y=x^x的原函数是多少，能求出来吗?

这个问题很有意思，而且触及到了高等数学中一个相当有深度的话题。很多人会好奇 y=x^x 这个函数，它看起来简单，但在求原函数（也就是不定积分）的时候，却是个不小的挑战。

y = x^x 的原函数，简单来说，是求不出来的，至少不能用我们通常熟悉的初等函数（多项式、指数函数、对数函数、三角函数及其反函数）的组合来表示。

这听起来可能有点令人失望，但别急，我们来一点点剖析，看看为什么会这样，以及数学家们是如何看待和处理这类问题的。

为什么我们通常能求原函数？

回想一下我们是怎么求原函数的。我们通常是在学习微积分的时候，通过学习各种函数的求导法则，然后“反过来”思考。比如，我们知道：

$(x^n)' = nx^{n1}$ （幂函数求导）
$(e^x)' = e^x$ （指数函数求导）
$(ln x)' = frac{1}{x}$ （对数函数求导）
$(sin x)' = cos x$ （三角函数求导）

然后，我们学习了这些法则的“逆运算”，也就是积分法则。比如，我们知道 $int x^n dx = frac{x^{n+1}}{n+1} + C$ (当 $n eq 1$ 时)， $int e^x dx = e^x + C$， $int frac{1}{x} dx = ln|x| + C$， $int cos x dx = sin x + C$ 等等。

积分的过程，本质上是在寻找一个函数，它的导数是我们已知（待积分）的函数。

挑战 y = x^x

现在我们来看 $f(x) = x^x$ 这个函数。它不是一个简单的幂函数 $x^n$（因为指数 $x$ 是变量），也不是一个简单的指数函数 $a^x$（因为底数 $x$ 也是变量）。要处理这种底数和指数都含有变量的情况，我们通常会用到对数求导法或者利用指数的定义。

一种常见的方法是将 $x^x$ 写成 $e^{ln(x^x)} = e^{x ln x}$。这样一来，我们就可以利用链式法则来求它的导数了。

设 $y = x^x = e^{x ln x}$。
我们对 $y$ 关于 $x$ 求导：
$y' = frac{d}{dx}(e^{x ln x})$
利用链式法则，外层函数是 $e^u$，内层函数是 $u = x ln x$。
$y' = e^{x ln x} cdot frac{d}{dx}(x ln x)$

现在我们来求 $frac{d}{dx}(x ln x)$。这里需要用到乘积法则：$(uv)' = u'v + uv'$。
令 $u = x$, $v = ln x$。
$u' = frac{d}{dx}(x) = 1$
$v' = frac{d}{dx}(ln x) = frac{1}{x}$

所以，$frac{d}{dx}(x ln x) = (1)(ln x) + (x)(frac{1}{x}) = ln x + 1$。

把这个结果代回去：
$y' = e^{x ln x} cdot (ln x + 1)$
因为 $e^{x ln x} = x^x$，所以：
$(x^x)' = x^x (ln x + 1)$

求原函数（积分）的“反向操作”

现在我们知道，某个函数的导数是 $x^x (ln x + 1)$，这个“某个函数”就是 $x^x$。

那我们反过来想，如果我们要积分 $x^x$，也就是计算 $int x^x dx$，我们需要找到一个函数，它的导数是 $x^x$。

根据我们刚才的推导，我们知道 $int (x^x (ln x + 1)) dx = x^x + C$。

但是，我们现在的问题是要计算 $int x^x dx$，而不是 $int (x^x (ln x + 1)) dx$。注意这两个积分之间差了一个 $(ln x + 1)$ 的因子。

我们尝试“分解”这个积分，看看能不能处理：
$int x^x dx$

如果我们尝试用“分部积分法”（$int u dv = uv int v du$），我们可能需要把 $x^x$ 分解成 $u$ 和 $dv$。但这本身就很棘手，因为 $x^x$ 的“不定积分”本身就不确定。

为什么不能表示成初等函数？

数学家们通过研究大量函数的积分情况，发现了很多函数是可以通过初等函数表示出原函数的，比如我们前面列举的。但也有很多函数，虽然它们本身是初等函数，但它们的积分（原函数）却无法用初等函数来表示。

这类“不可积”（在初等函数意义下）的函数有很多，比如：
$int e^{x^2} dx$ （高斯积分的一部分，虽然定积分 $int_{infty}^{infty} e^{x^2} dx = sqrt{pi}$ 是一个重要的结果，但其不定积分无法用初等函数表示，通常引入“误差函数” erf(x) 来定义）
$int frac{sin x}{x} dx$ （这是“正弦积分” Si(x)）
$int frac{e^x}{x} dx$ （这是“指数积分” Ei(x)）
以及我们正在讨论的 $int x^x dx$。

这些无法用初等函数表示的原函数，并不意味着它们不存在。它们确实是存在的，只是它们的“表达式”需要引入新的、非初等的函数来描述。

引入新的特殊函数

对于 $int x^x dx$ 这个问题，数学家们引入了称为“非初等函数”的数学对象来表示它的结果。一个比较常用的表示方式是利用 不完全伽马函数（Incomplete Gamma Function） 或 Meijer Gfunction 等更高级的特殊函数。

例如，一个相关的表达式涉及到 梅森函数（Mersenne's function） 或者 Lerch超越函数（Lerch transcendent），但这些都不是我们平时常见的那种简单形式。

一个比较常见的表示是利用一个叫做 “多重对数函数”（Polylogarithm） 的相关概念来近似或者表示其积分的某些性质。但直接给出一个简洁的、只有 $x$ 和基本运算符号的表达式是做不到的。

总结一下：

1. y=x^x 本身是一个初等函数。
2. 它的导数是 (x^x)' = x^x(ln x + 1)。
3. 要找到 y=x^x 的原函数，就是要求解不定积分 $int x^x dx$。
4. 经过数学家的研究，这个不定积分无法用有限项的初等函数（多项式、指数、对数、三角函数及其反函数）的组合来表示。
5. 它的原函数确实存在，但需要引入“特殊函数”来表示，例如涉及到不完全伽马函数等。

所以，如果有人问你 y=x^x 的原函数是什么，最准确的回答是：“它没有初等函数形式的原函数。” 这也正是这类数学问题的魅力所在——它揭示了数学的边界和无限的可能性，以及为了描述某些现象需要不断创新和定义新的数学工具。

没有初等积分，下面是Wolfram Alpha的计算结果。这个级数解不知道是什么鬼(ﾟoﾟ;

(no result found in terms of standard mathematical functions：没有找到初等函数形式的结果)