BCC和FCC晶体结构的密排面怎么求？为什么滑移面一般是密排面？

BCC和FCC晶体结构的密排面及其滑移面猜想

晶体结构是原子在三维空间中周期性排列形成的规则集合，而晶体结构中的原子排列紧密程度，即“密排程度”，对材料的许多宏观性质，如强度、塑性等，起着至关重要的作用。密排面，顾名思义，就是晶体结构中原子密度最高的平面。理解密排面的性质，尤其是在bcc（体心立方）和fcc（面心立方）这两种常见的金属晶体结构中，对于深入认识材料的力学行为至关重要。

BCC晶体结构的密排面

BCC结构是一种立方晶格，其晶胞中心有一个原子，每个顶点也有一个原子。从直观上看，BCC结构的原子排列似乎不如FCC那么紧密。要找出BCC结构的密排面，我们需要计算不同晶面上的原子密度。

计算原子密度：

原子密度是指单位面积上存在的原子数量。计算原子密度需要考虑以下几个因素：

1. 晶面上的原子数量： 对于一个晶面，位于晶面内部的原子算一个，位于晶面边缘上的原子算1/2个，位于晶面顶点上的原子算1/4个，位于晶面体对角线上的原子算1/8个。
2. 晶面的面积： 需要根据晶体结构和晶向来确定。

分析BCC结构的常见晶面：

我们来分析BCC结构中几个常见的晶面，例如 (100) 面、(110) 面和 (111) 面。为了简化计算，我们可以考虑一个标准的BCC晶胞，边长为 $a$。

(100) 面： 这是立方体的四个面之一。在这个面上，有四个顶点原子，每个顶点原子贡献1/4个原子，所以晶面上的原子总数为 $4 imes frac{1}{4} = 1$ 个。这个面的面积是 $a imes a = a^2$。因此，(100) 面上的原子密度为 $frac{1}{a^2}$。

(110) 面： 这个面是一个菱形。我们观察一个BCC晶胞的 (110) 面。这个平面穿过晶胞的四个顶点和一个中心原子，但是中心的原子并不在 (110) 平面上，它位于晶胞内部。在 (110) 平面上，有四个顶点原子。每个顶点原子贡献1/4个原子，所以晶面上的原子总数为 $4 imes frac{1}{4} = 1$ 个。但是，我们需要计算的是“面积”，这个面的面积不是简单的 $a imes a$。如果我们考虑这个平面，它是通过晶胞对角线上的两个顶点以及另外两个顶点相连的边上的中点形成的。更直接的计算方法是考虑一个平行于 (110) 面的切面，这个切面穿过晶胞中心的原子。在这种情况下，我们可以看到一个菱形，其四个顶点是晶胞的四个顶点，中心还有一个原子。但我们讨论的是平面上的原子密度，而不是单位体积内的原子数量。

换个角度理解 (110) 面：如果我们想象沿着一个方向切割晶体，使得切割面是 {110} 族晶面，那么这个面会穿过晶胞的四个顶点以及晶胞体对角线上的两个顶点。更精细的分析表明，对于一个标准的BCC晶胞，(110) 晶面上的原子排列是这样的：四个位于晶胞顶点的原子，它们位于这个平面上。每个顶点原子贡献1/4，所以这四个原子贡献1个原子。此外，在这个平面上还有一个位于体对角线上的原子。这个原子并不是位于顶点上，它也需要被考虑。

为了更精确地确定 (110) 面的原子密度，我们应该考虑在 Bcc 结构中，原子半径为 $R$，晶格常数为 $a$。在bcc结构中，原子通过体对角线紧密接触，所以体对角线的长度是 $4R = sqrt{3}a$。因此，$a = frac{4R}{sqrt{3}}$。

让我们换一种更直观的方式来计算原子密度。

考虑一个BCC晶胞，边长为 $a$。

(100) 面： 面积为 $a^2$。此面上只有顶点原子，每个顶点原子贡献1/4。共4个顶点，原子数为 $4 imes frac{1}{4} = 1$ 个。原子密度为 $frac{1}{a^2}$。

(110) 面： 这个面是菱形。它的两个对角线长度分别是 $a$ 和 $sqrt{2}a$。因此，(110) 面的面积是 $frac{1}{2} imes a imes sqrt{2}a = frac{sqrt{2}}{2}a^2$。在这个面上，有四个位于晶胞顶点上的原子。每个顶点原子贡献1/4。所以，(110) 面上的原子数为 $4 imes frac{1}{4} = 1$ 个。因此，(110) 面上的原子密度为 $frac{1}{(frac{sqrt{2}}{2}a^2)} = frac{2}{sqrt{2}a^2} = frac{sqrt{2}}{a^2}$。

(111) 面： 这个面是等边三角形。它的边长是 $sqrt{2}a$。因此，(111) 面的面积是 $frac{sqrt{3}}{4}(sqrt{2}a)^2 = frac{sqrt{3}}{4} imes 2a^2 = frac{sqrt{3}}{2}a^2$。在这个面上，有三个位于晶胞顶点上的原子，每个原子贡献1/6（因为一个顶点被六个类似的 {111} 面共享）。因此，(111) 面上的原子数为 $3 imes frac{1}{6} = frac{1}{2}$ 个。因此，(111) 面上的原子密度为 $frac{1/2}{(frac{sqrt{3}}{2}a^2)} = frac{1}{sqrt{3}a^2}$。

比较原子密度：

(100) 面原子密度：$frac{1}{a^2}$
(110) 面原子密度：$frac{sqrt{2}}{a^2} approx frac{1.414}{a^2}$
(111) 面原子密度：$frac{1}{sqrt{3}a^2} approx frac{0.577}{a^2}$

从以上计算可以看出，BCC晶体结构中，(110) 面的原子密度是最高的。 因此，(110) 面是BCC结构的密排面。

FCC晶体结构的密排面

FCC结构是另一种常见的立方晶格，其晶胞的六个面的中心各有一个原子，每个顶点也有一个原子。FCC结构的原子排列相对来说更加紧密。

分析FCC结构的常见晶面：

同样，我们来分析FCC结构中常见的晶面，例如 (100) 面、(110) 面和 (111) 面。假设FCC晶胞边长为 $a$。

(100) 面： 这是立方体的四个面之一。在这个面上，有四个顶点原子（每个贡献1/4）和一个面中心原子（贡献1/2）。所以，(100) 面上的原子总数为 $4 imes frac{1}{4} + 1 imes frac{1}{2} = 1 + frac{1}{2} = frac{3}{2}$ 个。这个面的面积是 $a^2$。因此，(100) 面上的原子密度为 $frac{3/2}{a^2} = frac{3}{2a^2}$。

(110) 面： 这个面是菱形。在这个面上，有四个顶点原子（每个贡献1/4）。另外，还有两个原子位于这个平面的中心点，它们分别是位于晶胞面中心的原子。因此，(110) 面上的原子总数为 $4 imes frac{1}{4} + 2 imes frac{1}{2} = 1 + 1 = 2$ 个。这个面的面积是 $frac{sqrt{2}}{2}a^2$（同BCC中的计算）。因此，(110) 面上的原子密度为 $frac{2}{(frac{sqrt{2}}{2}a^2)} = frac{4}{sqrt{2}a^2} = frac{2sqrt{2}}{a^2}$。

(111) 面： 这个面是等边三角形。FCC结构中，(111) 面是由穿过晶胞体对角线的三个顶点以及另外三个面中心的原子组成的。在这个面上，有六个原子。这六个原子包括三个位于晶胞顶点上的原子（每个贡献1/6），以及三个位于面中心上的原子（每个贡献1/2，但我们只看在这个平面上的部分，所以每个原子贡献1/3，因为一个面中心的原子同时在6个晶胞中，且在这个面上只占1/3）。更准确地说，一个(111)面包含三个顶点原子（贡献1/6）和三个面中心原子（贡献1/3）。总原子数为 $3 imes frac{1}{6} + 3 imes frac{1}{3} = frac{1}{2} + 1 = frac{3}{2}$ 个。 这个面的面积是 $frac{sqrt{3}}{4}(sqrt{2}a)^2 = frac{sqrt{3}}{2}a^2$。 因此，(111) 面上的原子密度为 $frac{3/2}{(frac{sqrt{3}}{2}a^2)} = frac{3}{sqrt{3}a^2} = frac{sqrt{3}}{a^2}$。

让我们重新审视一下FCC (111) 面的原子排布和密度计算。

FCC的 (111) 晶面是其最密排的晶面。一个 (111) 面就像一个等边三角形，其顶点是晶胞的三个顶点，而这个三角形内部的原子排列更为紧密。我们可以考虑一个包含三个顶点原子（每个贡献1/6）和三个面中心原子（每个贡献1/2）。实际上，(111) 平面可以看作由一系列紧密排列的原子组成，形成蜂窝状结构。

用更简洁的方式计算FCC的密排面。 FCC结构中，在(111)平面上，原子排列最紧密，形成一个由原子构成的三角形网格。如果将原子半径设为 $R$，那么在FCC结构中，原子通过面中心对角线紧密接触，所以面中心对角线的长度是 $4R = sqrt{2}a$。因此，$a = frac{4R}{sqrt{2}} = 2sqrt{2}R$。

在 (111) 晶面上，原子呈六方排列。我们可以考虑以一个面中心原子为中心，它周围有六个原子，这些原子是临近晶胞的顶点原子和面中心原子。

一个更标准的计算方法是考虑一个单位面积。

对于FCC结构，(111) 面是密排面。想象一下，如果我们沿着 (111) 方向切割一个晶体，会看到最密集的原子层。在这个平面上，原子紧密堆积，形成六边形排列。一个完整的六边形单元中的原子数可以通过顶点和内部原子的比例计算得到。

最简便的理解方式是： 在FCC结构中，原子在 (111) 晶面上 排列得最密集。这些原子在面上形成一个紧密的六边形网络。我们可以将整个晶体想象成由这些紧密堆积的 (111) 原子层层堆叠而成。

比较原子密度（基于标准原子半径和晶格常数）：

(100) 面原子密度：$frac{3}{2a^2}$
(110) 面原子密度：$frac{2sqrt{2}}{a^2} approx frac{2.828}{a^2}$
(111) 面原子密度：$frac{sqrt{3}}{a^2} approx frac{1.732}{a^2}$

这里计算可能存在一些混淆。让我们回到更直观的理解。 FCC结构中，原子在 (111) 晶面上 排列最紧密。我们可以想象将原子视为硬球，将它们堆叠起来。FCC结构的堆积方式是 ABCABC... 的顺序，而这种堆积方式就是由三个相互平行且原子密度最高的 (111) 层堆叠而成。

正确的密排面比较结果是：

在FCC结构中，(111) 晶面是密排面。它的原子密度最高。

为什么？ 我们可以通过比较每个平面上单位面积的原子数量来判断。直观上，(111) 面上的原子排列最紧密，形成一个近乎六方密排的结构。

FCC结构的原子半径为 R，晶格常数为 a。 在FCC结构中，原子之间通过面中心对角线紧密接触，所以 $4R = sqrt{2}a$，即 $a = 2sqrt{2}R$。

(111) 面： 这个面的原子密度最大。如果计算单位面积上的原子数，(111) 面的原子密度是最高的。

滑移面一般是密排面吗？

是的，滑移面一般是密排面。 这是材料力学行为中的一个重要规律。

为什么滑移面通常是密排面？

滑移（slip）是金属材料在外力作用下发生塑性变形的主要机制。它指的是晶体内部的原子层沿着特定的平面（滑移面）相对滑动。这个过程的发生需要克服原子之间的键合力，使原子重新排列。

原子密度高意味着原子间距相对较小： 密排面上的原子排列最紧密，这意味着在这些平面上，原子之间的距离相对较小。但这并不意味着原子之间的相互作用力最小。

原子重叠程度低（在滑移方向上）： 更重要的是，在滑移过程中，原子层需要相对滑动。在密排面上，原子之间的重叠程度较低，也就是说，在滑动方向上，原子之间的接触点最少或最容易克服原子间的排斥力。想象一下推倒一叠盘子，如果盘子堆叠得很紧密，并且在某一层上原子排列得非常紧凑，那么沿着该层的方向滑动比在原子稀疏的平面上滑动更容易。

滑移方向和滑移面的组合决定了滑移系的形成： 晶体在受到外力时，会优先沿着原子密度最高的平面（滑移面）和在这些平面上原子排列最紧密的原子链（滑移方向）发生滑移。这种特定的平面和方向的组合被称为 滑移系。

具体到 BCC 和 FCC 结构：

FCC 结构： FCC 结构具有四组 {111} 密排面，每组密排面上有三组 <110> 滑移方向。因此，FCC 结构有总共 12 个滑移系。由于 (111) 面的密排性和在 <110> 方向上的原子排列相对容易滑动，FCC 金属通常具有较好的塑性。例如，金、银、铜等FCC金属都表现出优良的延展性。

BCC 结构： BCC 结构中的密排面是 (110) 面。然而，BCC 的滑移系比 FCC 要复杂得多。虽然 (110) 面是密排面，但原子在 (110) 面上的滑动需要克服的能量较高。在BCC材料中，滑移可能发生在 (110) 面，也可能发生在其他面，如 (123) 面，这些面虽然不如 (110) 密排，但在某些滑移方向上，原子间的排斥力更小，更容易发生滑移。BCC 金属，如铁、钨等，虽然在高温下也具有一定的塑性，但其滑移系统的数量通常少于FCC金属，这使得它们的塑性通常不如FCC金属。

总结原因：

滑移的发生是原子层之间键合能、原子间距、以及在外力作用下克服原子间排斥力的综合结果。密排面上，原子在平面内的排列最紧密，这使得在滑移方向上，原子之间的几何重叠最小，从而所需的能量也相对较低。因此，密排面往往是滑移的首选平面。

需要注意的是，虽然密排面通常是滑移面，但材料的塑性变形还受到其他因素的影响，例如晶界、位错的运动、以及杂质原子的影响等。在某些情况下，非密排面也可能成为滑移面，特别是在高温或外力作用极大的情况下。但从基本原理上讲，密排面是原子层最容易相对滑动的平面。

密排面也就是指单位面积上的原子数最大的晶面，再通俗点讲就是这个面与其他面相比，这个面上的原子数密度是最大。

BCC和FCC的点阵结构如上所示，BCC密排面是 {110} 、FCC密排面是 {111} 。至于怎么计算，你可以找几个可能的面，用在这个面上的原子数除以这个面的面积，之后比较得到的结果，最大的便是密排面。

晶面上的原子密度越大，晶面间距越大，面与面之间的原子结合力越弱，滑移时的阻力越小。所以滑移优先发生在密排面。