以明显地看出这两项中均不含第一变元 。

那么剩下来的问题就简明了——视 为待定系数，将（0）式中第一行的对应项系数与之联等，解出所有的 。这样一来就会有 ，进而有 ；最后把这些系数代入（2）式中，得出全部项的表达式 ，将此式结果同以上配方法过程中的第二步和第三步相对比，可以直接看清所涉及的全部操作。

最后，注意到（0）式中交叉项的系数 前面统统带有系数 （因为二次型本质上是个对称型，即 ，而 与 又是同类项，可以合并为 ，故此），因此对于诸交叉项系数被给为具体数字的二次型，必须将这一数字系数除以二才能得到（0）式中的交叉项系数 。这也就解释了为什么配方法的第二步与第三步中，交叉项的系数要除以二（或乘以二）！另一方面，平方项（对角项）并不带系数 ，不涉及此问题，故不受影响。

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顺便说一下，如果二次型中全都是交叉项而不含任何平方项，即 ，则此时无法进行配方法的第二步（第一变元的平方项系数为 ，无倒数），貌似是以上配方法程序的一个bug。然而，这个bug并不是本质的——不失一般性地，假定 ，作平方差代换： 即可得到—— 。这样即有不可能被消除/约化的平方项产生，从而令以上配方法程序的启动成为可能。

以上即是配方法的理论依据。此外，这一算法还可以依据另外的一般性公式推广到次数为 的情况（即配 次方）；鉴于离题太远，此处不赘。