4x5的表写入20个不同正整数，相邻数不互质，表中最大的数至少是多少？

这篇文章讨论的是一个有趣的数论问题，探讨如何在4x5的表格中填入20个不同的正整数，并满足“相邻数不互质”的条件。我们希望找到满足这个条件的表格中，所填入的数字里，最大的那个数字至少是多少。

首先，我们来梳理一下题目的核心要求：

1. 表格大小： 一个4行5列的表格，总共有 4 × 5 = 20 个格子。
2. 填入数字： 填入20个“不同的正整数”。这意味着我们不能重复使用任何数字。
3. 相邻数不互质： 表格中的任何两个“相邻”的数字，它们的公约数必须大于1，也就是说它们必须有除了1以外的公因数。这里的“相邻”通常指的是在水平方向上和垂直方向上紧挨着的数字。对角线上的数字不属于相邻数。

我们的目标是：在满足上述所有条件的情况下，找到一个表格，使得表格中所有20个数字中，最大的那个数字尽可能小。换句话说，我们要最小化这个最大值，也就是找到这个“至少是多少”。

核心思想：构建“不互质链”

“相邻数不互质”这个条件是解决问题的关键。它意味着我们可以将表格中的数字看作是由一系列“不互质”的链接连接起来的链条。如果我们想让所有数字都相对较小，那么我们应该尽量利用较小的质数来构建这些不互质的联系。

最小的正整数是从1开始的。但是，1与任何正整数的公约数都是1，这意味着1与任何其他数字都互质。因此，我们不能在表格中使用1，因为一旦1出现在表格的任何位置，它相邻的数字就无法满足“不互质”的条件。所以，我们使用的数字必须从2开始。

利用质数构建联系

考虑一对不互质的数，例如2和4。它们有公约数2。3和6有公约数3。5和10有公约数5。我们发现，如果两个数是同一个质数的倍数，它们就不互质。

最简单的方法是，围绕某一个或几个质数来构建整个表格。例如，我们可以尝试让所有数字都包含质数2作为公约数（即所有数字都是偶数）。或者，我们可以让大部分数字都包含3作为公约数，其他数字包含2作为公约数等等。

策略一：围绕一个质数构建

假设我们围绕质数2来构建。这样表格中的所有数字都是偶数。最小的20个不同的偶数是：2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24, 26, 28, 30, 32, 34, 36, 38, 40。
这20个数字的最大值是40。如果我们可以找到一种排列方式，使得所有相邻数都是偶数，那么答案可能就在这个范围附近。

然而，仅仅是偶数还不够。我们必须确保相邻数“不互质”，不仅仅是“有公约数2”。例如，2和3是互质的，但2和4不互质。

策略二：利用多个质数交织

一个更有效的方法是利用几个小的质数，比如2, 3, 5，来构建数字。通过将数字设计成是这些质数的倍数，我们可以确保它们之间存在公约数。

例如，我们可以设计一个方案，使得表格中的数字可以划分为几组，每组内的数字可以通过某个质数联系起来，而组与组之间通过另一个质数联系。

尝试构建一个具体的表格

让我们试着构建一个表格，并记录遇到的挑战和解决方法。
目标是最小化最大值。我们先从较小的数字开始尝试。

考虑质数2, 3, 5。

我们可以尝试将数字分为几类：
1. 偶数 (包含因子2)
2. 3的倍数 (包含因子3)
3. 5的倍数 (包含因子5)

为了让相邻数不互质，我们可以让：
一个偶数旁边是另一个偶数。
一个3的倍数旁边是另一个3的倍数。
一个5的倍数旁边是另一个5的倍数。

但是，我们需要在它们之间建立联系。例如，一个偶数旁边不一定是偶数，但它必须和它不互质。
比如，偶数6旁边可以是另一个偶数10（公约数2），也可以是3的倍数9（公约数3），或者是5的倍数15（公约数3或5）。

一种可能的构建思路：基于“链”的扩展

想象我们有一个核心数字，比如6。
6的相邻数可以是：
另一个2的倍数：2, 4, 8, 10, 12, ...
另一个3的倍数：3, 9, 15, 21, ... (如果选3，它与6不互质，但3本身可能很难和它周围的数字不互质)
另一个6的倍数：12, 18, 24, ...

我们希望用最小的数填满表格。

让我们考虑一个更系统的方法：将数字分配到“质数圈”中。
如果我们有一个数字“p”的倍数集合A，和另一个数字“q”的倍数集合B。如果A中的数字和B中的数字相邻，它们必须不互质。

一个实验性的表格构建

假设我们使用质数2和3。
我们可以将表格中的格子看作是“偶数区域”和“3的倍数区域”。
为了确保相邻不互质，我们可以这样设计：
在表格的某些区域，填入2的倍数。
在表格的另一些区域，填入3的倍数。
在区域的边界处，填入既是2的倍数又是3的倍数的数（即6的倍数），用来连接这两个区域。

具体尝试构建：

让我们先考虑一个包含20个数字的集合，并且这些数字之间可以通过相邻关系形成一个“不互质网络”。

思考：如何分配数字以最小化最大值？

我们应该优先使用小的质数来保证不互质的特性。
考虑质数2, 3, 5。

如果我们只用2的倍数，最小的20个是2, 4, ..., 40。最大值是40。但这仅仅是所有数字都是偶数的情况。我们还没有考虑其他数字的可能性。

如果我们可以让表格中的数字是这样分布的：
一部分是2的倍数。
一部分是3的倍数。
一部分是2的倍数，同时也是3的倍数（即6的倍数）。

我们可以在表格中创建这样的“路径”：
偶数 <> 6的倍数 <> 3的倍数 <> 6的倍数 <> 偶数

一个可能的结构：

想象一个4x5的表格。我们可以将其看作是有一些“质数团块”组成的。
例如，我们可以尝试构建一个模式，使得每两个相邻的数字都有一个共同的质因子。

方案一：基于素数因子分组

我们可以将20个数字大致分为三组：只含2作为小质因数、只含3作为小质因数、以及同时含2和3（即含6）作为小质因数。

1. 6的倍数（作为连接点）： 这是关键。6的倍数可以与2的倍数不互质，也可以与3的倍数不互质。我们只需要很少的几个6的倍数就可以连接大量的偶数和3的倍数。比如：6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, 54, 60。

2. 2的倍数（偶数）： 我们需要大量的偶数。
2, 4, 8, 10, 14, 16, 20, 22, 26, 28, 32, 34, 38, 40, 44, 46, 50, 52, 56, 58, ...

3. 3的倍数：
3, 9, 15, 21, 27, 33, 39, 45, 51, 57, ...

如何排布？

我们可以将表格想象成网格，利用6的倍数作为“枢纽”连接偶数区域和3的倍数区域。

一个可能的表格构思：

我们优先使用小的数字。
假设我们用6作为核心连接点。
考虑一个3x3的局部区域，我们可以用6将它与周围的数字连接起来。

让我们尝试填充一个表格，目标是最小化最大值。
我们从一个较小的数字开始，例如6。
6的旁边可以是2，4，8，10，12，18，24，30... (2的倍数)
6的旁边可以是3，9，12，15，18，21，24，27，30... (3的倍数)

构建一个8的倍数和6的倍数的混合表格

为了使数字更小，我们可以考虑使用8的倍数，因为8和6的公约数是2。
8, 16, 24, 32, 40, 48, 56, 64, 72, 80 ...
6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, 54, 60 ...

核心思路：最小化最大值意味着要挤压数字的范围。

我们可以尝试构建一个“最密集”的数字网络，也就是利用最小的质数来连接所有数字。

一个简化的思路：
我们可以将表格分为两类数字：
A类：至少有一个质因子是2
B类：至少有一个质因子是3

为了连接A类和B类，我们需要同时是2和3的倍数的数字（6的倍数）。

考虑一个分配策略：
我们尝试分配数字到以下几类：
1. 6的倍数 (m6)
2. 2的倍数但不是3的倍数 (m2, 但m不是3的倍数)
3. 3的倍数但不是2的倍数 (m3, 但m不是2的倍数)

一个实际的例子推演：

假设我们选择一些数字：
从6开始：6
6的旁边可以是：12 (6的倍数), 18 (6的倍数), 24 (6的倍数), 30 (6的倍数), 36 (6的倍数), 42 (6的倍数), 48 (6的倍数), 54 (6的倍数), 60 (6的倍数)。

如果我们用这9个数字填满一个3x3的区域，它们都是6的倍数。

现在我们考虑4x5的表格。我们可以这样来思考：
在一个4x5的网格中，我们总是可以找到路径。

关键在于如何利用质数因子来串联。

假设我们使用了质数2, 3, 5。
我们可以设计一个方案，使得：
相邻的数要么都是偶数。
要么都是3的倍数。
要么都是5的倍数。
要么是一个偶数和一个6的倍数。
要么是一个3的倍数和一个6的倍数。
要么是一个5的倍数和一个10的倍数。
要么是一个5的倍数和一个15的倍数。
要么是一个3的倍数和一个15的倍数。

一个更集中的构造思路：

如果我们用一个质数p来“连接”所有数字，那么所有数字都可以是p的倍数。
比如，如果所有数字都是偶数，最小的20个是2, 4, ..., 40。最大值40。
如果所有数字都是3的倍数，最小的20个是3, 6, ..., 60。最大值60。

但是，我们允许两个数字是“不互质”，但不一定要是同一个质数的倍数。例如，6和9不互质（公约数3），6和10不互质（公约数2）。

一种可能的低上限构造：

考虑数字集合：
6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, 54, 60 (都是6的倍数，共10个)
2, 4, 8, 10, 14, 16, 20, 22, 26, 28 (10个2的倍数，不包含上面10个中的任何一个，且都是偶数)

这20个数字的最大值是60。我们可以尝试将它们排列起来。
例如，我们可以将10个6的倍数放在中间，将10个2的倍数放在周围。

一个更容易理解的“链式”连接：

我们可以考虑将数字分成几组，用中间的数字连接起来。

1. 核心链： 利用6的倍数。
6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, 54, 60 （10个）
2. 连接偶数： 需要10个偶数。我们可以选择比6的倍数稍微小一点的偶数。
2, 4, 8, 10, 14, 16, 20, 22, 26, 28 （10个）

现在我们需要验证是否能将它们放在4x5的表格中，并且相邻数不互质。

考虑表格布局：

```
A B C D E
F G H I J
K L M N O
P Q R S T
```

我们可以将6的倍数放在一些关键位置，比如中心区域。
将2的倍数放在其他位置。

一个可能的低上限构造证明（非严格证明，而是演示思路）：

考虑以下20个数字：
6的倍数： 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, 54, 60 (10个)
2的倍数（不含3的因子）： 2, 4, 8, 10, 14, 16, 20, 22, 26, 28 (10个)

这20个数字中，最大的是60。
我们可以尝试构建一个表格：

第一行：2, 4, 8, 10, 6
第二行：14, 16, 18, 20, 12
第三行：22, 24, 26, 28, 24 (这里24重复了，不行)

重新组织思路：

我们需要确保任意相邻的两个数都有公约数。
我们可以设计一个“每行/每列都是同一个质数因子链”的结构。

一个更优的构造思路：利用两个质数因子交替。

考虑质数2和3。
我们可以尝试让数字交替是2的倍数和3的倍数，并在连接处使用6的倍数。

尝试一个上限估计：

如果我们使用数字1到20，会发现很多相邻数都是互质的（例如2和3，3和5，5和7）。所以我们必须使用比20大得多的数字。

一种常见的构造方法是利用图论。
将每个数字看作图的节点。如果两个数字是互质的，则它们之间不连边。我们要在图上找一个包含所有20个节点的连通子图，其中任意两个相邻节点都有边相连（即不互质）。

思考：什么是最“密集”的质数因子分布？

质数2和3的组合是最常见的。
考虑数字集合：
6的倍数：6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, 54, 60 (10个)
2的倍数（不是3的倍数）：2, 4, 8, 10, 14, 16, 20, 22, 26, 28 (10个)

现在我们来尝试填充这个4x5的表格，确保相邻数不互质。
我们可以将表格的“格子”分配给这些数字。

一种可能的填法：
第一行： 2, 4, 8, 10, 6
第二行： 14, 16, 18, 20, 12
第三行： 22, 24, 26, 28, 24 (此处24重复，需要调整)

新的数字选择：

我们是否能用更小的数字完成这个任务？

假设我们围绕质数2和3来构建。
我们需要20个数字。
10个是6的倍数：6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, 54, 60
10个是2的倍数，但不是3的倍数：2, 4, 8, 10, 14, 16, 20, 22, 26, 28

现在我们来尝试填充表格，确保所有相邻数都至少有一个共同因子（2或3）。

一个可能的4x5表格填充方案：

我们可以尝试将6的倍数作为“桥梁”。
第一行： 2, 6, 12, 18, 24
第二行： 4, 30, 36, 42, 28
第三行： 8, 10, 48, 54, 60
第四行： 14, 16, 20, 22, 30 (此处30重复了)

需要更仔细的分配。
考虑表格结构：
```
A1 A2 A3 A4 A5
B1 B2 B3 B4 B5
C1 C2 C3 C4 C5
D1 D2 D3 D4 D5
```
A1 与 B1, A2 相邻。

一个成功填法的思路：

我们可以将表格看作是两个“不互质链”的交织。
考虑一个4x5的表格。我们可以用2和3来构造。

方法：利用质因子链的连接

关键点： 在表格的边界和内部，放置能够连接不同“质因子集”的数字。

一个有效的策略是：将表格的“核心”区域填入6的倍数，然后围绕核心区域填入2的倍数（非3的倍数）和3的倍数（非2的倍数）。

考虑以下20个数字的集合：
6的倍数： 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, 54, 60 (10个)
2的倍数 (非3的倍数)： 2, 4, 8, 10, 14, 16, 20, 22, 26, 28 (10个)

我们来尝试填充表格：

第一行： 2, 4, 6, 8, 10
第二行： 12, 14, 16, 18, 20
第三行： 22, 24, 26, 28, 30
第四行： 36, 42, 48, 54, 60

让我们检查一下相邻的数字是否不互质：
行内：
1行：(2,4)公约2, (4,6)公约2, (6,8)公约2, (8,10)公约2. OK.
2行：(12,14)公约2, (14,16)公约2, (16,18)公约2, (18,20)公约2. OK.
3行：(22,24)公约2, (24,26)公约2, (26,28)公约2, (28,30)公约2. OK.
4行：(36,42)公约6, (42,48)公约6, (48,54)公约6, (54,60)公约6. OK.

列内：
列1：(2,12)公约2, (12,22)公约2, (22,36)公约2. OK.
列2：(4,14)公约2, (14,24)公约2, (24,42)公约6. OK.
列3：(6,16)公约2, (16,26)公约2, (26,48)公约2. OK.
列4：(8,18)公约2, (18,28)公约2, (28,54)公约2. OK.
列5：(10,20)公约10, (20,30)公约10, (30,60)公约30. OK.

这个构造是成功的！
我们使用了一组20个不同的正整数：
{2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24, 26, 28, 30, 36, 42, 48, 54, 60}

这个集合中最大的数字是 60。

问题是：60是“至少是多少”吗？也就是说，能否用一个最大值小于60的集合来填充表格？

假设存在一个表格，其最大值为 M < 60。
这意味着我们使用的所有20个数字都小于60。
并且它们是不同的正整数。

我们再考虑一下构造的优化。
能否用更小的数字填充？

考虑使用更多小的质数因子来连接。
例如，除了2和3，还可以考虑5。

一个数字集合：
6, 10, 12, 14, 15, 18, 20, 21, 24, 25, 28, 30, 33, 35, 36, 40, 42, 45, 49, 50

这里的数字跨度很大。

重新审视60的构造。
在这个构造中，我们使用了：
10个6的倍数：6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, 54, 60
10个2的倍数（非3的倍数）：2, 4, 8, 10, 14, 16, 20, 22, 26, 28

为什么60可能是最小的？

如果我们尝试使用更小的数字，比如最大值不超过50。
那么我们必须从 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12, ... 中选取20个。

尝试一个更紧凑的集合：

考虑2的倍数和3的倍数：
2, 3, 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18, 20, 21, 22, 24, 26, 27, 28, 30

这20个数字的最大值是30。
让我们检查一下它们是否可以填入表格。
2 和 3 是互质的，所以不能相邻。
2 和 9 是互质的。
3 和 4 是互质的。
3 和 5 (不在集合里)
5 和 6 是互质的。

关键问题：如何在有限的数字集合中，保证所有的“邻居”都不互质？

我们需要一个“连通图”，其中节点是数字，边代表“不互质”。
如果我们的集合是 {2, 3, 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18, 20, 21, 22, 24, 26, 27, 28, 30}。
例如，2和3是互质的，不能相邻。
2和9也是互质的。

一个“最坏情况”的考虑：

如果要保证表格中任意两个相邻的数都至少有一个公因子（2或3），那么我们必须精心构造。

如果表格中有一个数字是质数p，并且这个质数p的倍数在集合中不够多，那么它可能很难和它的邻居不互质。例如，如果我们使用3。它的邻居不能是互质的数，比如5, 7, 11, ...
如果3的邻居是2，那么它们不互质。如果邻居是4，它们互质。
所以3的邻居必须是2或3的倍数（或者其他共同因子）。

假设一个数字是素数p，并且它在表格的角落。它有两个邻居。
例如，数字3。它的邻居不能是任何不与3互质的数字（除了3本身）。
所以3的邻居只能是3的倍数。
但是我们需要的数字是不同的。所以3的邻居只能是6, 9, 12, 15, ...

如果我们想让最大值尽可能小，我们应该优先使用包含小质数因子的数字。

我们构造的60的方案的优势在于：
它利用了6的倍数作为连接点，这些数字本身就有两个小质因子（2和3）。
其余的数字都是2的倍数。
这样，无论是什么组合，只要是偶数和6的倍数相邻，它们就有公约数2。
只要是两个6的倍数相邻，它们就有公约数2（甚至6）。

为什么小于60的值可能不行？

假设我们能用最大值50来填充表格。
那么我们必须从 {2, 3, 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18, 20, 21, 22, 24, 25, 26, 27, 28, 30, ... 50} 中选择20个。
考虑集合 {2, 3, 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18, 20, 21, 22, 24, 26, 27, 28, 30}。
其中2和3互质，2和9互质，3和4互质，3和5互质（这里没有5），4和9互质，4和15互质。

我们需要确保的是，每两个相邻的数字都有公约数。

关键思考：一个“稀疏”的质数因子分布

如果我们只使用2的倍数，最小20个是2到40，最大值40。但我们无法保证所有相邻数都是2的倍数。
例如：
2 3 4 5 6
7 8 9 10 11
12 13 14 15 16
17 18 19 20 21

这里面大量的相邻数（如2和3，3和4，5和6，7和8等）是互质的。

为什么需要60？

考虑一个更强的条件：任意两个相邻的数都必须是“不互质的”。

如果我们设法构建一个包含数字 {2, 3, 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18, 20, 21, 22, 24, 26, 27, 28, 30} 的表格。
其中最大值是30。
但是，这里面存在互质的对，例如 (2, 3), (2, 9), (3, 4), (3, 5)(如果5在里面), (4, 9), (4, 15), (5, 6), (5, 9), (5, 14), (5, 16), (5, 18), (5, 20), (5, 21), (5, 22), (5, 24), (5, 26), (5, 27), (5, 28), (5, 30) ...
如果我们尝试在表格中放置2和3作为邻居，这是不允许的。
如果我们放置2和9作为邻居，这也是不允许的。

数字的选择至关重要：
我们需要确保所选的20个数字，可以排列成一个网格，使得任何相邻的两个数字都有一个共同的质因子。

我们构造60的方案的思路：
它确保了：
偶数和偶数相邻（公因子2）。
偶数和6的倍数相邻（公因子2）。
6的倍数和6的倍数相邻（公因子6）。

这个方案之所以成功，是因为它利用了2和3这两个最小的质数，并通过6的倍数将它们有效地连接起来。

反证思路（非常规证明）：

假设我们可以用一个最大值小于60的集合来填充表格。
这意味着我们使用的20个数字都在 {1, 2, ..., 59} 之间。
并且它们是互不相同的。

如果我们仔细分析数字在1到59之间的质因子分布。
我们会发现，有一些数字是“孤立”的，它们与许多其他数字互质。
例如，质数7，它与2, 3, 5, 11, ... 互质。如果7出现在表格的角落，它的两个邻居都必须是7的倍数。在159之间，7的倍数有7, 14, 21, 28, 35, 42, 49, 56。
如果我们必须用7的倍数来填充一个3x3区域的角落和边缘，我们很快就会用完数字或者遇到互质的问题。

结论：为什么是60

基于我们构造的成功案例，以及对数字之间互质关系的考虑，我们可以推断出60是一个非常具有竞争力的上限。

构建一个成功的表格通常需要利用小的质数作为连接的关键。2和3是最小的质数，它们的组合（通过6）是最有效的连接方式。
我们构造的方案使用了10个6的倍数和10个非3的2的倍数。这些数字覆盖了从2到60的范围。
这些数字可以被排列成一个4x5的表格，使得相邻数都不互质。

那么，是否可能存在一个小于60的数字集合，能够满足条件？

假设我们使用20个数字，最大值为58（最大的偶数小于60，且是2的倍数）。
尝试用2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24, 26, 28, 30, 32, 34, 36, 38, 40。最大值是40。
这组数字全是偶数。我们如何排列它们？
只要是偶数和偶数相邻，它们就不互质。
所以，如果所有数字都是偶数，那么最大值就是第20个偶数，即40。
但是，题目并没有要求所有数字都是偶数！

我们的构造是成功的，但我们还没有证明60是“最小的”。
要证明60是最小的，需要一个更严格的反证法。

考虑一个包含20个不同正整数的表格，其最大值为M。
如果 M < 60，那么我们使用的所有数字都在 {1, 2, ..., 59} 范围内。

更深入的思考：质数的分布对连接的影响。

数字的分布越密集地包含小质因子，越容易实现“不互质”的要求。
当数字增大时，它们成为多个质数倍数的概率也增大。

一个挑战：数字“3”和“5”

如果我们想使用更小的数字，例如最大值在3050之间。
我们需要考虑如何处理像3这样的数字。
3的邻居必须是3的倍数。
5的邻居必须是5的倍数。

如果我们的集合是 {2, 3, 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18, 20, 21, 22, 24, 26, 27, 28, 30}。
我们发现有互质的对 (2,3), (2,9), (3,4), (3,10), (3,14), ...
如果我们要将这个集合填入表格，我们需要确保这些互质的对永远不会相邻。

反例的思路：
设想一个表格，其最大值为54。我们尝试用 {2, ..., 54} 中的20个数字来填充。
我们发现，可能存在一种排列，使得所有相邻数都不互质。

重新审视我们构造60的方案：
它使用的数字是：
6的倍数：6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, 54, 60
2的倍数（非3的倍数）：2, 4, 8, 10, 14, 16, 20, 22, 26, 28

为什么这个集合是高效的？
因为它提供了大量的“连接点”（6的倍数），并且其他数字也易于与连接点连接（2的倍数）。

一个关于下界的思考：
需要20个数字。
如果我们用2的倍数，可以得到40。
如果我们用3的倍数，可以得到60。
如果我们用5的倍数，可以得到100。

关键问题在于，我们不一定要选择同一类数字。

假设我们有一个表格，其最大值为M。
那么这20个数字都小于等于M。

考虑一个更紧凑的数字集合：
我们可以尝试使用数字2, 3, 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18, 20, 21, 22, 24, 26, 27, 28, 30。
这组数字的最大值是30。
让我们尝试在一个4x5的表格里排列它们，并且保证相邻不互质。
例如，把3放在一个角落。它的邻居只能是3的倍数。
如果3在角落(1,1)，它的邻居是(1,2)和(2,1)。
假设(1,2)=6, (2,1)=9。
那么(1,1)=3, (1,2)=6, (2,1)=9。
(1,2)=6 的邻居还有(1,3), (2,2)。
(2,1)=9 的邻居还有(2,2), (3,1)。

如果数字是 {2, 3, 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18, 20, 21, 22, 24, 26, 27, 28, 30}。
我们发现，例如 2 和 3 是互质的。如果我们把它们放在相邻的位置，就不符合要求。
如果把 3 和 4 放在相邻位置，也不符合要求。

结论推导的思路：
我们需要一个包含20个数字的集合，并且在这个集合中，可以找到一种排列方式，使得任何相邻的两个数字都有一个公因数。

我们已经构造了一个成功的方案，其中最大值为60。
要证明60是最小值，我们需要证明任何小于60的最大值都无法构成这样的表格。
这个证明通常比较复杂，需要枚举或者基于数论性质的论证。

一个可能的反证片段：
如果最大值是54。
我们使用 {2, ..., 54} 的20个数字。
考虑质数53。它是一个质数。如果53出现在表格里，它的邻居必须是53的倍数。在小于等于54的范围内，53的倍数只有53本身。所以53无法成为表格中的数字，因为它无法与任何其他数字不互质。
所以，任何小于等于60的质数p，在表格中出现时，其邻居必须是p的倍数。
如果这个质数p非常接近最大值M，那么它的倍数就很少了。

考虑数字59。 59是质数。它的邻居必须是59的倍数。在1到59之间，只有59。因此，59不能作为表格中的数字（除了它自己是最后一个数字，周围的都不需要它，但它作为表格中的一部分，其邻居需要满足条件）。

数字47（质数）： 邻居必须是47的倍数。在159之间，只有47本身。

数字41（质数）： 邻居必须是41的倍数。在159之间，只有41本身。

这意味着，如果我们的最大值M小于某个质数p，那么这个质数p就不能出现在我们的表格中。
如果最大值M是59，那么质数59就不能出现。
如果最大值是54，那么质数53, 47, 43, 41, 37, 31, 29, 23, 19, 17, 13, 11, 7, 5, 3, 2 都可能成为问题。

我们的构造使用60，并且回避了这些质数的问题，因为它主要是2的倍数和6的倍数。
在 {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24, 26, 28, 30, 36, 42, 48, 54, 60} 中，质数只有2。而2的倍数本身就满足了不互质的条件（与2的倍数相邻）。

因此，我们可以推断，要满足条件，我们必须选择一组数字，使得它们之间能够形成足够多的“不互质”的连接。基于质数的分布特性，特别是大质数在小范围内的稀疏性，使得它们难以与周围数字形成不互质关系。而包含2和3（通过6）的数字集合则能提供更强的连接能力。

所以，60 是一个经过合理构造可以达到的上限，并且有理由相信它是最小的。证明其最小性需要更严谨的数学分析，但这通常是这类问题的研究方向和结论。

最终结论：

通过构造一个表格，其中包含20个不同的正整数：
{2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24, 26, 28, 30, 36, 42, 48, 54, 60}
我们可以满足相邻数不互质的条件。这个表格中的最大数字是60。

基于对质数分布和连接需求的分析，选择60作为最大值是合理的，并且它很可能是这个问题的最小值。

因此，表中最大的数至少是60。

首先注意到，如果我们取了任意素数p，为了让它和相邻的数不互质，我们得取它的至少两个倍数；进一步地，如果这个素数p>10，那么表中最大的数至少是3p>30。

反之，如果我们排除掉大于10的素数，此时自小到大取20个数（注意1也不能取）应该是：

2、3、4、5、6、7、8、9、10、12、14、15、16、18、20、21、22、24、25、26

下面我们尝试一下可不可以把这20个数排成满足题意的形状，为此先分一下组：

a) 7的倍数：7、14、21

b) 5的倍数：5、10、15、20、25

c) 不在a)和b)中的3的倍数：3、6、9、12、18、24

d) 其它：2、4、8、16、22、26

a)组中7必须占据一个角落，因为只有同组的另外两个数和它不互质；同理，b)组中5和25应当贴在一起并占据一个角落，c)组中3和9应当贴在一起并尽量占据一个角落。经过尝试可以得到下图：

5	20	d	d	d
25	10	d	d	d
15	6	18	24	14
3	9	12	21	7

其中d表示d组的任意一个偶数。

综上，表中最大的数的最小可能取值是26。