知道三个点的坐标，如何求过这三点的圆的方程？

很高兴为你详细解答如何求解过三个点（不共线）的圆的方程。

理解问题：

我们已知三个点的坐标，假设它们分别是 $A(x_1, y_1)$、$B(x_2, y_2)$、$C(x_3, y_3)$。我们要找到一个圆的方程，使得这三个点都位于这个圆上。

圆的标准方程是：$(x a)^2 + (y b)^2 = r^2$，其中 $(a, b)$ 是圆心坐标，r 是半径。

所以，我们的目标就是通过这三个点的坐标，求出圆心 $(a, b)$ 和半径 $r$ 的值。

方法一：利用垂直平分线相交的性质（几何法）

核心思想： 过圆上任意两点弦的垂直平分线都经过圆心。因此，我们求出任意两对点之间的弦的垂直平分线，它们的交点就是圆心。

详细步骤：

1. 选择两对点，求弦的垂直平分线方程。
我们选择点 A 和点 B，以及点 B 和点 C（也可以选择 A 和 C）。

求弦 AB 的中点 $M_{AB}$：
中点的坐标是两点坐标的平均值。
$M_{AB} = left( frac{x_1 + x_2}{2}, frac{y_1 + y_2}{2} ight)$

求弦 AB 的斜率 $k_{AB}$：
如果 $x_1 = x_2$，则弦 AB 是垂直的，斜率不存在。
如果 $x_1 eq x_2$，则 $k_{AB} = frac{y_2 y_1}{x_2 x_1}$

求弦 AB 的垂直平分线的斜率 $k_{perp AB}$：
垂直线的斜率是原斜率的负倒数。
如果 $k_{AB} = 0$ (AB 是水平线)，则垂直平分线是垂直的，斜率不存在。
如果 $k_{AB}$ 不存在 (AB 是垂直线)，则垂直平分线是水平的，斜率为 0。
如果 $k_{AB} eq 0$ 且存在，则 $k_{perp AB} = frac{1}{k_{AB}} = frac{x_2 x_1}{y_2 y_1}$

写出弦 AB 的垂直平分线的方程：
利用点斜式：$y y_{M_{AB}} = k_{perp AB} (x x_{M_{AB}})$
将 $M_{AB}$ 的坐标和 $k_{perp AB}$ 代入即可。

重复以上步骤，求弦 BC 的垂直平分线方程。
求弦 BC 的中点 $M_{BC} = left( frac{x_2 + x_3}{2}, frac{y_2 + y_3}{2} ight)$
求弦 BC 的斜率 $k_{BC} = frac{y_3 y_2}{x_3 x_2}$ (处理 $x_2 = x_3$ 的情况)
求弦 BC 的垂直平分线的斜率 $k_{perp BC} = frac{1}{k_{BC}}$ (处理斜率不存在或为零的情况)
写出弦 BC 的垂直平分线的方程：$y y_{M_{BC}} = k_{perp BC} (x x_{M_{BC}})$

2. 求解两个垂直平分线方程组成的方程组，得到圆心 $(a, b)$。
将你求出的两直线方程写出来，然后用代入法或加减消元法解出 $x$ 和 $y$ 的值，这两个值就是圆心 $(a, b)$ 的坐标。

特殊情况处理：
如果弦 AB 是水平的 ($y_1 = y_2$)，则它的垂直平分线是竖直的，方程为 $x = frac{x_1 + x_2}{2}$。
如果弦 AB 是竖直的 ($x_1 = x_2$)，则它的垂直平分线是水平的，方程为 $y = frac{y_1 + y_2}{2}$。
在解方程组时，如果遇到这种情况，会更方便。

3. 计算圆的半径 r。
圆心 $(a, b)$ 到任意一个已知点（A, B, 或 C）的距离就是圆的半径。
例如，计算圆心 $(a, b)$ 到点 A $(x_1, y_1)$ 的距离：
$r = sqrt{(x_1 a)^2 + (y_1 b)^2}$

4. 写出圆的方程。
将求出的圆心 $(a, b)$ 和半径 $r$ 代入圆的标准方程：
$(x a)^2 + (y b)^2 = r^2$

举例说明：

设三个点为 $A(1, 2)$、$B(3, 4)$、$C(5, 2)$。

1. 求弦 AB 的垂直平分线：
中点 $M_{AB} = left( frac{1+3}{2}, frac{2+4}{2} ight) = (2, 3)$
斜率 $k_{AB} = frac{42}{31} = frac{2}{2} = 1$
垂直斜率 $k_{perp AB} = frac{1}{1} = 1$
垂直平分线方程：$y 3 = 1(x 2) Rightarrow y 3 = x + 2 Rightarrow y = x + 5$ (方程 1)

2. 求弦 BC 的垂直平分线：
中点 $M_{BC} = left( frac{3+5}{2}, frac{4+2}{2} ight) = (4, 3)$
斜率 $k_{BC} = frac{24}{53} = frac{2}{2} = 1$
垂直斜率 $k_{perp BC} = frac{1}{1} = 1$
垂直平分线方程：$y 3 = 1(x 4) Rightarrow y 3 = x 4 Rightarrow y = x 1$ (方程 2)

3. 求解方程组：
将方程 1 和方程 2 相加：
$(y) + (y) = (x + 5) + (x 1)$
$2y = 4$
$y = 2$
将 $y=2$ 代入方程 2：
$2 = x 1$
$x = 3$
所以圆心是 $(a, b) = (3, 2)$。

4. 计算半径：
计算圆心 $(3, 2)$ 到点 A $(1, 2)$ 的距离：
$r = sqrt{(1 3)^2 + (2 2)^2} = sqrt{(2)^2 + 0^2} = sqrt{4} = 2$

5. 写出圆的方程：
$(x 3)^2 + (y 2)^2 = 2^2$
$(x 3)^2 + (y 2)^2 = 4$

方法二：利用圆的一般方程（代数法）

核心思想： 圆的一般方程是 $x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0$。我们知道过圆的三个点，将这三个点的坐标分别代入一般方程，就会得到一个关于 D, E, F 的三元一次方程组，解出 D, E, F 后，就得到了圆的一般方程。

详细步骤：

1. 写出圆的一般方程：
$x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0$

2. 将三个点的坐标代入一般方程：
对于点 $A(x_1, y_1)$： $x_1^2 + y_1^2 + Dx_1 + Ey_1 + F = 0$ (方程 A)
对于点 $B(x_2, y_2)$： $x_2^2 + y_2^2 + Dx_2 + Ey_2 + F = 0$ (方程 B)
对于点 $C(x_3, y_3)$： $x_3^2 + y_3^2 + Dx_3 + Ey_3 + F = 0$ (方程 C)

3. 解三元一次方程组，求出 D, E, F 的值。
这是一个线性方程组，可以通过代入法、消元法或矩阵法来求解。

消元示例：
用 (方程 B) 减去 (方程 A)：
$(x_2^2 + y_2^2 x_1^2 y_1^2) + D(x_2 x_1) + E(y_2 y_1) = 0$ (方程 D)

用 (方程 C) 减去 (方程 B)：
$(x_3^2 + y_3^2 x_2^2 y_2^2) + D(x_3 x_2) + E(y_3 y_2) = 0$ (方程 E)

现在我们得到了关于 D 和 E 的两个线性方程 (方程 D 和 方程 E)。解这两个方程组，可以求出 D 和 E 的值。

代回求 F：
将求出的 D 和 E 的值代入 方程 A (或 B 或 C)，就可以求出 F 的值。

4. 写出圆的一般方程：
将求出的 D, E, F 的值代回一般方程 $x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0$。

5. (可选) 将一般方程转换为标准方程：
如果你需要圆的标准方程 $(x a)^2 + (y b)^2 = r^2$，可以对一般方程进行配方：
$x^2 + Dx + y^2 + Ey = F$
$(x^2 + Dx + (frac{D}{2})^2) + (y^2 + Ey + (frac{E}{2})^2) = F + (frac{D}{2})^2 + (frac{E}{2})^2$
$(x + frac{D}{2})^2 + (y + frac{E}{2})^2 = frac{D^2 + E^2 4F}{4}$
所以圆心是 $(a, b) = (frac{D}{2}, frac{E}{2})$，半径的平方是 $r^2 = frac{D^2 + E^2 4F}{4}$。

举例说明：

设三个点为 $A(1, 2)$、$B(3, 4)$、$C(5, 2)$。

1. 一般方程：$x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0$

2. 代入点 A $(1, 2)$:
$1^2 + 2^2 + D(1) + E(2) + F = 0$
$1 + 4 + D + 2E + F = 0$
$D + 2E + F = 5$ (方程 A)

3. 代入点 B $(3, 4)$:
$3^2 + 4^2 + D(3) + E(4) + F = 0$
$9 + 16 + 3D + 4E + F = 0$
$3D + 4E + F = 25$ (方程 B)

4. 代入点 C $(5, 2)$:
$5^2 + 2^2 + D(5) + E(2) + F = 0$
$25 + 4 + 5D + 2E + F = 0$
$5D + 2E + F = 29$ (方程 C)

5. 解方程组：
(方程 B) (方程 A):
$(3D + 4E + F) (D + 2E + F) = 25 (5)$
$2D + 2E = 20$
$D + E = 10$ (方程 D)

(方程 C) (方程 B):
$(5D + 2E + F) (3D + 4E + F) = 29 (25)$
$2D 2E = 4$
$D E = 2$ (方程 E)

现在解方程组 D+E = 10 和 DE = 2:
将两个方程相加：
$(D + E) + (D E) = 10 + (2)$
$2D = 12$
$D = 6$
将 D = 6 代入 D + E = 10:
$6 + E = 10$
$E = 4$

将 D = 6, E = 4 代入 方程 A:
$6 + 2(4) + F = 5$
$6 8 + F = 5$
$14 + F = 5$
$F = 9$

6. 写出圆的一般方程：
$x^2 + y^2 6x 4y + 9 = 0$

7. (可选) 转换为标准方程：
$(x^2 6x) + (y^2 4y) = 9$
$(x^2 6x + 9) + (y^2 4y + 4) = 9 + 9 + 4$
$(x 3)^2 + (y 2)^2 = 4$
这与方法一得到的结果一致。

总结与注意事项：

前提条件： 这两种方法都要求三个点不共线。如果三个点共线，它们不可能构成一个圆。你可以通过计算任意两对点的斜率来判断是否共线。
方法的选择：
几何法 更直观，容易理解圆心是垂直平分线的交点这一概念。
代数法 更直接，适用于直接计算，不容易出错，特别是当坐标值比较复杂时。
计算的准确性： 在进行计算时，请务必仔细，避免计算错误。特别是斜率和方程组的求解过程中。
特殊情况： 在几何法中，注意处理垂直线（斜率不存在）和水平线（斜率为零）的情况，这会简化计算。
最终结果： 两种方法最终都会得到过这三个点的唯一圆的方程。

希望这些详细的解释能帮助你理解如何求解过三个点的圆的方程！如果你有任何不清楚的地方，欢迎随时提出。

利用圆周角定理可以快速列出外接圆方程。

如图， 与 的关系，或者相等，或者互补，即

于是根据此关系利用向量内积运算列出方程

其中 是动点，其余给定点的坐标直接带入即可。唯一需要特别说明的是当 与 、 重合的情况，这也不是什么难事。

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我还是决定把方程明确写出来：

为了方便化简，我们可以选择恰当的坐标系：以 所在直线为 轴，以其中点 为原点，于是设

，

代入上面的方程

合并同类项

最后由平方差公式

其中

显然，我们所求的是下面两圆其中之一

即

即圆心在 轴上，两圆关于 轴对称，我们假设 点位于 上半平面，故圆

为所求。

等等，还没完，我想研究一下半径，注意到

这不就是正弦定理嘛……