想彻底搞明白广义相对论，必须看一遍微分几何吗？
这个问题非常好，也触及到了学习广义相对论的核心门槛。我的回答是：想要“彻底搞明白”广义相对论，那么，至少要对微分几何有相当程度的理解，并且很有可能需要在学习广义相对论的过程中，同步或者回顾地学习微分几何。说它“必须看一遍”固然有些绝对，但可以说，没有微分几何的铺垫和支撑，你对广义相对论的理解将只能停留在非常表面的、类比的层面，无法真正深入其内在的数学结构和思想。
让我详细地展开来说明为什么：
1. 广义相对论的核心语言：时空作为弯曲的流形
你可能听说过，广义相对论的核心思想是“引力是时空弯曲的表现”。这句话非常精炼，但要理解它，你就必须面对一个全新的数学概念：流形（Manifold）。
什么叫流形？ 简单来说，流形是一种“局部看起来像欧几里得空间”但“整体上可以很弯曲”的空间。想象一下我们生活的地球表面：在你站着的地方，它看起来是平的，就像一个二维平面。你可以用平面几何来描述你周围的环境。但是，整个地球表面却是一个球体，它的整体几何性质（比如两点之间最短的距离是沿着大圆）和平面几何是截然不同的。
时空是流形： 广义相对论认为，我们所处的时空（由时间和三个空间维度构成）就是一个四维的流形。这个流形的“弯曲”程度，也就是它的几何性质，直接决定了物质和能量的运动轨迹，也就是我们所感受到的“引力”。
为什么需要微分几何？ 微分几何正是研究流形及其性质的数学分支。它提供了一套强大的工具来描述和分析这些“弯曲”的空间。没有微分几何，我们就无法数学化地表达“时空弯曲”这个概念，更不用说理解它如何产生引力了。
2. 微分几何提供的关键工具
让我列举一些微分几何中的核心概念，这些概念在广义相对论中扮演着至关重要的角色：
切空间（Tangent Space）和切向量（Tangent Vector）： 在流形上的每一点，都有一个“切空间”，它就像是那个点上局部欧几里得空间的“无限小”版本。切向量则代表了流形上某一点的“方向”和“速度”（在时空流形中，就是运动的四维速度）。广义相对论中，粒子的运动轨迹就是由一系列切向量定义的。
向量场（Vector Field）： 在流形的每一点都指定一个切向量，就构成了一个向量场。例如，在流体力学中，速度场就是一个向量场，它描述了每一点流体的运动方向和大小。在广义相对论中，许多重要的物理量，如速度、力、电场等，都可以用向量场来表示。
联络（Connection）和协变导数（Covariant Derivative）： 这是微分几何中最核心、也最抽象的概念之一。想象一下，在弯曲的空间里，你不能简单地平行地移动一个向量（就像在平面上那样），因为“平行”的定义会随着你移动的路径而改变。协变导数就是一种“告诉我们向量如何在流形上‘平行移动’”的方法。
为什么协变导数至关重要？ 在广义相对论中，我们经常需要比较不同点上的向量，或者描述一个向量场如何变化。比如，我们想知道一个粒子沿着一个“直线”（测地线）运动时，它的速度向量是否保持“不变”（在某种意义上）。这就是协变导数要解决的问题。
联络与曲率： 联络的性质决定了流形的曲率。简单来说，如果一个向量沿着一个闭合路径移动后，又回到了起点，但它自身的方向发生了变化，那么这个空间就是弯曲的，而这种变化的大小和方向就反映了曲率。曲率张量（Curvature Tensor） 是描述流形曲率的核心数学对象，它直接与爱因斯坦场方程中的曲率项相关。
度量张量（Metric Tensor）： 这是广义相对论的“心脏”。度量张量是一个对称的二阶张量场，它定义了流形上的距离和角度。有了度量张量，我们才能谈论“长度”、“角度”、“体积”甚至“时空间隔”这些几何概念。
度量张量与物理： 在广义相对论中，度量张量 $g_{mu u}$ 不仅仅是几何的度量，它就是引力场本身！物质和能量的分布（通过能量动量张量 $T_{mu u}$ 来描述）会影响时空的度量张量，而度量张量的弯曲又决定了物质和能量如何运动。这就是“物质告诉时空如何弯曲，时空告诉物质如何运动”的数学表达。
测地线方程： 物体在不受其他力的情况下（只受引力作用）沿“直线”（在弯曲时空中称为测地线）运动的轨迹，就是由度量张量决定的。描述这些测地线的方程，也是微分几何的工具。
张量（Tensor）： 张量是一种数学对象，可以用来描述物理量在不同坐标系下的变换性质。在广义相对论中，时空度量、曲率、能量动量等物理量都用张量来表示。因为时空是弯曲的，我们不能简单地用普通的向量或标量来描述所有物理现象，而张量提供了一个在任何局部坐标系下都能正确描述物理的框架。理解张量的代数和分析（如张量缩并、协变导数作用于张量等）是理解广义相对论的另一大关键。
3. 为什么“看一遍”不够，而“同步学习”或“结合学习”是关键
你或许会想，我能不能先通读一遍广义相对论，然后再去补习微分几何？理论上可以，但效果往往不佳。原因如下：
概念的相互依赖性： 广义相对论的许多概念（如测地线、曲率）是建立在微分几何的语言之上的。如果你不理解度量张量如何定义距离，你就无法理解测地线方程的意义；如果你不理解协变导数，你就无法理解为什么物质会“受力”运动。反过来，很多微分几何的概念之所以被创造出来并变得有意义，正是为了解决物理学（尤其是广义相对论）中的问题。
数学是工具而非障碍： 微分几何不是为了难倒学习者而存在的。它是理解广义相对论这些深邃思想的必要工具。就像你不能不用代数就学习微积分一样，你很难不用微分几何去理解弯曲时空。
抽象与直观的结合： 微分几何的某些部分（如张量分析）确实比较抽象。但通过学习广义相对论中的具体应用，例如理解引力场方程如何描述黑洞或行星轨道，你就能将那些抽象的数学概念与具体的物理图像联系起来，从而加深理解，并反过来巩固微分几何的知识。
那么，到底需要学到什么程度的微分几何？
这取决于你对“彻底搞明白”的定义。
入门级别： 至少需要理解流形的基本概念，切空间和切向量，以及度量张量是如何工作的，知道它如何定义距离和测地线。同时，需要掌握张量的基本代数运算。
进阶级别（更接近“彻底搞明白”）： 你需要深入理解联络和协变导数，知道它们如何使向量在流形上“保持平行”。理解曲率张量的定义及其物理意义。熟悉黎曼几何（Riemannian Geometry） 的基本框架，因为时空（虽然是伪黎曼流形）的几何性质很多可以类比或借鉴黎曼几何。能够理解爱因斯坦场方程的数学形式，以及其中各个张量（度量张量、曲率张量、能量动量张量）的含义。
总结一下：
广义相对论是一门基于微分几何的理论。没有微分几何作为语言和工具，你将无法理解其核心概念——弯曲时空。所以，我不会说“必须看一遍微分几何”这么绝对，但我会说，要想“彻底搞明白”广义相对论，你必须在某个阶段（最好是同步或早期）系统地学习和掌握微分几何的语言和核心工具。
你可以尝试以一种“实用主义”的方式来学习：先接触一些广义相对论的基本概念，当你遇到无法理解的数学障碍时，再去学习相应的微分几何知识。这样做的好处是可以让学习过程更有针对性，更有动力。但最终，你都需要回到微分几何，将其作为理解广义相对论这座宏伟大厦的坚实地基。
这是一个需要时间和耐心的过程，但一旦你跨过了微分几何的门槛，广义相对论的奥秘就会向你缓缓展开。祝你学习顺利！
让我详细地展开来说明为什么：
1. 广义相对论的核心语言：时空作为弯曲的流形
你可能听说过，广义相对论的核心思想是“引力是时空弯曲的表现”。这句话非常精炼，但要理解它，你就必须面对一个全新的数学概念：流形（Manifold）。
什么叫流形？ 简单来说，流形是一种“局部看起来像欧几里得空间”但“整体上可以很弯曲”的空间。想象一下我们生活的地球表面：在你站着的地方，它看起来是平的，就像一个二维平面。你可以用平面几何来描述你周围的环境。但是，整个地球表面却是一个球体，它的整体几何性质（比如两点之间最短的距离是沿着大圆）和平面几何是截然不同的。
时空是流形： 广义相对论认为，我们所处的时空（由时间和三个空间维度构成）就是一个四维的流形。这个流形的“弯曲”程度，也就是它的几何性质，直接决定了物质和能量的运动轨迹，也就是我们所感受到的“引力”。
为什么需要微分几何？ 微分几何正是研究流形及其性质的数学分支。它提供了一套强大的工具来描述和分析这些“弯曲”的空间。没有微分几何，我们就无法数学化地表达“时空弯曲”这个概念，更不用说理解它如何产生引力了。
2. 微分几何提供的关键工具
让我列举一些微分几何中的核心概念，这些概念在广义相对论中扮演着至关重要的角色：
切空间（Tangent Space）和切向量（Tangent Vector）： 在流形上的每一点，都有一个“切空间”，它就像是那个点上局部欧几里得空间的“无限小”版本。切向量则代表了流形上某一点的“方向”和“速度”（在时空流形中，就是运动的四维速度）。广义相对论中，粒子的运动轨迹就是由一系列切向量定义的。
向量场（Vector Field）： 在流形的每一点都指定一个切向量，就构成了一个向量场。例如，在流体力学中，速度场就是一个向量场，它描述了每一点流体的运动方向和大小。在广义相对论中，许多重要的物理量，如速度、力、电场等，都可以用向量场来表示。
联络（Connection）和协变导数（Covariant Derivative）： 这是微分几何中最核心、也最抽象的概念之一。想象一下，在弯曲的空间里，你不能简单地平行地移动一个向量（就像在平面上那样），因为“平行”的定义会随着你移动的路径而改变。协变导数就是一种“告诉我们向量如何在流形上‘平行移动’”的方法。
为什么协变导数至关重要？ 在广义相对论中，我们经常需要比较不同点上的向量，或者描述一个向量场如何变化。比如，我们想知道一个粒子沿着一个“直线”（测地线）运动时，它的速度向量是否保持“不变”（在某种意义上）。这就是协变导数要解决的问题。
联络与曲率： 联络的性质决定了流形的曲率。简单来说，如果一个向量沿着一个闭合路径移动后，又回到了起点，但它自身的方向发生了变化，那么这个空间就是弯曲的，而这种变化的大小和方向就反映了曲率。曲率张量（Curvature Tensor） 是描述流形曲率的核心数学对象，它直接与爱因斯坦场方程中的曲率项相关。
度量张量（Metric Tensor）： 这是广义相对论的“心脏”。度量张量是一个对称的二阶张量场，它定义了流形上的距离和角度。有了度量张量，我们才能谈论“长度”、“角度”、“体积”甚至“时空间隔”这些几何概念。
度量张量与物理： 在广义相对论中，度量张量 $g_{mu u}$ 不仅仅是几何的度量，它就是引力场本身！物质和能量的分布（通过能量动量张量 $T_{mu u}$ 来描述）会影响时空的度量张量，而度量张量的弯曲又决定了物质和能量如何运动。这就是“物质告诉时空如何弯曲，时空告诉物质如何运动”的数学表达。
测地线方程： 物体在不受其他力的情况下（只受引力作用）沿“直线”（在弯曲时空中称为测地线）运动的轨迹，就是由度量张量决定的。描述这些测地线的方程，也是微分几何的工具。
张量（Tensor）： 张量是一种数学对象，可以用来描述物理量在不同坐标系下的变换性质。在广义相对论中，时空度量、曲率、能量动量等物理量都用张量来表示。因为时空是弯曲的，我们不能简单地用普通的向量或标量来描述所有物理现象，而张量提供了一个在任何局部坐标系下都能正确描述物理的框架。理解张量的代数和分析（如张量缩并、协变导数作用于张量等）是理解广义相对论的另一大关键。
3. 为什么“看一遍”不够，而“同步学习”或“结合学习”是关键
你或许会想，我能不能先通读一遍广义相对论，然后再去补习微分几何？理论上可以，但效果往往不佳。原因如下：
概念的相互依赖性： 广义相对论的许多概念（如测地线、曲率）是建立在微分几何的语言之上的。如果你不理解度量张量如何定义距离，你就无法理解测地线方程的意义；如果你不理解协变导数，你就无法理解为什么物质会“受力”运动。反过来，很多微分几何的概念之所以被创造出来并变得有意义，正是为了解决物理学（尤其是广义相对论）中的问题。
数学是工具而非障碍： 微分几何不是为了难倒学习者而存在的。它是理解广义相对论这些深邃思想的必要工具。就像你不能不用代数就学习微积分一样，你很难不用微分几何去理解弯曲时空。
抽象与直观的结合： 微分几何的某些部分（如张量分析）确实比较抽象。但通过学习广义相对论中的具体应用，例如理解引力场方程如何描述黑洞或行星轨道，你就能将那些抽象的数学概念与具体的物理图像联系起来，从而加深理解，并反过来巩固微分几何的知识。
那么，到底需要学到什么程度的微分几何？
这取决于你对“彻底搞明白”的定义。
入门级别： 至少需要理解流形的基本概念，切空间和切向量，以及度量张量是如何工作的，知道它如何定义距离和测地线。同时，需要掌握张量的基本代数运算。
进阶级别（更接近“彻底搞明白”）： 你需要深入理解联络和协变导数，知道它们如何使向量在流形上“保持平行”。理解曲率张量的定义及其物理意义。熟悉黎曼几何（Riemannian Geometry） 的基本框架，因为时空（虽然是伪黎曼流形）的几何性质很多可以类比或借鉴黎曼几何。能够理解爱因斯坦场方程的数学形式，以及其中各个张量（度量张量、曲率张量、能量动量张量）的含义。
总结一下：
广义相对论是一门基于微分几何的理论。没有微分几何作为语言和工具，你将无法理解其核心概念——弯曲时空。所以，我不会说“必须看一遍微分几何”这么绝对，但我会说，要想“彻底搞明白”广义相对论，你必须在某个阶段（最好是同步或早期）系统地学习和掌握微分几何的语言和核心工具。
你可以尝试以一种“实用主义”的方式来学习：先接触一些广义相对论的基本概念，当你遇到无法理解的数学障碍时，再去学习相应的微分几何知识。这样做的好处是可以让学习过程更有针对性，更有动力。但最终，你都需要回到微分几何，将其作为理解广义相对论这座宏伟大厦的坚实地基。
这是一个需要时间和耐心的过程，但一旦你跨过了微分几何的门槛，广义相对论的奥秘就会向你缓缓展开。祝你学习顺利！
网友意见
当然不需要。在学习广义相对论的过程中你会顺便学到相关的微分几何知识，不必刻意提前学。从深度来讲，这些知识与正统地学一遍微分几何，相差仍甚远。
(小黑一下，我转行数学了之后越发体会到这种现象，就是当学物理的人总是号称某一门物理课需要以某一门数学课为基础知识的时候，实际上那里面用到的数学在学数学的人眼里才是很初级的而已。。。物理重在物理，不要老是想着碾压数学嘛)
推荐两本很经典的广义相对论教材吧，
Sean Carroll
Spacetime and Geometry: An Introduction to General Relativity
Robert M. Wald
General Relativity
前者更加入门；后者从入门开始，到后面会进入些十分高级的话题。
梁灿彬，周彬
微分几何入门与广义相对论
这是国内最牛的广义相对论教材了吧，一共三册，体积略吓人。内容上与上述第二本的Wald相呼应，也是从入门开始直到很高级的内容。个人感觉在高级内容中比Wald更甚严谨，补充了许多Wald从数学角度不曾细究严谨的证明，就连专业人士都要慎入。
最后，人各有所需，各有所好，如果题主并没有这么大的胃口的话，那我觉得国内的其他广义相对论教材里，并没有据我所感特别突出的。如果只是想随便看看，只要是内行人写的随便哪一本都行，在此则不做推荐。
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这事儿听着就让人头疼，四年多了，男朋友他妈这么着急，你才说想再玩两年，这一下子点燃了战火，可真是有点“措手不及”啊。咱们慢慢捋捋，看看这事儿该怎么圆，也说说你可能面对的情况。首先，你男朋友他妈“彻底怒了”，这通常不是小事儿，得看有多“彻底”。1. “彻底怒了”具体表现是什么？ 直接跟你男朋友发火.............
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