《决战21点》中的概率问题怎么解释？
首先，得明白21点这游戏本身。它不像百家乐那样基本是靠运气，21点有相当大的技巧成分，而这个技巧的核心就是“概率”。简单来说，就是通过你手上的牌和发牌官（庄家）明牌，去推测你下一张拿到什么牌的几率，以及这个几率对游戏结果的影响。
核心概念：算牌（Card Counting）
电影里教授教给学生们的，最核心的技巧就是“算牌”。这玩意儿可不是真的算到下一张是什么牌，而是追踪牌靴里剩下牌的构成。为什么追踪牌靴的构成很重要呢？因为这直接影响到你拿到好牌的概率。
怎么追踪呢？最流行、也是电影里常被提及的一种方法叫做“高低牌系统”（HiLo System）。这套系统非常直观：
2、3、4、5、6 这些低牌：这些牌被发出去时，牌靴里剩下的高牌（10、J、Q、K、A）的比例就相对提高了。拿到这些高牌对玩家来说非常有优势，因为它们能让你更容易凑成21点，或者更容易让庄家爆牌（超过21点）。所以，当低牌出现时，我们就给它一个+1的分数。
7、8、9 这些中牌：它们对牌靴的构成影响不大，可以看作是中性牌。给它们0分。
10、J、Q、K、A 这些高牌：这些牌对玩家来说非常有利。当它们被发出去时，牌靴里剩下的高牌比例就降低了。所以，当高牌出现时，我们就给它一个1的分数。
实际操作示例：
假设你坐在赌桌前，发牌官开始洗牌并发出第一张牌。咱们就来跑一下分：
1. 发牌官发出第一张牌：一张7。根据高低牌系统，我们给它+0。目前累计点数：0。
2. 发牌官发出第二张牌：一张Q。Q是高牌，1。累计点数：1。
3. 发牌官发出第三张牌：一张3。3是低牌，+1。累计点数：1 + 1 = 0。
4. 发牌官发出第四张牌：一张A。A是高牌，1。累计点数：0 1 = 1。
5. 发牌官发出第五张牌：一张8。8是中牌，0。累计点数：1 + 0 = 1。
我们一直追踪这个累计点数，我们称之为“运行点数（Running Count）”。这个点数越高，说明牌靴里剩下的高牌相对越多；反之，点数越低，说明剩下的低牌相对越多。
进阶：真实点数（True Count）
单纯的运行点数在高低牌系统里有个小问题：如果牌靴还在不断变大，比如好几个牌靴一起用（多牌靴游戏），那么即使运行点数是正的，可能也不能完全反映真实的高牌比例。所以，就需要一个叫做“真实点数（True Count）”的概念。
真实点数很简单，就是运行点数除以“剩余牌靴的数量”。
比如，一个游戏用了6副牌（6个牌靴），游戏进行了一半，还剩下3个牌靴的牌。如果你的运行点数是+6，那么你的真实点数就是 +6 / 3 = +2。
如果你的运行点数是+6，但只剩下半个牌靴的牌了，那么你的真实点数就是 +6 / 0.5 = +12！这个差距就很大了。
真实点数的作用：调整策略！
这个真实点数，就是算牌玩家调整策略的“信号灯”。
真实点数越高（越大越好）： 说明牌靴里剩下的10点牌和A牌（对玩家最有利的牌）非常多。这时候玩家的优势就非常明显，应该采取更积极的策略：
加大下注金额： 这是最直接的获利方式。优势大，多下注，赢了就赢得多。
采用更激进的打法： 比如在本来应该停牌的情况下，根据高牌多的情况去尝试要牌，或者在早期就选择加倍（Double Down）。
真实点数越低（越小越好，甚至为负）： 说明牌靴里剩下的低牌多，高牌少。这时候庄家的优势会相对增加，玩家应该采取保守策略：
减小下注金额，甚至不参与这局： 减少损失。
严格按照基本策略打牌： 尽量减少错误。
为什么算牌能赢？
有人会问，算牌真的能赢钱吗？答案是：能！但不是保证每局都赢，而是长期来看，算牌玩家能获得比不算牌玩家更高的概率优势。
我们从数学上来说，21点游戏本身，在玩家严格遵循“基本策略”（Basic Strategy，也就是在不同牌力组合下最优的决策，比如庄家明牌7，你手牌16，基本策略是停牌，因为要牌爆牌概率非常高）的情况下，庄家的优势大约在0.5%左右。
而算牌玩家，通过调整下注大小和打法，可以在优势牌靴时将这个优势反转过来，变成玩家有2%5%甚至更高的优势。虽然不是每把牌都赢，但当优势积累到一定程度，并且玩家足够坚持，那么长期来看，他一定会赢过赌场。
电影《决战21点》里的教授，就是通过训练学生们熟记基本策略，再让他们学会高低牌系统，利用人数优势（轮流坐到桌边算牌，然后给指定的人指示）来在拉斯维加斯各大赌场狙击庄家。他们之所以能成功，正是利用了概率的规律，在对玩家有利的时候加大赌注，在不利的时候减少风险，从而在无数次的洗牌、发牌过程中，累积了整体的概率优势。
一些电影里可能没有直接点明的概率细节：
“爆牌”的概率变化： 当牌靴里10点牌很多时，庄家爆牌的概率会大大增加。想象一下，如果剩下的牌都是10、J、Q、K，庄家只要拿到任何一张，都会很容易爆掉。算牌玩家就是捕捉到这种概率上的变化。
“21点”的概率： 黑杰克（Blackjack，拿到A和10点牌正好21点）的赔率是3:2，这本身就是游戏吸引人的地方。算牌玩家正是通过追踪10点牌和A牌的出现率，来提高自己拿到黑杰克的概率，从而放大收益。
风险管理： 电影里也强调了分散注意力、不在同一赌场待太久。这是为了避免被赌场的工作人员（比如“侦探”）发现他们在算牌。一旦被发现，赌场可以拒绝你游戏，甚至直接请你出去。这背后也涉及到了“被发现”这个概率事件的规避。
总而言之，《决战21点》里的概率游戏，不是魔术，而是对数学和概率原理的深刻理解和运用。算牌玩家就像是跟庄家玩一场“高低概率战”，谁更能精准地把握住牌靴里的概率风向，谁就能笑到最后。这游戏，真是把人的智慧和耐心都考验到了极致。
网友意见
关于这个问题，我已经思考过很久了，现在跟题主分享一下我的思考经历。
首先，这个问题的一个类似问题我大概是在4年前听到的，我听到的是说有10扇门，其中一扇后面有金子，另外9扇后面什么都没有，现在让你选其中一扇之后，主持人帮你去掉剩下9扇门中的8扇没有金子的，然后问你换不换。当时我朋友给我的答案是换！大意就是说换之前你猜对的概率是1/10，如果你换了，就能得到因为主持人的“帮助”而去掉的那8/10的概率，从而你换的结果是9/10的概率得到金子。我表示其实当时我基本上没听懂这个推理过程，只是觉得听起来好像是挺有道理的。
那之后，由于当时正好在本科学习概率论，我就拿这个问题去请教了我的概率论老师，原意只是想让老师解释一下过程。但是老师听完题之后直接告诉我换和不换的概率是一样的，最后都是各1/2的概率。老师的解释是无论前面的过程怎样，最终呈现在你面前的就是两扇门，一扇有金子，一扇没有，那么很显然概率都是1/2。说实话，当时听完这个结果之后我认为老师错了，因为我一直觉得主持人是一个特殊条件，他能让你得到额外的8/10概率。从那以后我陷入了长达4年的纠结中，总是觉得两种解释都有说得通的理由，为此我看了很多网上回答，每一次都是晕头转向，最终放弃思考。但从内心讲，我开始逐渐觉得老师的解释也许是对的。
大概1年前，我看了《决胜21点》（原谅我才知道这才是使这个问题如此流行的出处），电影剧情让我又一次思考这个问题。现在，我想我终于想明白了这个问题（置信度95%）。下面我来尝试解释一下这个问题吧。
首先，我们稍微改变一下题目，也许会更好理解一些。还是考虑10个门的情况，你先选了一个门，你选中的概率肯定是1/10。现在假设主持人只为你去掉一扇没有金子的门，问你换成另外8扇怎么样，也就是说，你要么保留自己最开始选的这扇门，要么选择剩下的8扇门。相信这个问题谁都可以轻松得到答案——换。但是，这个过程中的概率究竟发生了什么变化呢？
一开始，你选的那扇门有金子的概率是1/10，剩下9扇门有金子的总概率是9/10，现在主持人去掉一扇门后，各扇门的概率是多少呢。有朋友肯定会说，你之前选的那扇还是1/10，剩下的8扇总共是8/10，所以换（我们暂时给这个推理过程命名推理1）。这里结论是对的，但过程就不对了，因为有一扇门移出了游戏，它的概率必须要加到其他的门上（其实这就是条件概率，只是我换成了语言来描述），不然总的概率就不是1了。于是又会有人说，移出的概率加到了那8扇门上，因为原来的还是1/10，所以等于在剩下8扇门后有金子的概率就是9/10了（推理2）。这个结论其实就是我最早从朋友那儿听到的结论的推理过程，但是也许已经有朋友发现这个过程的问题所在了——去掉1扇门前后的总体样本已经发生变化了。在这个过程中，移出的那扇门的概率其实并不只是加给了那8扇门，实际上它平均分给了剩下的9扇门，也就是说，那被移出的1/10概率被平分成了9份给了剩下的所有门！对于我们最开始选的那扇门，门后有金子的概率从1/10变成了1/10+(1/10)/9＝1/9，而另8扇门后有金子的概率变成了8/10+8*(1/10)/9=8/9！再换一种说法，就是说移出一扇没有金子的门意味着既增加了原先选中那扇门后有金子的概率也增加了另外8扇门后有金子的概率。
现在我们可以考虑原来的问题了，10扇门，选1扇，去掉8扇没有的，问你换不换？对于原来那扇门它现在的概率是1/10+(8/10)/2=1/2，对于剩下那扇门它现在的概率是1/10+(8/10)/2=1/2。于是结果出来了，换不换有金子概率是一样的，都是1/2！
于是我们回到题主的问题上，决胜21点里的车和羊在3扇门里，随便选一扇，有车的概率是1/3，去掉一扇门，现在的概率是1/3+(1/3)/2=1/2，剩下那扇也是1/3+(1/3)/2=1/2。所以换不换都一样，所以电影里的剧情是错的！所以“不靠谱”教授找到了一个“不靠谱”学生去做了一件“不靠谱”的事。但这个“不靠谱”的问题确实非常有意思，才会有这么多人去思考，去争论。
到此问题就算解决了，但是其实这个结果已经有很多人用更简单的语言描述过了，为什么还是有很多人一再犯错误呢。原因就在于概念的混淆，正如前面的推理1和推理2一样，犯推理1错误的人大致属于基本概念不清晰或者没有认真思考就得出结论的人（这类人往往轻易得出结论且喜欢争论）；犯推理2错误的人属于有一定的知识和思考，但是没有仔细推敲过程的人（这类人不在少数，也是使问题复杂化的主要来源）；当然除了这两种错误，还有一些人并没有仔细思考但是得到了正确答案（有一些是出世的智者，有一些是碰运气）；
其实得到错误结论的还有一些原因，比如说有人把问题复杂化了，也有人把选门的过程直接忽略掉，变成了算羊和车的概率了。
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