Homology 和 Homotopy 能在多大程度上完全决定一个流形的拓扑？

同调与同伦：流形拓扑的钥匙，但并非万能

我们探索一个数学对象——流形——的内在结构时，拓扑学扮演着至关重要的角色。而在这个领域中，同调（Homology）和同伦（Homotopy）无疑是最强大的工具之一。它们如同侦探手中的放大镜和指纹识别器，帮助我们揭示流形隐藏的几何性质。那么，这两种工具能在多大程度上“完全决定”一个流形的拓扑呢？换句话说，如果我们知道了两个流形的同调和同伦信息，我们能否断定它们在拓扑意义上是相同的？

简而言之，答案是：它们非常强大，但并不完全决定。 它们能捕捉流形的许多关键特征，但仍然存在一些“拓扑上相同”的流形，其同调和同伦信息却能有所不同。

让我们一步一步深入探讨。

同伦：捕捉“可变形性”的本质

同伦的概念，顾名思义，关注的是“可变形性”。两个连续映射，如果它们可以连续地“形变”到彼此，我们就说它们是同伦的。在流形的情境下，我们最常关注的是 同伦等价（homotopy equivalence）。

想象一下，我们有一个面包圈（一个环面）。我们可以将它拉伸、压缩，甚至扭曲，只要不撕裂或粘合，它仍然是一个面包圈。这个“不变性”正是同伦所描述的。两个流形如果可以通过一系列的连续形变相互转换，那么它们就称为同伦等价。

同伦不变性（Homotopy Invariant）： 许多重要的拓扑性质都是同伦不变的。这意味着，如果两个流形同伦等价，那么它们就拥有相同的这些性质。例如：

连通性（Connectedness）： 如果一个流形是连通的，那么任何与其同伦等价的流形也必然是连通的。
维度（Dimension）： 维度是同伦不变的。
基本群（Fundamental Group, $pi_1$）： 这是同伦论中一个核心的概念，它描述了流形上“绕圈”的方式。如果两个流形同伦等价，那么它们的が基本群是同构的。基本群虽然不是同伦的直接度量，但它与同伦有着紧密的联系。
更高阶同伦群（Higher Homotopy Groups, $pi_n$）： 类似地，所有更高阶的同伦群也都是同伦不变的。

同伦类型（Homotopy Type）： 事实上，数学家们会将所有同伦等价的流形归为一类，称为“同伦类型”。具有相同同伦类型的流形，意味着它们在“可变形性”的意义上是本质相同的。

但是，同伦并不足以完全区分流形。 举个例子：

球面（Sphere）和一点（Point）： 一个 $n$ 维球面（$S^n$）对于 $n ge 2$ 来说，与一个点（Point）是同伦等价的。这是因为我们可以将球面上的所有点连续地收缩到一个点上。然而，一个球面显然与一个点在拓扑上是不同的（它们的维度不同，基本群也不同，等等）。这说明，同伦等价性虽然强大，但它忽略了流形的“整体结构”中的一些细节，比如“有多少个洞”这种更具体的几何信息。

同调：捕捉“洞”的结构

同调论则侧重于流形“洞”的结构，但这里的“洞”是一个更抽象、更普遍的概念。它不是我们直观理解的“空洞”，而是从流形的“边界”和“循环”的角度来定义。

同调群（Homology Groups, $H_n$）是同调论的核心。它们是代数对象（通常是阿贝尔群），可以用来衡量流形在不同维度上“洞”的数量和类型。

$H_0$ 衡量的是流形有多少个连通分支。
$H_1$ 衡量的是流形有多少个“一维的洞”（比如环面上的洞）。
$H_2$ 衡量的是流形有多少个“二维的洞”（比如三维空间中的球形洞）。
以此类推。

同调不变性（Homology Invariant）： 任何同伦等价的流形，它们的同调群都是同构的。这意味着，如果两个流形的同调群是不同的，那么它们就绝对不是同伦等价的，也因此不是同胚的（homeomorphic，即拓扑上相同）。

举例说明同调的强大之处：

球面的同调： $S^n$ 的同调群告诉我们，它在维度 0 是 $mathbb{Z}$（表示一个连通分支），在维度 $n$ 是 $mathbb{Z}$（表示一个 $n$ 维的“洞”），而在其他维度上是 0。
环面的同调： 一个二维环面 ($T^2$) 的同调群是 $H_0(T^2) cong mathbb{Z}$，$H_1(T^2) cong mathbb{Z} oplus mathbb{Z}$（表示两个独立的“洞”），$H_2(T^2) cong mathbb{Z}$（表示一个“二维的洞”），其他维度为 0。

但是，同调也并不足以完全区分流形。 这也是问题的关键所在。

同调等价（Homology Equivalent）： 两个流形，如果它们的同调群在所有维度上都是同构的，我们就说它们是同调等价的。
辛格博雷尔定理（SingerBorel Theorem）的启示（虽然这个定理更侧重于同伦）： 在某些特定情况下，特别是在紧致、单连通（即基本群是平凡的）流形中，同调信息可以提供非常强大的区分能力。但是，一旦流形不是单连通的，同调信息就不足以完全刻画其拓扑。

为什么同调不足以完全决定拓扑？

同调论虽然强大，但它本质上是“线性化”了流形的结构。它忽略了流形上“洞”之间的“相互作用”或“连接方式”。

考虑一个简单的例子：

李群（Lie Group）的商空间： 有些李群的商空间，即使它们具有相同的同调群，也可能在拓扑上有所不同。这通常是因为基本群的结构信息在同调论中被“丢失”了。

更普遍地说，同调论忽略了流形上 “循环的相交性”（intersection properties of cycles）。例如，一个一维循环在流形中“绕行”的方式，以及它与其他循环的交叉方式，这些信息对流形的拓扑结构至关重要，但同调群本身并不能完全捕捉这些细节。

这里出现了一个更深层次的问题：

同伦类型是同调不变的，但反之不一定。 也就是说，同调等价的流形，未必同伦等价。
同胚流形必然同伦等价，也必然同调等价。 这是拓扑学的基本原则。
问题在于，同伦等价的流形，是否一定同调等价？ 是的，如前所述，同调是同伦不变的。
问题在于，同调等价的流形，是否一定同伦等价？ 不一定。
问题在于，同伦等价的流形，是否一定同胚？ 不一定。

进阶工具：组合三叶草与拓扑的鸿沟

为了更全面地理解流形的拓扑，我们还需要引入更强大的工具。

1. 同伦层（Homotopy Layers）/ 频谱序列（Spectral Sequences）： 这是数学家们用来系统地提取拓扑信息的强大技术。同伦论和同调论可以被视为频谱序列的不同“起点”。通过计算频谱序列的项，我们可以逐步获得关于流形拓扑更精细的信息。
Serre 谱序列（Serre Spectral Sequence）： 是一个非常著名的例子，它将一个纤维丛（fiber bundle）的同调群与其底空间（base space）和纤维（fiber）的同调群联系起来。这说明了在更复杂的结构中，信息如何传递和组合。
HiltonMilnor 定理： 在特定条件下，当两个流形具有相同的同伦群，并且某些其他条件满足时，它们就具有相同的同伦类型。

2. 特征类（Characteristic Classes）： 这是另一种描述流形结构的工具，尤其是在研究向量丛（vector bundles）时。特征类能够捕捉到流形“扭曲”程度的信息，而这些信息往往是同调和同伦本身无法直接提供的。例如，庞加莱猜想（Poincaré Conjecture）（现已证明）就涉及到三维球面的拓扑性质，它与流形的同伦类型有关，但最终的证明也需要利用到更强的几何和分析工具。

3. 辛几何（Symplectic Geometry）和微分几何（Differential Geometry）： 在更具体的流形研究中，例如微分流形，微分几何的工具，如曲率、测地线等，可以提供比纯粹的拓扑信息更丰富的结构。然而，这些是拓扑学之外的性质。

总结：钥匙，但非所有锁孔

同伦 捕捉了流形“可变形性”的本质，同伦等价的流形在“宏观”层面上是相似的。
同调 则量化了流形“洞”的数量和类型，同调等价是同伦等价的必要条件。

然而，仅仅知道同调和同伦信息，并不能完全决定一个流形的拓扑。存在着：

同调等价但不同伦等价的流形。
同伦等价但不全同胚的流形。 （这里的“不全同胚”需要谨慎理解，很多时候我们说的是“同伦等价但不是同胚”，但这通常出现在非常高维或者非奇异的情况下。最经典的例子是，虽然 $S^n$ 和点同伦等价，但它们不是同胚的，因为维度不同。）

简单来说：

同伦信息非常强大，它区分了大部分“基本不同”的流形。
同调信息是同伦信息的一个“衰减”版本，它丢失了一些精细的结构。

如果两个流形的同伦群（或者更广泛的同伦论所能捕捉到的信息）存在差异，那么它们绝对不是拓扑等价的。但即使它们的同伦群相同，甚至它们是同伦等价的，也 不保证 它们在拓扑上是完全相同的（即同胚）。

一个更贴切的比喻：

同伦和同调像是你的身份信息，如你的姓名、出生日期、籍贯。这些信息能区分绝大多数人，但并不能完全决定你的“本质”——你的思想、你的经历、你的性格。有些人可能有相似的身份信息，但内在却是完全不同的。

要完全决定一个流形的拓扑，我们可能需要结合同调、同伦，以及更精细的代数拓扑（如特征类）和甚至微分几何的工具，才能更全面地刻画一个流形。它们是强大而必要的工具，但要说“完全决定”，则还差一步。

補充一下 @Yan Zou 的回答。Yan給的主要是否定的答案，但是的確有homotopy invariant完全的recover一個空間的homotopy type。

以下解釋略長，先給你個tl;dr: as E infinity algebra決定了一個nilpotent空間的homotopy type。 as E infinity ring spectrum也決定了一個nilpotent空間的homotopy type。白話點說：兩個空間的homotopy type要相同if and only if 他們的singular cochain as E infinity algebra要是quasi isomorphic if and only if 他們的 as E infinity ring spectrum是weakly equivalent。

解釋開始：

我們先從一些例子來找些直覺：

Yan给的例子 是兩個空間有同樣的cohomology，但是我們如果考慮在cohomology之上的代數結構cup product，我們可以看到，讓x是degree 2的cohomology的generator 。

好，那麼你就會問了，有沒有可能有兩個空間A, B，有同樣的cohomology ring，但是不同的homotopy type。的確有，考慮 。這兩個空間有一樣的cohomology ring，但是Steenrod operation在上面的action不一致。我們有

如果x是 的generator，那麼從suspension isomorphism我們得出 也是generator。那麼Steenrod operation正好把degree 3的generator送到degree 5。那現在我們有一個簡單的inclusion 3，那麼我們有

所以兩個空間不是homotopically equivalent。那你又會問了，如果我們考慮所有的Steenrod operation呢？你已經快對了，你要考慮的是cochain level的Steenrod operation。那我們先看看Steenrod operation是怎麼產生的。

你有沒有想過為什麼 會有Steenrod operation。原因比你想像的深，真正的原因是 是個 algebra，而每一個 algebra上都會有Steenrod operation。舉例來說， 上面有Dyer-Lashof operation，那你剛學的時候肯定有懷疑，為什麼Steenrod operation和Dyer-Lashof operation長得這麼像，都有Adem relation, etc。原因如下，Steenrod algebra 和Dyer-Lashof algebra 只是Big Steenrod algebra 的一部分，Steenrod algebra是positive degree的部分而Dyer-Lashof algebra是negative degree的部分。好那麼你就會問了，什麼叫做一個 algebra，定義上是if X is an algebra over an E infinity operad Ｃ，包含了以下的map

每一個C(i)是一個free resolution of 。那這些data在講些什麼呢？給你一個intuition，因為每一個C(i)是acyclic，可以把它想成是contractible，那給定一個 我們就有個multiplication map從 ，那麼假設 是path connected，給定兩個 ，兩個induced的multiplication就是homotopy equivalent的。所以事實上我們在path connected就已經有commutativity passing to homotopy。那E infinity structure不單單只有path connected，還有所有的higher connectivity，那麼你就可以想成所有的homotopy的homotopy的homotopy的...的homotopy(higher homotopy)都commute。

那 上接受了Eilenberg-Zilber operad的action，雖然Eilenberg-Zilber operad只是acyclic，但是你可以找到一個 operad的lift讓singular cochain變成一個 algebra。那你就會問啦，Steenrod operation是怎樣來的，假設p=2，取 generator，那麼我們定義 。

好前面鋪墊了這麼久，你要的結論來了：

定理一(Mandell, Sullivan)：一個nilpotent空間的rational homotopy type是被 的E infinity structure所決定， 是一個fully faithful embedding into homotopy category of Q-E infinity algebra

定理二(Mandell): 一個nilpotent p-complete finite p-type空間的homotopy type是被 的E infinity structure所決定， 是一個fully faithful embedding into homotopy category of -E infinity algebra

定理三(Mandell): 一個nilpotent空間的homotopy type是被 的E infinity structure所決定， 是一個 faithful but not full embedding into homotopy category of -E infinity algebra

那定理三就跟你說，兩個空間的homotopy type要相同，if and only if 他們的singular cochain as E infinity algebra要是quasi isomorphic。

那以上的所有定理都可以把他拉到stable homotopy category。下面的定理是我導師的unpublished work。基本上是用Bousfield Kan spectral sequence來計算mapping space between E infinity ring spectrum。

定理四(Hopkins): 一個nilpotent空間的rational homotopy type是被 的E infinity structure所決定， 是一個fully faithful embedding into homotopy category of -E infinity ring spectrum

定理五(Hopkins): 一個nilpotent p-complete finite p-type空間的homotopy type是被 的E infinity structure所決定， 是一個fully faithful embedding into homotopy category of -E infinity ring spectrum

定理六(Hopkins): 一個nilpotent空間的homotopy type是被 的E infinity structure所決定， 是一個 faithful but not full embedding into homotopy category of -E infinity ring spectrum

附上一些參考文獻：

想學operad有關的，請參考may的

Steenrod operation存在真正的原因：

定理一的簡化版:

定理二：

定理三：