RLC两端电压与电流的关系是忽略了元器件的长度吗？

关于RLC电路中电压与电流的关系，我们通常使用的那些基本公式，比如欧姆定律在电阻上的应用（$V_R = I cdot R$）、电感上的电压与电流关系（$V_L = L frac{dI}{dt}$）以及电容上的电压与电流关系（$V_C = C frac{dV}{dt}$），确实是在很大程度上忽略了这些元器件的物理长度和分布效应。

咱们来细说一下为什么会这样，以及在什么情况下这个“忽略”是合理的，又在什么情况下需要更精细的考虑。

为什么我们通常会忽略长度？

想象一下我们学习电路的初衷。最早的电路理论，比如基尔霍夫电压定律（KVL）和基尔霍夫电流定律（KCL），关注的是电路的“集中参数”特性。意思是，电路中的所有元件（电阻、电容、电感）都可以被看作是一个个独立的、集中在一个点上的“黑盒子”，它们的功能只取决于其本身的固有属性（电阻值、电感值、电容值），而与它们在导线上的物理位置、长度关系不大。

这种“集中参数”模型之所以被广泛接受和使用，是因为在大多数我们日常接触的电路以及早期研究的电路中，元件的物理尺寸相对于信号的波长来说非常小。

打个比方，你手里拿的一个小电阻器，它的阻值是0.5欧姆，不管你是把它放在导线的一头还是另一头，它对整个电路的影响都差不多是那0.5欧姆的阻抗。即使这个电阻器有一点长度，比如几毫米或者一厘米，但如果你的信号是几十赫兹或者几百赫兹的交流电，那么这个信号在导线上的传播速度（接近光速）使得它在到达和离开这个微小电阻器时，其相位变化几乎可以忽略不计。

同样，电感器和电容器也是如此。一个小的线圈或者两片靠近的金属板构成的电容器，它们的电感值和电容值主要由它们的几何结构（线圈匝数、导线直径、金属板面积、距离等）决定，而不是它们在电路中占了多长的导线。

在集中参数模型下，电压与电流的关系是这样的：

电阻 (R): 电压与电流成正比，与导线长度无关。 $V_R = I cdot R$
电感 (L): 电压是电流随时间变化率的函数，取决于电感线圈本身形成的磁场强度（由电感值L决定）。在集中参数模型下，我们认为电感值L已经包含了线圈的物理特性，不需要考虑线圈占用的导线长度。 $V_L = L frac{dI}{dt}$
电容 (C): 电压与电荷量成正比，电荷量又与电流随时间的变化有关。电容值C取决于两个导电极板的面积、距离和介质的性质，同样不直接涉及导线长度。 $I = C frac{dV_C}{dt}$

当我们把这三个元件串联起来组成一个RLC串联电路时，总电压就是各个元件电压之和：$V_{total} = V_R + V_L + V_C$。然后我们就可以利用这些关系来分析电路的动态响应，比如阻抗、谐振频率等。

那么，什么时候会“不能忽略”长度？

当元器件的物理尺寸或者电路中导线连接的长度，相对于信号的波长变得相当大时，集中参数模型就不再适用了。这种情况通常发生在高频电路或者长距离传输线中。

这时候，我们必须考虑分布参数效应。

导线本身的电阻和电感效应会变得显著： 一段很长的导线，它本身就会表现出一定的电阻和电感。随着频率的升高，导线表面的集肤效应也会让电流分布不均匀，进一步影响导线的等效阻抗。
电容效应： 相邻的导线之间，或者导线与地之间，都会形成寄生电容。在长导线上，这些寄生电容会累积起来，对信号的传输产生重要影响。
电磁场的传播： 在高频下，信号不再仅仅是电路中的电流和电压的简单流动，而更像是电磁波在空间中的传播。导线就像是电磁波的“波导”。信号的传播速度、反射、驻波等现象都会出现。

在这种分布参数模型下，我们描述电压和电流关系的方程会变得非常复杂，不再是简单的代数关系，而是偏微分方程，例如电报方程（Telegrapher's Equation）。这些方程会同时考虑导线的电阻、电感、电容以及它们在空间中的分布情况。

例如，一段传输线上的电压 $v(x,t)$ 和电流 $i(x,t)$ 的关系就会变成：
$frac{partial v}{partial x} = L' frac{partial i}{partial t} R' i$ （电压随位置的变化与电流变化率及电流有关）
$frac{partial i}{partial x} = C' frac{partial v}{partial t} G' v$ （电流随位置的变化与电压变化率及电压有关）
其中，$L'$, $R'$, $C'$, $G'$ 分别代表单位长度的电感、电阻、电容和电导。

在这些分布参数模型下，我们分析的是信号在空间中的传播特性，需要考虑波阻抗、反射系数、传播常数等概念。

总结一下：

我们通常使用的RLC两端电压与电流的关系，例如 $V_R = IR$、$V_L = L frac{dI}{dt}$、$I = C frac{dV_C}{dt}$，确实是基于集中参数模型的简化，它忽略了元器件的物理长度及其在空间中的分布效应。

这种忽略是在低频或者元器件尺寸远小于信号波长时，非常有效且方便的近似。它让我们能够用相对简单的代数和微分方程来分析电路行为。

然而，当工作频率升高，或者传输距离变长，使得元器件的物理尺寸或导线长度与信号波长在一个数量级时，分布参数效应就必须被考虑。这时，我们则需要用到更复杂的数学工具来描述电压和电流在空间中的传播特性，才能准确地分析电路行为。

所以，你提出的问题非常切中要害。我们日常学习和使用的那些基本公式，是建立在一个重要的“忽略”之上的，这个忽略使得电路分析变得可行和高效，但也意味着它并非适用于所有情况，特别是在高频和长距离通信的领域。

一般说的RLC都是集总参数， 元器件尺寸与波长相比可以忽略，L和C一般可以认为全部集中在器件内部 (分布参数有时还是要考虑的.)

具体算一下，1GHz时波长是15cm (PCB上的光速是真空光速的一半左右)。现在PCB上常用的贴片RLC都远小于这个尺寸。而1GHz在大多数情况已经是很高的频率了。

波长与PCB走线尺寸之比更小时就是分布参数模型了，随便找本微波之类的书，里面都有。