C语言中float的取值范围的问题，为啥？
float 在 C 语言中，是用来表示单精度浮点数的。提到它的取值范围，就不得不深入聊聊它背后的原理，这事儿，得从二进制说起。
浮点数是怎么存的？
咱们电脑里存储数字，本质上都是一堆 0 和 1。整数好说，直接按位权相加就行。但小数呢？比如 0.5，或者更麻烦的 0.1，怎么用二进制表示？
这里就需要一个标准，国际上通用的就是 IEEE 754 标准。C 语言的 `float` 类型，就是按照这个标准来的。
根据 IEEE 754 标准，一个单精度浮点数（也就是 `float`），总共占用 32 位（也就是 4 个字节）。这 32 位又被分成三部分：
1. 符号位 (Sign Bit)：占 1 位。0 表示正数，1 表示负数。很简单，决定了数字的正负。
2. 指数部分 (Exponent)：占 8 位。这部分用来表示小数点的位置。别以为直接存数字就行，浮点数需要一个“基准”，然后通过指数来放大或缩小这个基准，才能表示很大的数和很小的数。
3. 尾数部分 (Mantissa / Significand)：占 23 位。这部分才是真正存储数字的“有效数字”。
为啥取值范围不是简单的大数减去小数？
这里是关键所在。浮点数的存储方式，决定了它的取值范围不是线性的，而是近似指数级的增长。
想象一下，我们用有限的位数去表示一个无限可能性的实数，总会有误差。IEEE 754 的设计，就是在存储精度和数值范围之间做了一个权衡。
指数部分的作用：这 8 位指数，它不是直接存储数值，而是存储一个“指数的偏移量”。为什么要有偏移量？这是为了能够表示零和非常小的数。指数部分会加上一个固定的“偏移值”（对于单精度 `float` 是 127），然后才得到实际的指数。
所以，指数部分的 8 位，理论上可以表示 0 到 255。减去偏移量，实际指数的范围大概在 126 到 127 之间。
这个指数，就决定了我们那个“有效数字”前面要乘以 2 的多少次方。2 的 127 次方，那可就大了去了；2 的 126 次方，那可就小到几乎为零了。
尾数部分的作用：这 23 位尾数，用来存储有效数字。但是，这里有一个“隐含的 1”（Implicit Leading Bit）。什么意思呢？对于一个规范化的浮点数（大部分情况），它总是可以写成 `1.xxxxxxx 2^exponent` 的形式。IEEE 754 标准就规定，这个开头的 `1.` 是隐含的，不占存储空间，直接存小数点后面的 23 位。这样一来，实际上我们就有 24 位有效数字来表示精度。
所以，取值范围是怎么算出来的？
最大值：
符号位是 0（正数）。
指数部分全为 1（但不是全 1，全 1 有特殊含义，这里我们考虑最大的“正常”指数）。最大的“正常”指数是 254（11111110），加上偏移量 127，得到实际指数 127。
尾数部分全为 1（1.111...1），表示最接近 2 的值。
所以，最大值大约是 `(2 2^23) 2^127`。这个数值非常大，大概在 `3.4 10^38` 左右。
最小值（最接近零的正数）：
符号位是 0（正数）。
指数部分全为 0（00000000）。这时，尾数部分不再有隐含的 1，而是直接存储，并且会乘以 `2^(126)`（指数是 0 减去偏移量 127，再加上 1，得到 126，但这种情况是特殊的，叫做非规格化数，我们先看规格化的最小正数）。
对于规格化的数，最小指数是 126。
尾数部分全为 0（除了隐含的 1，所以是 `1.000...0`），表示最接近 1 的值。
所以，最小的规格化正数大约是 `1.0 2^126`。这个数值非常小，大概在 `1.18 10^38` 左右。
这里还需要提一下非规格化数 (Denormalized Numbers)：当指数部分全为 0 时，尾数部分就不再有隐含的 1，而是直接表示 `0.xxxxxxx 2^(126)`。这使得 `float` 能够表示比最小规格化数还要小的值，尽管精度会降低。最小的非规格化数就非常非常接近零了，大概是 `2^149`。
总结一下 `float` 的取值范围：
近似范围：大约是 ±1.18 x 10⁻³⁸ 到 ±3.4 x 10³⁸。
为什么会有这个范围？
就是因为 IEEE 754 标准对存储空间的划分。用有限的 32 位，要同时表示非常大、非常小的数，并且要保证一定的精度，就必然需要在指数和尾数之间做取舍。
指数位越多：能表示的范围就越大（正负指数的绝对值越大）。
尾数位越多：能表示的精度就越高（小数点后面能保留的有效数字越多）。
`float`（单精度）选择了 8 位指数和 23 位尾数（加上隐含的 1，相当于 24 位精度），牺牲了一部分精度，来换取一个相对较大的数值范围。
而 `double`（双精度）呢，它占用 64 位，其中 1 位符号，11 位指数，52 位尾数（加上隐含的 1，相当于 53 位精度）。因此 `double` 的范围比 `float` 大得多，精度也高得多。
所以，当我们说 `float` 的取值范围是 ±3.4 x 10³⁸ 时，这并不是一个严格的数学上的“上限”和“下限”，而是根据 IEEE 754 标准计算出来的，能够被 `float` 类型表示的最大和最小（非零）数值。超过这个范围的数，要么会变成无穷大（Infinity），要么会变成零。
理解 `float` 的取值范围，就是理解它的存储结构和 IEEE 754 标准的设计思路。它是一个工程上的折衷，而不是一个纯粹的数学概念。
浮点数是怎么存的？
咱们电脑里存储数字，本质上都是一堆 0 和 1。整数好说，直接按位权相加就行。但小数呢？比如 0.5，或者更麻烦的 0.1，怎么用二进制表示？
这里就需要一个标准，国际上通用的就是 IEEE 754 标准。C 语言的 `float` 类型，就是按照这个标准来的。
根据 IEEE 754 标准，一个单精度浮点数（也就是 `float`），总共占用 32 位（也就是 4 个字节）。这 32 位又被分成三部分：
1. 符号位 (Sign Bit)：占 1 位。0 表示正数，1 表示负数。很简单，决定了数字的正负。
2. 指数部分 (Exponent)：占 8 位。这部分用来表示小数点的位置。别以为直接存数字就行，浮点数需要一个“基准”，然后通过指数来放大或缩小这个基准，才能表示很大的数和很小的数。
3. 尾数部分 (Mantissa / Significand)：占 23 位。这部分才是真正存储数字的“有效数字”。
为啥取值范围不是简单的大数减去小数？
这里是关键所在。浮点数的存储方式，决定了它的取值范围不是线性的，而是近似指数级的增长。
想象一下，我们用有限的位数去表示一个无限可能性的实数，总会有误差。IEEE 754 的设计，就是在存储精度和数值范围之间做了一个权衡。
指数部分的作用：这 8 位指数，它不是直接存储数值，而是存储一个“指数的偏移量”。为什么要有偏移量？这是为了能够表示零和非常小的数。指数部分会加上一个固定的“偏移值”（对于单精度 `float` 是 127），然后才得到实际的指数。
所以，指数部分的 8 位，理论上可以表示 0 到 255。减去偏移量，实际指数的范围大概在 126 到 127 之间。
这个指数，就决定了我们那个“有效数字”前面要乘以 2 的多少次方。2 的 127 次方，那可就大了去了；2 的 126 次方，那可就小到几乎为零了。
尾数部分的作用：这 23 位尾数，用来存储有效数字。但是，这里有一个“隐含的 1”（Implicit Leading Bit）。什么意思呢？对于一个规范化的浮点数（大部分情况），它总是可以写成 `1.xxxxxxx 2^exponent` 的形式。IEEE 754 标准就规定，这个开头的 `1.` 是隐含的，不占存储空间，直接存小数点后面的 23 位。这样一来，实际上我们就有 24 位有效数字来表示精度。
所以，取值范围是怎么算出来的？
最大值：
符号位是 0（正数）。
指数部分全为 1（但不是全 1，全 1 有特殊含义，这里我们考虑最大的“正常”指数）。最大的“正常”指数是 254（11111110），加上偏移量 127，得到实际指数 127。
尾数部分全为 1（1.111...1），表示最接近 2 的值。
所以，最大值大约是 `(2 2^23) 2^127`。这个数值非常大，大概在 `3.4 10^38` 左右。
最小值（最接近零的正数）：
符号位是 0（正数）。
指数部分全为 0（00000000）。这时，尾数部分不再有隐含的 1，而是直接存储，并且会乘以 `2^(126)`（指数是 0 减去偏移量 127，再加上 1，得到 126，但这种情况是特殊的，叫做非规格化数，我们先看规格化的最小正数）。
对于规格化的数，最小指数是 126。
尾数部分全为 0（除了隐含的 1，所以是 `1.000...0`），表示最接近 1 的值。
所以，最小的规格化正数大约是 `1.0 2^126`。这个数值非常小，大概在 `1.18 10^38` 左右。
这里还需要提一下非规格化数 (Denormalized Numbers)：当指数部分全为 0 时，尾数部分就不再有隐含的 1，而是直接表示 `0.xxxxxxx 2^(126)`。这使得 `float` 能够表示比最小规格化数还要小的值，尽管精度会降低。最小的非规格化数就非常非常接近零了，大概是 `2^149`。
总结一下 `float` 的取值范围：
近似范围：大约是 ±1.18 x 10⁻³⁸ 到 ±3.4 x 10³⁸。
为什么会有这个范围？
就是因为 IEEE 754 标准对存储空间的划分。用有限的 32 位，要同时表示非常大、非常小的数，并且要保证一定的精度，就必然需要在指数和尾数之间做取舍。
指数位越多：能表示的范围就越大（正负指数的绝对值越大）。
尾数位越多：能表示的精度就越高（小数点后面能保留的有效数字越多）。
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而 `double`（双精度）呢，它占用 64 位，其中 1 位符号，11 位指数，52 位尾数（加上隐含的 1，相当于 53 位精度）。因此 `double` 的范围比 `float` 大得多，精度也高得多。
所以，当我们说 `float` 的取值范围是 ±3.4 x 10³⁸ 时，这并不是一个严格的数学上的“上限”和“下限”，而是根据 IEEE 754 标准计算出来的，能够被 `float` 类型表示的最大和最小（非零）数值。超过这个范围的数，要么会变成无穷大（Infinity），要么会变成零。
理解 `float` 的取值范围，就是理解它的存储结构和 IEEE 754 标准的设计思路。它是一个工程上的折衷，而不是一个纯粹的数学概念。
网友意见
这是那种硬憋出来忽悠人的干货。
就好像我们说 int8_t 的范围是 [-128, +127]。然后他说不是的，取值范围应该是 [-128, -1]、0、[+1, +127] 三段，因为 0 到 ±1 之间的数，比如 0.5 它就无法表示。
浮点数和整数一样，把所有可能的值画到数轴上都是筛子，无非就是有的地方密一点、有的地方疏一点。不能就盯着其中一个洞敲黑板说「同学们注意了，这里有个洞」，然后把其它洞当做不存在呀。
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