看图求解：为何用该电路的直流电压放大倍数乘以该电路的极点频率得到的就是放大电路的带宽了？
好的，我们来好好聊聊为什么一个电路的直流电压放大倍数乘以它的极点频率，就能大致得出这个电路的带宽。这其实是放大电路频率响应特性中的一个非常重要的概念，涉及到几个关键的物理原理。
咱们先别上来就讨论数字，咱们先来理解这个“带宽”到底是个啥意思。
带宽：一个信号的“活动范围”
你可以把放大器的带宽想象成一个“频率的隧道”。一个信号，比如我们说话的声音，它本身是由很多不同频率的正弦波组成的。当这个信号通过放大器时，放大器会对这些不同频率的信号有不同的放大程度。
直流电压放大倍数： 这是放大器在“最理想”、“最平稳”状态下的放大能力。也就是，当输入信号的频率非常低（趋近于零，也就是直流信号）时，放大器能把这个信号放大多少倍。你可以理解为放大器的“基础功”。
极点频率： 这个词可能听起来有点技术化，但它代表了放大器性能开始“衰减”的那个关键频率点。你可以想象，当输入信号的频率越来越高，放大器的放大能力就会开始下降。这个下降开始得比较明显的那个临界点，我们称之为“极点频率”。
为什么是“乘以”？这背后的道理是什么？
你问到的“直流电压放大倍数乘以极点频率得到的就是带宽”，这句话本身有个前提，就是我们通常讨论的是单极点低通滤波器的特性。很多基本的放大电路，尤其是在高频端，其频率响应可以用一个简单的 RC 滤波器来近似模拟。
咱们来拆解一下这个“乘以”是怎么来的：
1. 频率响应的形状：
一个典型的单极点低通滤波器的频率响应曲线，在低频时是平坦的，放大倍数保持不变，这个值就是直流电压放大倍数（我们记为 $A_0$）。
随着频率升高，放大倍数开始下降。下降的速度是怎样的呢？在对数坐标下，它以一个 20 dB/decade 的速率下降。也就是，频率每增加10倍，放大倍数就减小20dB（相当于减小10倍）。
这个下降的速率，可以从滤波器电路的传递函数推导出来。对于一个简单的 RC 低通滤波器，$H(s) = frac{1}{1 + s/omega_c}$，其中 $omega_c$ 就是角频率（等于 $2pi f_c$，$f_c$ 是极点频率）。
在这个传递函数中，$s = jomega$，所以 $H(jomega) = frac{1}{1 + jomega/omega_c}$。
当 $omega ll omega_c$ 时，$|H(jomega)| approx 1$。
当 $omega gg omega_c$ 时，$|H(jomega)| approx frac{omega_c}{omega}$。在这里，你就能看到频率和放大倍数的关系了，随着 $omega$ 增大，放大倍数减小。
2. 带宽的定义：
在电子工程中，带宽（Bandwidth，BW）最常见的定义是 3dB 带宽。这意味着，放大器的输出功率下降到最大输出功率的一半（也就是电压幅度下降到最大电压幅度的 $1/sqrt{2}$ 倍）时的频率范围。
对于我们上面提到的那个单极点低通滤波器，当频率 $omega = omega_c$ 时（也就是极点频率），其幅度响应 $|H(jomega_c)| = frac{1}{sqrt{1 + (omega_c/omega_c)^2}} = frac{1}{sqrt{2}}$。
这意味着，极点频率 $f_c$ 就是这个电路的 3dB 带宽。
等等，这里有个小问题！
你刚才问的是“直流电压放大倍数乘以极点频率”。而我刚才解释的是“极点频率本身就是带宽”。这似乎有点出入，对吧？
问题在于“带宽”的定义和“增益带宽积”的含义。
真正的带宽： 如果一个放大器只有一个极点（也就是它在高频只有一个衰减开始的“转折点”），并且这个极点的频率是 $f_c$，那么它的 3dB 带宽就是 $f_c$。
增益带宽积（GainBandwidth Product, GBW）： 很多运算放大器（Opamp）的datasheet上会标注一个“增益带宽积”（GBW）。这个值是恒定的（在一定范围内）。这意味着，如果你用这个运放搭建一个电路，它的直流增益越高，它的带宽就越窄；反之，直流增益越低，带宽就越宽。
对于一个理想的、单极点模型，可以近似认为：GBW = 直流电压放大倍数 × 3dB 带宽。
所以，如果你知道GBW和直流增益，你就可以计算出带宽：带宽 = GBW / 直流电压放大倍数。
那么，为什么会有一个“乘以”的说法呢？
你看到的“用该电路的直流电压放大倍数乘以该电路的极点频率得到的就是放大电路的带宽”，这种说法，可能是在某些特定语境下，或者是在描述增益带宽积（GBW）这个概念时。
让我来尝试解释一下，为什么会有这种“乘以”的联系，即使它不是直接的“带宽”定义：
1. 电路的“能力上限”： 放大器有一个内在的“能力上限”，这个上限往往就体现在 GBW 这个数值上。你可以把 GBW 看作是放大器内部“带宽资源”的总量。
2. 增益“消耗”了带宽： 当你通过电路设计，让放大器在低频下有很高的直流增益（$A_0$）时，你实际上是在“占用”或者“消耗”这个总的带宽资源。为了维持 GBW 的恒定，当你提高 $A_0$ 时，带宽（$f_c$）就必然会下降。
3. 反过来也成立： 如果你设计让放大器在低频的直流增益很低，那么它就能在更高的频率下保持这个较低的增益，也就是说它的带宽更宽。
一个形象的比喻：
想象你有一个“总带宽”的“水管”。这个水管的总“流量”是恒定的（这就是 GBW）。
如果你想让水管在入口处（低频）有很大的“压力”（高直流增益 $A_0$），那么水管能输送的总“流量”就受限了，允许通过的“频率”范围（带宽 BW）就变窄了。
如果你不追求那么大的入口压力（低直流增益 $A_0$），而是希望水流能尽可能远（高带宽 BW），那么总流量（GBW）不变的情况下，你就能让水管在更宽的范围内输送，尽管每个地方的压力（增益）可能不如之前那么高。
所以，你问的“用该电路的直流电压放大倍数乘以该电路的极点频率得到的就是放大电路的带宽”，更准确的理解是：
在一个以单极点模型近似的放大电路中，其“增益带宽积”（GBW）常常是接近恒定的。这个 GBW 的值，可以近似等于该电路的“直流电压放大倍数”乘以其“极点频率”来估算。而对于许多低通放大电路，“极点频率”本身就是其 3dB 带宽的定义。
换句话说：
极点频率 ($f_c$) = 3dB 带宽 (BW) （这是带宽的定义）
GBW ≈ $A_0$ × $f_c$ （这是 GBW 的特性）
所以，如果你看到“直流电压放大倍数 × 极点频率 = 带宽”的说法，它很可能是在强调 GBW 的概念，并利用了极点频率就是带宽这一事实。它表明了在许多放大电路中，当你想获得更高的直流增益时，你必须接受一个更窄的可用信号频率范围。
总结一下，关键点在于：
1. 单极点低通模型： 这种说法最适用于一个可以用单极点低通滤波器来近似描述其高频特性的放大电路。
2. 极点频率是带宽： 对于这样的模型，极点频率 $f_c$ 正是其 3dB 带宽。
3. 增益带宽积（GBW）： 许多放大器（尤其是运算放大器）的 GBW 是一个固定的特性。GBW ≈ $A_0$ × BW。
4. 权衡关系： GBW 的恒定意味着直流增益 ($A_0$) 和带宽 (BW) 之间存在一个此消彼长的权衡关系。
所以，当你看到这种表述时，不妨回想一下 GBW 这个概念，它就能很好地解释为什么会有这个“乘以”的关系了。希望我讲得够详细，也足够贴近实际理解！
咱们先别上来就讨论数字，咱们先来理解这个“带宽”到底是个啥意思。
带宽：一个信号的“活动范围”
你可以把放大器的带宽想象成一个“频率的隧道”。一个信号，比如我们说话的声音，它本身是由很多不同频率的正弦波组成的。当这个信号通过放大器时，放大器会对这些不同频率的信号有不同的放大程度。
直流电压放大倍数： 这是放大器在“最理想”、“最平稳”状态下的放大能力。也就是，当输入信号的频率非常低（趋近于零，也就是直流信号）时，放大器能把这个信号放大多少倍。你可以理解为放大器的“基础功”。
极点频率： 这个词可能听起来有点技术化，但它代表了放大器性能开始“衰减”的那个关键频率点。你可以想象，当输入信号的频率越来越高，放大器的放大能力就会开始下降。这个下降开始得比较明显的那个临界点，我们称之为“极点频率”。
为什么是“乘以”？这背后的道理是什么？
你问到的“直流电压放大倍数乘以极点频率得到的就是带宽”，这句话本身有个前提，就是我们通常讨论的是单极点低通滤波器的特性。很多基本的放大电路，尤其是在高频端，其频率响应可以用一个简单的 RC 滤波器来近似模拟。
咱们来拆解一下这个“乘以”是怎么来的：
1. 频率响应的形状：
一个典型的单极点低通滤波器的频率响应曲线，在低频时是平坦的，放大倍数保持不变，这个值就是直流电压放大倍数（我们记为 $A_0$）。
随着频率升高，放大倍数开始下降。下降的速度是怎样的呢？在对数坐标下，它以一个 20 dB/decade 的速率下降。也就是，频率每增加10倍，放大倍数就减小20dB（相当于减小10倍）。
这个下降的速率，可以从滤波器电路的传递函数推导出来。对于一个简单的 RC 低通滤波器，$H(s) = frac{1}{1 + s/omega_c}$，其中 $omega_c$ 就是角频率（等于 $2pi f_c$，$f_c$ 是极点频率）。
在这个传递函数中，$s = jomega$，所以 $H(jomega) = frac{1}{1 + jomega/omega_c}$。
当 $omega ll omega_c$ 时，$|H(jomega)| approx 1$。
当 $omega gg omega_c$ 时，$|H(jomega)| approx frac{omega_c}{omega}$。在这里，你就能看到频率和放大倍数的关系了，随着 $omega$ 增大，放大倍数减小。
2. 带宽的定义：
在电子工程中，带宽（Bandwidth，BW）最常见的定义是 3dB 带宽。这意味着，放大器的输出功率下降到最大输出功率的一半（也就是电压幅度下降到最大电压幅度的 $1/sqrt{2}$ 倍）时的频率范围。
对于我们上面提到的那个单极点低通滤波器，当频率 $omega = omega_c$ 时（也就是极点频率），其幅度响应 $|H(jomega_c)| = frac{1}{sqrt{1 + (omega_c/omega_c)^2}} = frac{1}{sqrt{2}}$。
这意味着，极点频率 $f_c$ 就是这个电路的 3dB 带宽。
等等，这里有个小问题！
你刚才问的是“直流电压放大倍数乘以极点频率”。而我刚才解释的是“极点频率本身就是带宽”。这似乎有点出入，对吧？
问题在于“带宽”的定义和“增益带宽积”的含义。
真正的带宽： 如果一个放大器只有一个极点（也就是它在高频只有一个衰减开始的“转折点”），并且这个极点的频率是 $f_c$，那么它的 3dB 带宽就是 $f_c$。
增益带宽积（GainBandwidth Product, GBW）： 很多运算放大器（Opamp）的datasheet上会标注一个“增益带宽积”（GBW）。这个值是恒定的（在一定范围内）。这意味着，如果你用这个运放搭建一个电路，它的直流增益越高，它的带宽就越窄；反之，直流增益越低，带宽就越宽。
对于一个理想的、单极点模型，可以近似认为：GBW = 直流电压放大倍数 × 3dB 带宽。
所以，如果你知道GBW和直流增益，你就可以计算出带宽：带宽 = GBW / 直流电压放大倍数。
那么，为什么会有一个“乘以”的说法呢？
你看到的“用该电路的直流电压放大倍数乘以该电路的极点频率得到的就是放大电路的带宽”，这种说法，可能是在某些特定语境下，或者是在描述增益带宽积（GBW）这个概念时。
让我来尝试解释一下，为什么会有这种“乘以”的联系，即使它不是直接的“带宽”定义：
1. 电路的“能力上限”： 放大器有一个内在的“能力上限”，这个上限往往就体现在 GBW 这个数值上。你可以把 GBW 看作是放大器内部“带宽资源”的总量。
2. 增益“消耗”了带宽： 当你通过电路设计，让放大器在低频下有很高的直流增益（$A_0$）时，你实际上是在“占用”或者“消耗”这个总的带宽资源。为了维持 GBW 的恒定，当你提高 $A_0$ 时，带宽（$f_c$）就必然会下降。
3. 反过来也成立： 如果你设计让放大器在低频的直流增益很低，那么它就能在更高的频率下保持这个较低的增益，也就是说它的带宽更宽。
一个形象的比喻：
想象你有一个“总带宽”的“水管”。这个水管的总“流量”是恒定的（这就是 GBW）。
如果你想让水管在入口处（低频）有很大的“压力”（高直流增益 $A_0$），那么水管能输送的总“流量”就受限了，允许通过的“频率”范围（带宽 BW）就变窄了。
如果你不追求那么大的入口压力（低直流增益 $A_0$），而是希望水流能尽可能远（高带宽 BW），那么总流量（GBW）不变的情况下，你就能让水管在更宽的范围内输送，尽管每个地方的压力（增益）可能不如之前那么高。
所以，你问的“用该电路的直流电压放大倍数乘以该电路的极点频率得到的就是放大电路的带宽”，更准确的理解是：
在一个以单极点模型近似的放大电路中，其“增益带宽积”（GBW）常常是接近恒定的。这个 GBW 的值，可以近似等于该电路的“直流电压放大倍数”乘以其“极点频率”来估算。而对于许多低通放大电路，“极点频率”本身就是其 3dB 带宽的定义。
换句话说：
极点频率 ($f_c$) = 3dB 带宽 (BW) （这是带宽的定义）
GBW ≈ $A_0$ × $f_c$ （这是 GBW 的特性）
所以，如果你看到“直流电压放大倍数 × 极点频率 = 带宽”的说法，它很可能是在强调 GBW 的概念，并利用了极点频率就是带宽这一事实。它表明了在许多放大电路中，当你想获得更高的直流增益时，你必须接受一个更窄的可用信号频率范围。
总结一下，关键点在于：
1. 单极点低通模型： 这种说法最适用于一个可以用单极点低通滤波器来近似描述其高频特性的放大电路。
2. 极点频率是带宽： 对于这样的模型，极点频率 $f_c$ 正是其 3dB 带宽。
3. 增益带宽积（GBW）： 许多放大器（尤其是运算放大器）的 GBW 是一个固定的特性。GBW ≈ $A_0$ × BW。
4. 权衡关系： GBW 的恒定意味着直流增益 ($A_0$) 和带宽 (BW) 之间存在一个此消彼长的权衡关系。
所以，当你看到这种表述时，不妨回想一下 GBW 这个概念，它就能很好地解释为什么会有这个“乘以”的关系了。希望我讲得够详细，也足够贴近实际理解！
网友意见
既然另一答主从公式角度已经答过了，那我再从图形角度直观理解一下。
已知一阶系统，或者近似一阶系统，幅频曲线的滚降段斜率一定是-20dB/decade.那么只需要给定这条直线上的任意一点就可以确定整条直线了。
而这条直线上最有代表性的两个点，(Fpole,DC_GAIN)是其中之一，(GBW,0dB)是另一个。
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好的，我们来好好聊聊为什么一个电路的直流电压放大倍数乘以它的极点频率，就能大致得出这个电路的带宽。这其实是放大电路频率响应特性中的一个非常重要的概念，涉及到几个关键的物理原理。咱们先别上来就讨论数字，咱们先来理解这个“带宽”到底是个啥意思。带宽：一个信号的“活动范围”你可以把放大器的带宽想象成一个“............. -
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你遇到的这个问题，看起来挺棘手的，明明 Git 里存在 `master` 和 `develop` 这两个分支，而且从你的描述来看，它们还记录着不同的提交历史，但你却无法顺利切换到 `develop` 分支。这背后可能的原因比你想象的要多一些，我们一个一个来捋一捋。首先，最常见的情况是，你误以为自己有.............
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