OLS推断时，如果能知道beta非条件分布，可以根据此构建test statistic吗？

是的，如果在OLS推断时，能够知道 $eta$ 的非条件分布，那么确实可以根据此构建检验统计量（test statistic）。这是一种非常强大的假设，因为它绕过了许多在实际操作中可能存在的困难。

下面我们将详细阐述这一点，并解释其背后的逻辑和构建方法。

核心思想：从参数分布到检验统计量

在统计推断中，构建检验统计量的核心目标是：利用样本数据，计算一个反映参数取值的数值，并与预设的零假设下的参数值进行比较，以判断样本数据是否“显著地”偏离了零假设。

在标准OLS推断中，我们通常需要依赖一系列假设（如误差项的独立性、同方差性、正态性）来推导出 $hat{eta}$ 的条件分布（给定 $X$ 的条件下）。然后，基于这个条件分布，我们可以构建出诸如 $t$ 统计量或 $F$ 统计量。

然而，如果你已经“知道” $eta$ 的非条件分布，这意味着你已经拥有了关于 $eta$ 本身的不确定性的一个完整描述，而不再依赖于 $X$ 的特定值。这是一种更强的知识。

为什么要构建检验统计量？

我们构建检验统计量是为了进行假设检验。假设检验的基本步骤包括：

1. 提出零假设 ($H_0$) 和备择假设 ($H_1$): 例如，$H_0: eta_j = eta_{j,0}$ (某个系数等于某个特定值)，$H_1: eta_j eq eta_{j,0}$。
2. 选择一个检验统计量: 这是一个由样本数据计算出的数值，它根据 $H_0$ 为真时参数的分布来构建。
3. 确定拒绝域: 根据选定的显著性水平 ($alpha$) 和检验统计量在 $H_0$ 为真时的分布，确定一个拒绝域。如果计算出的检验统计量落入拒绝域，我们就拒绝 $H_0$。

如果知道 $eta$ 的非条件分布，意味着什么？

这意味着我们知道 $eta$ 的一个边际分布，即 $P(eta | ext{all information})$. 在我们有样本数据 $D = {(y_i, x_i)}_{i=1}^n$ 的情况下，如果我们知道 $eta$ 的非条件分布，实际上就是知道 $eta$ 的后验分布（在贝叶斯统计的框架下），或者在某种程度上，知道 $eta$ 的先验分布加上了某种形式的“无条件信息”，使得我们能够直接描述 $eta$ 本身的分布。

更直接地说，如果我们知道 $eta$ 的非条件分布，那么我们已经知道 $eta$ 的期望值（平均值）和方差（或者更完整的协方差矩阵，如果 $eta$ 是向量）。

如何构建检验统计量？

假设我们关注的是 $eta$ 的某个特定分量 $eta_j$。

场景：我们知道 $eta_j$ 的非条件分布

1. 零假设 ($H_0$): $H_0: eta_j = eta_{j,0}$
2. 我们已知的信息: $eta_j sim F(cdot)$，其中 $F$ 是 $eta_j$ 的非条件分布。这个分布可能是一个参数分布（如正态分布、均匀分布等），并且我们知道其参数（如均值 $mu_{eta_j}$ 和方差 $sigma_{eta_j}^2$）。

构建检验统计量的方法：

我们知道 $eta_j$ 的非条件分布，所以我们知道 $eta_j$ 的真实值（尽管我们无法直接观测到 $eta_j$）的期望值和方差。

如果 $H_0$ 为真: 那么 $eta_j$ 的真实值就是 $eta_{j,0}$。
我们知道的 $eta_j$ 的非条件分布: 它的期望值是 $mu_{eta_j}$，方差是 $sigma_{eta_j}^2$。

这两种信息如何结合来构建检验统计量呢？

方法一：基于已知分布的参数性质 (最直接)

如果我们知道 $eta_j$ 的非条件分布是正态分布，例如 $eta_j sim N(mu_{eta_j}, sigma_{eta_j}^2)$。

零假设 $H_0: eta_j = eta_{j,0}$
检验统计量:
我们可以构建一个统计量，衡量“已知分布的均值”与“零假设的期望值”之间的差异，并根据已知分布的方差进行标准化。
$$ Z = frac{mu_{eta_j} eta_{j,0}}{sigma_{eta_j}} $$
这里的 $mu_{eta_j}$ 是基于我们已经知道的 $eta_j$ 的非条件分布所计算出的期望值。$sigma_{eta_j}$ 是该分布的标准差。

为什么这样构建？ 如果零假设为真 ($eta_j = eta_{j,0}$)，那么我们已知分布的期望值 $mu_{eta_j}$ 不应该显著偏离 $eta_{j,0}$。如果 $mu_{eta_j}$ 显著大于或小于 $eta_{j,0}$，那么就说明我们所知的“非条件分布”的均值与零假设下的真值不符，这暗示了零假设可能不成立。

在 $H_0$ 为真时的分布: 如果 $eta_j = eta_{j,0}$ 并且 $eta_j$ 的非条件分布确实是 $N(eta_{j,0}, sigma_{eta_j}^2)$，那么上述的 $Z$ 值会服从标准正态分布 $N(0,1)$。
$$ Z = frac{eta_{j,0} eta_{j,0}}{sigma_{eta_j}} = 0 $$
这说明在零假设为真时，我们构建的统计量的期望值为0。

方法二：与样本估计量结合 (更贴近实际推断)

在实际的OLS推断中，我们通常无法直接知道 $eta$ 的非条件分布，而是通过样本数据 $hat{eta}$ 来估计 $eta$。如果我们假设我们知道 $eta$ 的非条件分布，但同时我们也有样本数据，那么我们可以将两者结合起来。

假设我们知道 $eta_j$ 的非条件分布是 $N(mu_{eta_j}, sigma_{eta_j}^2)$。同时，我们有样本数据，通过OLS估计得到 $hat{eta}_j$。我们还知道 $hat{eta}_j$ 在给定 $X$ 下的条件分布，例如 $hat{eta}_j | X sim N(eta_j, ext{Var}(hat{eta}_j | X))$。

那么，我们可以考虑 $hat{eta}_j$ 相对于 $eta_j$ 的偏差，以及 $eta_j$ 本身的“先验”信息。

贝叶斯推断的视角: 如果我们把“知道 $eta_j$ 的非条件分布”看作是 $eta_j$ 的先验分布 $p(eta_j) = N(mu_{eta_j}, sigma_{eta_j}^2)$，那么我们就可以利用样本数据来更新这个先验，得到 $eta_j$ 的后验分布 $p(eta_j | D) propto p(D | eta_j) p(eta_j)$。然后，我们可以对后验分布进行推断，例如计算后验均值、后验区间，甚至可以从后验分布构建检验统计量。

如果我们有一个对 $eta_j$ 的后验估计量 $ ilde{eta}_j$ (例如后验均值)，并且知道其后验方差 $ ext{Var}( ilde{eta}_j | D)$，那么我们可以构建一个类似 $t$ 统计量的量：
$$ T = frac{ ilde{eta}_j eta_{j,0}}{sqrt{ ext{Var}( ilde{eta}_j | D)}} $$
在 $H_0$ 为真时，我们期望 $ ilde{eta}_j$ 接近 $eta_{j,0}$。

频率学派的视角: 如果我们依然坚持频率学派，并且知道 $eta_j$ 的非条件分布是 $N(mu_{eta_j}, sigma_{eta_j}^2)$，这可以被解释为对 $eta_j$ 的某种“整体”的先验知识，或者一种“平均”的估计。

如果我们有一个样本估计量 $hat{eta}_j$ (例如OLS估计量)，并且知道它的方差 $ ext{Var}(hat{eta}_j | X)$。我们还知道 $eta_j$ 的“整体”均值是 $mu_{eta_j}$。

在这种情况下，我们可以构建一个检验统计量，它衡量的是样本估计量与零假设值之间的差异，但同时考虑到 $eta_j$ 的“整体”均值信息。这有点像将样本信息和“非条件分布”信息进行融合。

一种可能的思路是，如果我们知道 $eta_j$ 的非条件分布是 $N(mu_{eta_j}, sigma_{eta_j}^2)$，这暗示了 $eta_j$ 的真实值期望是 $mu_{eta_j}$。如果零假设 $H_0: eta_j = eta_{j,0}$ 为真，那么我们应该期望 $mu_{eta_j} = eta_{j,0}$。

我们可以构建一个统计量，它关注的是我们从样本中估计出的 $hat{eta}_j$ 与我们已知的 $eta_j$ 的非条件分布均值 $mu_{eta_j}$ 之间的关系，并与零假设值 $eta_{j,0}$ 进行比较。

考虑以下统计量：
$$ Z = frac{hat{eta}_j eta_{j,0}}{sqrt{ ext{Var}(hat{eta}_j | X) + sigma_{eta_j}^2}} $$
这里的 $ ext{Var}(hat{eta}_j | X)$ 是样本估计量的方差，而 $sigma_{eta_j}^2$ 是 $eta_j$ 非条件分布的方差。分母中的加法表示了我们不确定性的来源：样本估计本身的不确定性，以及 $eta_j$ 本身的“固有”不确定性。

在 $H_0$ 为真时的分布: 如果 $H_0: eta_j = eta_{j,0}$ 为真，且我们的非条件分布信息是准确的，并且样本估计是无偏的（即 $E[hat{eta}_j | X] = eta_j = eta_{j,0}$），那么：
$$ E[Z] = frac{E[hat{eta}_j] eta_{j,0}}{sqrt{ ext{Var}(hat{eta}_j | X) + sigma_{eta_j}^2}} = frac{eta_{j,0} eta_{j,0}}{sqrt{ ext{Var}(hat{eta}_j | X) + sigma_{eta_j}^2}} = 0 $$
在很多情况下，特别是当 $eta_j$ 的非条件分布是正态的，并且样本估计的方差已知时，这个 $Z$ 统计量可以服从标准正态分布 $N(0,1)$。

更简洁的理解（直接使用非条件分布的期望）:

如果已知 $eta_j$ 的非条件分布为 $F$，其期望为 $E[eta_j] = mu_{eta_j}$，方差为 $ ext{Var}(eta_j) = sigma_{eta_j}^2$。
零假设: $H_0: eta_j = eta_{j,0}$。

如果我们已经知道 $eta_j$ 的非条件分布，那么我们对于 $eta_j$ 的真实值的最佳估计就是它的期望值 $mu_{eta_j}$。
我们可以构建一个检验统计量来比较这个“最佳估计”与零假设值：
$$ Z = frac{mu_{eta_j} eta_{j,0}}{sigma_{eta_j}} $$
如果 $H_0$ 为真 ($eta_j = eta_{j,0}$)，那么我们对 $eta_j$ 的期望估计 $mu_{eta_j}$ 应该接近 $eta_{j,0}$。如果 $mu_{eta_j}$ 与 $eta_{j,0}$ 的差异大于由 $sigma_{eta_j}$ 决定的随机波动范围，那么我们就会拒绝 $H_0$。
在 $H_0$ 为真时的分布: 如果 $eta_j$ 的非条件分布是 $N(eta_{j,0}, sigma_{eta_j}^2)$，那么上述 $Z$ 统计量服从 $N(0,1)$。

这种方法的优点:

直接利用了关于参数的先验信息: 如果我们真的知道参数的非条件分布，那么我们就有了一个关于参数“整体”行为的强有力知识，这可以用来直接构建检验统计量。
简化了对误差项的假设: 标准OLS推断需要对误差项的分布进行一系列假设来推导 $hat{eta}$ 的条件分布。但如果我们直接知道 $eta$ 的分布，我们可以绕过这些对误差项的假设。

这种方法的限制:

现实中的困难: 在现实的统计建模中，我们几乎从不知道 $eta$ 的非条件分布。我们通过样本数据来估计它。知道 $eta$ 的非条件分布通常意味着我们拥有大量的“先验”知识，这在很多领域（如实验经济学、物理学实验）可能是存在的，但在大多数观测性研究中是稀缺的。
如何获得非条件分布？: 如果我们不是通过样本数据，而是通过其他方式（例如，理论推导、大量先验实验的汇总）得知 $eta$ 的非条件分布，那么如何将其整合到一次具体的样本分析中，需要精心的统计框架设计（如贝叶斯方法）。
区分“已知”与“估计”: 如果我们仅仅是估计了 $eta$ 的分布（例如通过一个非常大的样本，使得估计的分布接近真实分布），那情况又不同了。这里强调的是“知道”，意味着分布参数是已知的常数。

总结

是的，如果在OLS推断时，能够知道 $eta$ 的非条件分布（例如，我们知道 $eta_j sim N(mu_{eta_j}, sigma_{eta_j}^2)$），我们可以根据此构建检验统计量。最直接的方式是：

1. 设定零假设 $H_0: eta_j = eta_{j,0}$。
2. 构建统计量 $Z = frac{mu_{eta_j} eta_{j,0}}{sigma_{eta_j}}$。
3. 在零假设为真且非条件分布为正态的条件下，此统计量服从标准正态分布 $N(0,1)$。
4. 拒绝域可以根据 $Z$ 的 $N(0,1)$ 分布来确定。

这种方法直接利用了参数自身的分布信息，避免了对误差项分布的依赖，但其前提条件是在现实中非常难以满足。它更像是贝叶斯统计中利用先验信息进行推断的一个特例。

如果是在结合样本数据的情况下，并且“知道非条件分布”被解释为一种先验信息，那么构建统计量会涉及到结合样本估计量和先验信息，例如通过后验分布的统计量或包含先验方差的统计量。

OLS模型中原来的参数beta是一个确定的实数真值，不是随机变量。

因为beta是一个固定的值，所以知道beta的“无条件分布”等于知道beta是多少，如果这个都知道那么回归都不需要跑了。

只有估计值betahat才是一个跟着样本变的随机变量。t检验的思想是，这时用这个估计值偏离0的程度和估计值的误差来判断原来的参数不为0的概率。

如果你只是说你知道了随机扰动项的分布形式和方差，而不需要用OLS的残差来估这个方差，那么恐怕你多半已经完全确定了扰动项的分布，那么我建议你不要使用OLS，直接用MLE不香吗？